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北师大版高二数学下三个正数的算术-几何平均不等式 第6课时导学案


高二年级第二学期数学学科导学稿 执笔人: 王广青 审核人: 王广青 学校: 安中数学组 时间: 2013 年 3 月 日
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集体备课 一、课题:三个正数的算术-几何平均不等式 二、学习目标 1.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决 最值问题; 2.了解基本不等式的推广形式。 三、教学过程 〔温故知新〕
2 2 问题 1:预习,提问学生定理一以及满足的条件。 a + b ? 2ab (a,b ? R )。

问题 2: 预习, 提问学生平均值定理以及满足的条件。 其满足的条件是(一正、二定、三相等)。 〔导学释疑〕

a?b ? ab(a,b ? R? ) 2

问 题 1, 请 同 学 们 讨 论 、 尝 试 证 明 不 等 式 : 如 果 a, b, c ? R? , 那 么

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc(当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立)试证明。
定理三,对任意三个正数 a,b,c,有 a ? b ? c ? 3abc (当且仅当
3 3 3

a ? b ? c 时取“=”号) 。
证 明 , 因 为 a>b , 所 以 a > b , 所 以 (a-b)( a - b ) ? 0, 即
2 2 2 2

a 3 ? b 3 ? ab2 ? ba2 ,同理, b 3 ? c 3 ? bc2 ? cb 2 , c 3 ? a 3 ? ca 2 ? ac2 。
将 这 三 个 同 向 不 等 式 的 两 边 分 别 相 加 , 可 得 2 ( a ?b ?c )
3 3 3

? a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? a ? 2bc ? b ? 2ca ? c ? 2ab =6abc,
3 3 3 所以, a ? b ? c ? 3abc显然,此式当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立。

问题 2,请同学们讨论、尝试证明不等式:定理 4:如果 a, b, c ? R? ,那 么

a?b?c 3 ? abc 。当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立。 3

1

证明,由定理三可得, (3 a ) 3 ? (3 b ) 3 ? (3 c ) 3 ? 33 a ? 3 b ? 3 c ,所以

a ? b ? c ? 33 abc


a?b?c 3 ? abc .显然,此式当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立. 个正数 3

的算术平均数不小于它们的几何平均数 〔巩固提高〕 1,已知 0<x<4.5,当 x 取什么值时, x 2 (9 ? 2 x) 的值最大?最大值是多少?

【总结归纳】定理 4:如果 a, b, c ? R? ,那么

a?b?c 3 ? abc 。当且仅当 3

a ? b ? c 时,等号成立。可叙述为:三个正数的算术平均值不小于它们的几
何平均值。其满足的条件是(一正、二定、三相等)。 (检测反馈) 1.函数 y ? 3 x ? A.6 2.函数 y ? 4 x ?
2

12 ( x ? 0) 的最小值是 ( x2
B. 6 6 C.9

) D.12

16 的最小值是____________ ( x ? 1) 2
2

【拓展延伸】一般地,对 n 个正数 a1,a2,,an (n ? 2 ),我们把数值 ...

a1 ? a 2 ? ... ? a n n , a1 a 2 ? a n 分别称为这 n 个正数的算术平均值于几何平 n
均值, 且有

a1 ? a 2 ? ... ? a n n 此式当且仅当 a 1 = a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 。 n

时取“=”号。即 n 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。

(学生小结) 谈谈本节课有什么收获与困惑?

2


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