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黑龙江省双鸭山市一中2014届高三12月考数学文试题 Word版含答案


黑龙江省双鸭山市第一中学 2014 届高三上学期第二次月考

数 学

(文科)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知全集为,集合,,则( ) A. B. C. D. 2.在复平面内,复数 A.第一象限

i ? ( 1 ? 2i )2 对应的点位于 ( 1? i
B.第二象限 C.第三象限 )

) D.第四象限

3.设 p: x 2 ? x ? 20 ? 0 ,q: ,则 p 是 q 的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 若变量满足约束条件则的最大值为( A.4 B.3 A.若 C.若 B.若 D.若 ) C.2 D.1 )

5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是(

6.右图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个 2 4 6 20
) B. i ? 10 D. i ? 20

开始

程序框图,判断其中框内应填入的条件是( A. i ? 10 C. i ? 20

是 否 输出

7. 等比数列的前项和为,且成等差数列. 若,则=( A.7 C.15 )

结束

B.8 D.16 )

8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. B. C. D.

9.从集合{1,2,3,4,5}中,选出由 3 个数组成子集,使得这 3 个数中 任何两个数的和不等于 6,则取出这样的子集的概率为( A. B. C. D. ).

10. 双曲线的左焦点为 F,点 P 为左支下半支上任意一点(异于顶点) , 则直线 PF 的斜率的变化范围是 ( ) A. (-∞,0) B.(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 11. 已知函数
1 ? ,x ? , ?2 x 2 g ( x) ? f ( x) ? ? 1 ?| log 2 x | , x ? ? 2

x ? b ,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有两个不同的零

点,则实数 b 的取值为(

) A. ?1 或

3 2

B.1 或 ?

3 2

C.1 或

3 2

D. ?1 或 ?

3 2

12. 已知椭圆 M: (a>b>0) ,D(2,1)是椭圆 M 的一条弦 AB 的中点, 点 P(4,-1)在直线 AB 上,求椭圆 M 的离心率 ( ) A. B. C. D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.)

1? 处的切线方程为 13..曲线 y ? e ? 2 x 在点 ? 0,
x

14.已知向量 a ? ?1,3? , b ? ? ?2,1? , c ? ? 3, 2 ? .若向量 c 与向量 a ? kb 的夹角为锐角, 则实数 k 的取值范围为 15.已 知 P 是 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 , BC ? BA ? 2 BP , 现 将 一 粒 黄 豆 随 机 撒 在 △ ABC 内 , 则 黄 豆 落 在 △ PBC 内 的 概 率 是 _____________. 16. 有下列命题:①圆与直线,相交; ②过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6, 那么|AB|= 8 ③已知动点 C 满足则 C 点的轨迹是椭圆; 其中正确命题的序号是___ _____ 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17.(本题 12 分) 在锐角中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为,向量 ,且向量. (1)求角的大小; (2)如果,求的面积的最大值.

?

?

?

?

?

?

18. (本题 12 分) 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分 成六段 ?40,50 ? , ?50,60 ? … ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回

答下列问题:

(Ⅰ)求分数在 ? 70,80 ? 内的频率,并补全这个频率分布直方图;

(Ⅱ)用分层抽样的方法在分数段为 ?60,80 ? 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本 看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段 ?70,80? 的概率.

第 18 题

19.(本题 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,AB=AC= 2|,AA1=3,D 是 BC 的中点, 点 E 在棱 BB1 上运动. (Ⅰ)证明:AD⊥C1E; (Ⅱ)当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60° 时, 求三棱锥 C1-A1B1E 的体积.

20.如图所示,椭圆 C: 的离心率,左焦 点为右焦点为,短轴两个端点为.与轴不垂直的直线与 椭圆 C 交于不同的两点、 ,记直线、的斜率分别为、 ,且. (1)求椭圆 的方程; (2)求证直线 与轴相交于定点,并求出定点标.

21.设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax ? 3 x .
3 2

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值与单调区间; (2)若函数 f ( x) 的图象在 x ? ?1 处的切线与 直线 y ? 3 x 平行,求 a 的值; (3)若函数 f ( x) ? ax ? 3 x 的图象与直线 y ? ?2 有 三个公共点,求 a 的取值范围.
3 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 PA 是⊙O 的切线,A 是切点,直线 PO 交⊙O 于 B、C 两点,D 是 OC 的 中点,连结 AD 并延长交⊙O 于点 E,若 PA=2,∠APB=30° . (Ⅰ)求∠AEC 的大小; (Ⅱ)求 AE 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? 1 ? 2 ,圆 C 的圆心是

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长。 C ( 2, ) ,半径为 2 。 4

?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x)? | 2x? 1? | x |? 。 3| (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)已知关于 x 的不等式 a ? 3 ? f ( x) 恒成立,求实数 a 的 取值范围。

黑龙江省双鸭山市第一中学 2014 届高三上学期第二次月考

数 学
DBBBCA CBDCDD

(文科)答案

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.) 13..3x-y+1=0 14. k<9/4 15.1/2 16. ___②_____。 三、解答题: 17 解: (1) 即 又,所以,则,即 (2)由余弦定理得即 ,当且仅当时等号成立 所以, 得 所以 所以的最大值为 18.解析:(Ⅰ)分数在 ? 70,80 ? 内的频率为:

1 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 1 ? 0.7 ? 0.3 ,

0.3 ? 0.03 ,如图所示: 10 (Ⅱ)由题意, ? 60, 70 ? 分数段的人数为: 0.15 ? 60 ? 9 人;


?70,80 ? 分数段的人数为: 0.3 ? 60 ? 18 人; ∵在 ?60,80 ? 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,∴ ? 60, 70 ? 分数段抽取 m, n ; ? 70,80 ? 分数段抽取 4 人,分别记为 a, b, c, d ; 设从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段 ?70,80 ? 为事件 A ,
则基本事件空间包含的基本事件有: (m, n) 、 (m, a) 、 (m, b) 、 (m, c) 、 (m, d ) 、……、 (c, d ) 共 15 种, 则事件 A 包含的基本事件有: (m, n) 、 (m, a ) 、 (m, b) 、 (m, c) 、

2 人,分别记为

(m, d ) 、 (n, a) 、 (n, b) 、 (n, c) 、 (n, d ) 共 9 种,∴ P( A) ?

9 3 ? . 15 5

19.解: (Ⅰ)∵AB=AC,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC. ① 又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,而 AD?平面 ABC, ∴AD⊥BB1. ② 由①,②得 AD⊥平面 BB1C1C. 由点 E 在棱 BB1 上运动,得 C1E?平面 BB1C1C, ∴AD⊥C1E.………………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)∵AC∥A1C1, ∴∠A1C1E 是异面直线 AC,C1E 所成的角,由题设,∠A1C1E=60° . ∵∠B1A1C1=∠BAC=90° , ∴A1C1⊥A1B1,又 AA1⊥A1C1, 从而 A1C1⊥平面 A1ABB1,于是 A1C1⊥A1E. 故 C1E= A1C1 |=2 2|,又 B1C1= A1C12+A1B12|=2, cos60°

∴B1E= C1E 2-B1C12|=2. 1 1 1 2 从而 V 三棱锥 C1-A1B1E= |S△ A1B1E× A1C1= |× |× 2× 2|× 2|= |.…………………13 分 3 3 2 3 20.解: (1)由题意可知:椭圆 C 的离心率, 故椭圆 C 的方程为.…………………………………………………2 分 (2)设直线的方程为,M、N 坐标分别为 由得 ∴…………………………………………………4 分 ∵.

∴ 将韦达定理代入,并整理得,解得. ∴直线 与轴相交于定点(0,2)………………………………………………7 分 21 解: f ?( x) ? 3ax 2 ? 6 x ? 3 x( ax ? 2) (1) a ? 1 时, f ?( x) ? 3 x( x ? 2) ,当 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 ,或 x ? 2 时, 所以, f ( x) 的单调减区间为 [0, 2] , 单调增区间为 (??, 0) 和 (2, ??) ; 当x?2 f ?( x) ? 0 , 时, f ( x) 有极小值 f (2) ? ?4 ,当 x ? 0 时, f ( x) 有极大值 f (0) ? 0 .

(2) f ?(?1) ? 3a ? 6 ? 3 ,所以 a ? ?1 ,此时,切点为 (?1, ?2) ,切线方程为 y ? 3 x ? 1 , 它与已知直线平行,符合题意. (3)当 a ? 0 时, f ( x) ? ?3 x ,它与 y ? ?2 没有三个公共点,不符合题意.
2

当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3 x( ax ? 2) 知, f ( x) 在 (??, 0) 和 ( , ??) 上单调
2

2 a

递 增 , 在 (0, ) 上 单 调 递 减 , 又 f (0) ? 0 , f ( ) ? ?

2 a

2 a

4 4 , 所 以 ? 2 ? ?2 , 即 2 a a

?2 2 ? a ? 2 2 ,
又因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? 2 2 ; 当 a ? 0 时, 由 f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3 x( ax ? 2) 知, f ( x) 在 (??, ) 和 (0, ??) 上单调递减,
2

2 a

在 (0, ) 上单调递增,又 f (0) ? 0 , f ( ) ? ?

2 a

2 a

4 4 ,所以 ? 2 ? ?2 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 , 2 a a

又因为 a ? 0 ,所以 ?2 2 ? a ? 0 ;综上所述, a 的取值范围是 (?2 2, 0) ? (0, 2 2) .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号.

23.(Ⅰ)圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

)

· · · · · · · · · 5 分 · · · · · · · · · · · 10 分

(Ⅱ)圆心到直线距离为 1 ,圆半径为 2 ,所以弦长为 2

24.(Ⅰ) f ( x) ? 0 的解集为: (??,?4) ? ( ,??) (Ⅱ) a ? ?

2 3

· · · · · · · · · · 5分 · · · · · · · · · · 10 分

13 2


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