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【金版学案】2015-2016高中数学 3.2.3直线的一般式方程练习 新人教A版必修2


3.2.3
基 础 梳 理

直线的一般式方程

(1)在平面直角坐标系中,任何一条直线都可以用一个关于 x,y 的二元一次方程表示. (2)每个关于 x,y 的二元一次方程都表示一条直线. ?思考应用 1.探讨直线 Ax+By+C=0,当 A,B,C 为何值时,直线:(1)平行于 x 轴?(2)平行于 y 轴?(3)与 x 轴重合?(4)与 y 轴重合? 答案:(1)A=0,BC≠0 (2)B=0,AC≠0 (3)A=C=0 (4)B=C=0

2.过点 A(-1,3)和 B(-2,1)的直线的一般式方程为 2x-y+5=0. 3.将直线 l 的一般式方程 3x-2y+6=0.化为斜截式和截距式. 3 解析:斜截式:y= x+3; 2 x y 截距式: + =1. -2 3 自 测 自 评 1.过点(-3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为(C)

A.4x+3y+12=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y+12=0 D.4x-3y-12=0
x y 解析:由已知得方程为 + =1,即 4x-3y+12=0. -3 4 2.若方程 Ax+By+C=0 表示直线,则 A,B 应满足的条件是(D)

A.A≠0 B.B≠0 C.A?B≠0 D.A2+B2≠0
3.在同一坐标系中,直线 l1:ax-y+b=0 与 l2:bx+y-a=0(ab≠0)只可能是(D)

1

解析:根据 l1 的位置确定 a,b 的正负,从而再确定 l2 的位置. 4.过点(0,1)且与直线 2x+y-3=0 垂直的直线方程是(B)

A.2x-y-1=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y+1=0 D.x-2y-2=0
1 解析:与直线 2x+y-3=0 垂直的直线的斜率为 , 2 1 ∴所求直线方程为 y-1= x, 2 即 x-2y+2=0. y-(-1) x-3 5.过点 A(3,-1),B(5,4)的直线方程的两点式为 = ,化成一般式为 4-(-1) 5-3 x y 5 17 5x-2y-17=0,化为截距式为 + =1,斜截式为 y= x- . 17 17 2 2 - 5 2

基 础 达 标 1.直线 y-1=4(x+2)化为一般式方程为(C)
2

A.4(x+2)-y+1=0 B.y=4x+9 C.4x-y+9=0 D.
y-1 =4 x+2

2.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为(A)

A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0
3.两直线 mx+y-n=0 与 x+my+1=0 互相平行的条件是(D)

A.m=1 B.m=±1 C.?
?m=1 ? ? ?n≠-1

D.?

?m=1, ?

?m=-1, ? 或? ? ?n≠-1 ? ?n≠1

m 1 解析:根据两直线平行可得 = ,所以 m=±1,又两直线不可重合,所以 m=1 时,n 1 m ≠-1;m=-1 时,n≠1. 4.直线 3x-2y-4=0 的截距式方程是(D)

A. - =1 B. - =4

3x y 4 4 3x 4

x y 1 1 3 2

C. +

y x y =1 D. + =1 -2 4 -2 3

5.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是(B)

A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5
1-2 1 解析:kAB= =- ,由 k?kAB=-1 得 k=2. 3-1 2 1+3 2+1 3 由中点坐标公式得 x= =2,y= = , 2 2 2

? 3? ∴中点坐标为?2, ?. ? 2?
3 由点斜式方程得 y- =2(x-2),即 4x-2y=5. 2 6.三条直线 x+y=0,x-y=0,x+ay=3 构成三角形,则 a 的取值范围是(A)

A.a≠±1 B.a≠1,a≠2 C.a≠-1 D.a≠±1,a≠2
解析:直线 x+y=0 与 x-y=0 都经过原点,而无论 a 为何值,直线 x+ay=3 总不经 过原点,因此,要满足三条直线构成三角形,只需直线 x + ay = 3 与另两条直线不平
3

行.∴a≠±1. 巩 固 提 升 7. 直线(2m -5m+2)x-(m -4)y+5m=0 的倾斜角是 45°, 则实数 m 的值为________. 2m -5m+2 ? ? =1, 2 解析:由已知得? m -4 ∴m=3. 2 ? ?m -4≠0, 答案:3 8 . 纵 截 距 为 - 4 , 与 两 坐 标 轴 围 成 三 角 形 的 面积 为 20 的 直 线 的 一 般式 方 程 为 ________________. x y 1 解析:由题意,设所求直线为 + =1,且 |4a|=20,∴|a|=10 即 a=10 或-10, a -4 2 x y x y 则其方程为 - =1 或 - =1,可化为 2x-5y-20=0 或 2x+5y+20=0. 10 4 -10 4 答案:2x-5y-20=0 或 2x+5y+20=0 9.(1)已知直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y-2=0 平行,求 m 的值. x y (2)直线的截距式方程 + =1 化为斜截式方程为 y=-2x+b, 化为一般式方程为 bx+ a b ay-8=0.求 a,b 的值. 解析:(1)解法一 由 l1:2x+(m+1)y+4=0. l2:mx+3y-2=0. ①当 m=0 时,显然 l1 与 l2 不平行. 2 m+1 4 ②当 m≠0 时,l1∥l2,需 = ≠ . m 3 -2 解得 m=2 或 m=-3. ∴m 的值为 2 或-3. 解法二 令 2?3=m(m+1),解得 m=-3 或 m=2. 当 m=-3 时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0, 显然 l1 与 l2 不重合, ∴l1∥l2. 同理当 m=2 时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0, l1 与 l2 不重合,l1∥l2, ∴m 的值为 2 或-3.
2 2 2

4

x y (2)由 + =1,化得 a b b y=- x+b=-2x+b, a 又可化得: bx+ay-ab=bx+ay-8=0, b 则 =2,且 ab=8. a 解得 a=2,b=4 或 a=-2,b=-4. 10.(1)已知三直线 l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,l3:4x+2y-1=0,求证: l1∥l2,l1⊥l3; (2)求过点 A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程: ①与直线 2x+y-1=0 平行; ②与 2x+y-1=0 垂直. (1)证明:把 l1、l2、l3 的方程写成斜截式得 1 7 1 5 l1:y= x+ ;l2:y= x+ ; 2 4 2 2 1 l3:y=-2x+ , 2 1 7 5 ∵k1=k2= ,b1= ≠ =b2, 2 4 2 ∴l1∥l2. ∵k3=-2,∴k1?k3=-1,∴l1⊥l3. (2)解法一:已知直线 l:2x+y-1=0 的斜率 k=-2. ①过 A(2,2)与 l 平行的直线方程为 y-2=-2(x-2).即 2x+y-6=0. 1 1 ②过 A 与 l 垂直的直线的斜率 k1=- = , k 2 1 方程为 y-2= (x-2). 2 即 x-2y+2=0 为所求. 解法二:①设所求直线方程为 2x+y+c=0, 由(2,2)点在直线上, ∴2?2+2+c=0, ∴c=-6.
5

∴所求直线为 2x+y-6=0. ②设所求直线方程为 x-2y+λ =0, 由(2,2)点在直线上, ∴2-2?2+λ =0,∴λ =2. ∴所求直线为 x-2y+2=0.

1.直线方程的一般式可表示任何一条直线,其中一般式与其他形式的互化是本节重 点. 直线方程的几种特殊形式都可以化成一般式; 反之, 一般式能否化为其他几种特殊形式, 要看 A,B,C 是否为零. C (1)当 B=0 时,x=- 表示与 y 轴平行(C≠0)或重合(C=0)的直线; A A C A C (2)当 B≠0 时,y=- x- 表示斜率为- ,在 y 轴上的截距为- 的直线(常用于求斜 B B B B 率); C (3)当 A=0 时,y=- 表示与 x 轴平行(C≠0)或重合(C=0)的直线; B x y C C (4)当 ABC≠0 时, + =1 表示在 x 轴、 y 轴上截距分别为- 和- 的直线(常用于 -C -C A B A B 求截距). 2.求直线方程时,若无特殊说明都应化成一般式.

6


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