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安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


安徽省黄山市 2017 届高三第二次模拟考试 数学(文)试题
参考公式:如果事件 A 、 B 互斥, 那么 P ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ?
如果事件 A 、 B 互斥独立, 那么 P ? AB ? ? P ? A? P ?B ? .

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
A? B ? ( 1. 已知集合 A ? ??2, ?1,0,1,2? , ? R B ? x | ? x ?1?? x ? 2? ? 0 ,则
A. ??1,0,1? B. ??1,0? C. ??2, ?1,0? ) D. ? 3

?

?



D. ??2,1, 2?

2 2. 复数 z ? ? a ? 1? a ? 3 i ,若 z ? 0 ,则实数 a 的值是(

?

?

A. 3

B. 1

C. ?1

3. 在我国明代数学家吴敬所著的 《九章算术比类大全》 中, 有一道数学名题叫 “宝塔装灯” , 内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯? ” (加 增的顺序为从塔顶到塔底). 答案应为 ( A. 6 4.已知函数 f ? x ? ? B. 5 ) C. 4 D. 3

1 2 ax ? bx ? 1 ,其中 a ??2,4? , b ??1,3? ,从 f ? x ? 中随机抽取1 个, 2
) C.

则它在 ? ??, ?1? 上是减函数的概率为 ( A.

1 2

B.

3 4

1 6

D. 0

5. 在 ?ABC 中, B ? ?2,0? , C ? 2,0? , A? x, y ? ,给出 ?ABC 满足条件,就能得到动点 A 的 轨迹方程 下表给出了一些条件及方程: 条件 ① ?ABC 周长为 10 ② ?ABC 面积为 10 方程

C1 : y 2 ? 25

C2 : x2 ? y2 ? 4 ? y ? 0?

③ ?ABC 中, ?A ? 90

?

x2 y 2 C3 : ? ? 1? y ? 0 ? 9 5
) C. C3 , C2 , C1 D. C1 , C3 , C2 )

则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为( A. C3 , C1 , C2 B. C1 , C2 , C3

6.已知 x 的取值范围是 ?0,8? ,执行下面的程序框图,则输出的 y ? 3 的概率为(

A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3


D.

3 4

7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A. 4 3

B. 4 2

C. 4

D.

4 3 3

2 8.若圆 ? x ? 3? ? y ? 1 上只有一点到双曲线 2

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线的距离为1 ,则该双 a 2 b2

曲线离心率为 ( A.

) B.

3 5 5
1?log 2 3

3 3 4

C.

3


D. 5

9. 已知 a ? ?2 A.a ? b ? c

, b ? 1 ? log 2 3, c ? cos
B.b ? a ? c

5? ,则 a, b, c 的大小关系是( 6
C. c ? a ? b

D.b ? c ? a

?x ? y ? 4 ? 0 ? 10.已知 m ? 1, x, y 满足约束条件 ? mx ? y ? 5 ? m ? 0 ,若目标函数 ?0 ? x ? 1 ?
1 2 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 3 ,则 ? ( a b
A.有最小值 )

11 ? 2 10 3 11 ? 2 10 3

B.有最大值

11 ? 2 10 3 11 ? 2 10 3

C. 有最小值

D.有最大值

11. 函数 f ? x ? ? ?

? ?ln x ? x ? 0 ? 与 g ? x ? ? x ? a ? 1 的图象上存在关于 y 轴对称的点,则 ? ? x x ? 0 ? ? ? ?
) B. ? ??, ?e? D. ?

实数 a 的取值范围是( A. R C. ? e, ?? ? 12. 将函数 y ? 3 sin ?

?? ?4

? x ? 的图象向左平移 3 个单位,得函数 ?

?? ? 点 M , N 分别是函数 f ? x ? 图象上 y 轴两侧 y ? 3 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? ? 的图象(如图) , ?4 ?
相邻的最高点和最低点,设 ?MON ? ? ,则 tan ?? ? ? ? 的值为( )

A. 1 ? 3

B. 2 ? 3

C. 1 ? 3

D. ?2 ? 3

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 已知 a ? ?

?

? ? ? ? ?1 3? ? , , b ? 1, a ? 2 b ? 2 ,则 b 在 a 方向上的投影为 ? ?2 2 ? ? ?



14.已知抛物线 C : y 2 ? 8x ,点 P ? 0,4? ,点 A 在抛物线上,当点 A 到抛物线准线 l 的距离 与点 A 到点 P 的距离之和最小时,延长 AF 交抛物线于点 B ,则 ?AOB 的面积 为 .

15.已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相 等. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图(1)将底面直径皆为 2b ,高皆为 a 的椭 半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 ? 上. 以平行于平面 ? 的平面于距平 面 ? 任意高 d 处可横截得到 S圆 及 S环 两截面,可以证明 S圆 ? S环 总成立 . 则短轴长为

4cm ,长轴为 6cm 的椭球体的体积为

cm3 .

16.对正整数 n ,设曲线 y ? ? 2 ? x ? x 在 x ? 3 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,则数列
n

? an ? ? ? 的前 n 项和等于 ?n ? 2?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)
17. ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量

?? m?

?

?? ? ? 3,1 , n ? ? cos A ? 1,sin A? ,且 m?n 的值为 2 ? 3 .

?

(1)求 ? A 的大小; (2)若 a ? 3, cos B ?

3 3

,求 ?ABC 的面积.

18. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 平面 PAD ? 底面 ABCD , 且 ?PAD 是边长为 2 的等边三角形, PC ? 13, M 在 PC 上,且 PA ?面 MBD .

(1)求证: M 是 PC 的中点; (2)求多面体 PABMD 的体积. 19. 全世界越来越关注环境保护问题,某监测站点于 2016 年 8 月某日起连续 n 天监测空气 质量指数 ? AQI ? ,数据统计如下:
3 空气质量指数 ? g / m

?

?

0 ? 50
空气优

51 ? 100
空气良

101 ? 150
轻度污染

151 ? 200
中度污染

201 ? 250
重度污染

空气质量等级 天数

20

40

m

10

5

(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 n, m 的值,并完成頻率分布直方图:

(2)由頻率分布直方图,求该组数据的平均数与中位数; (3) 在空气质量指数分别为 51 ? 100 和 151 ? 200 的监测数据中, 用分层抽样的方法抽取 5 天,从中任意选取 2 天,求事件 A “两天空气都为良”发生的概率. 20. 设 F1 , F2 分别是椭圆 D :

? x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,过 F2 作倾斜角为 的 2 3 a b

AB 的距离为 2 3 ,连接椭圆 D 的四个顶点得到的 直线交椭圆 D 于 A, B 两点, F 1 到直线
菱形面积为 2 5 . (1)求椭圆 D 的方程; (2) 设过点 F2 的直线 l 被椭圆 D 和圆 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 所截得的弦长分别为 m, n ,
2 2

当 m? n 最大时,求直线 l 的方程.
2 x 21.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 e .

?

?

(1)若 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若 g ? x ? ? e 求证: ?
?x

f ? x ? ? ln x ,过 O ? 0,0? 作 y ? g ? x ? 切线 l ,已知切线 l 的斜率为 ?e ,

?2e2 ? e e?2 ?a?? . 2 2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

2 ,过点 P ?1,0 ? 的直线 l 交曲线 C 于 A, B 两点. 1 ? sin 2 ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程的化为普通方程; (2)求 PA ?PB 的取值范围.

23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 , g ? x ? ? x ?1 ? x . (1)解不等式 f ? x ? ? g ? x ? ; (2)若存在实数 x ,使不等式 m ? g ? x ? ? f ? x ? ? x ?m ? R ? 能成立,求实数 m 的最小值.

安徽省黄山市 2017 届高三第二次模拟考试 数学(文)试题参考答案
一、选择题
1-5:BDDBA 6-10: BCACA 11-12:CD

二、填空题
13. ?

1 4

14. 4 5

15. 16?

16.

3n ?1 ? 3 2

三、解答题
17. 解:(1)? m? n ? 3 cos A ? 3 ? sin A ? 2sin ? A ?

?? ?

? ?

??

?? 3, 3?

?? ? ? ? sin ? A ? ? ? 1 ? A ? . 3? 6 ?
3? 1 2 6 3 ?2 2,

b a 3 6 ? (2) cos B ? ,由 得b ? ,? sin B ? sin B sin A 3 3

1 1 2 ? S?ABC ? ab sin C ? 3 ?2 2 sin ? A ? B ? ? 6 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? 3 2 2 2
. 18. 解:(1)证明:连 AC 交 BD 于 E ,连 ME .?ABCD 是矩形,? E 是 AC 中点.又 PA ? 面 MBD ,且 ME 是面 PAC 与面 MDB 的交线,? PA ? ME,? M 是 PC 的中点.

(2)取 AD 中点 O , 连 OC .则 PO ? AD , 由面 PAD ? 底面 ABCD , 得 PO ? 面 ABCD ,

? PO ? OC, OC ? 13 ? 3 ? 10,?CD ? 10 ?1 ? 3 ,
1 1 1 3 3 3 3 3 ?VP ? ABCD ? ?2? 3? 3 ? 2 3,VM ? BCD ? ? ?2? 3? ? ,?VPABMD ? 2 3 ? ? 3 3 2 2 2 2 2
. 19. 解:(1)? 0.004 ? 50 ?

20 ,? n ? 100,? 20 ? 40 ? m ? 10 ? 5 ? 100,? m ? 25 , n 40 25 10 5 ? 0.008; ? 0.005; ? 0.002; ? 0.001 . 100 ? 50 100 ? 50 100 ? 50 100 ? 50

(2)平均数 95 ,中位数 87.5 . (3) 在空气质量指数为 51 ? 100 和 151 ? 200 的监测天数中分别抽取 4 天和 1 天,在所抽収 的 5 天中,将空气质量指数为 51 ? 100 的 4 天分别记为 a, b, c, d ;将空气质量指数为

151 ? 200 的 1 天记为 e ,从中任取 2 天的基本事件分别为:

? a, b? , ? a, c? , ? a, d ? , ? a, e? , ?b, c? , ?b, d ? , ?b, e? , ?c, d ? , ?c, e? , ?d , e? 共10 种,其中
事件 A“两天空气都为良” 包含的基本事件为 ? a, b? , ? a, c ? , ? a, d ? , ?b, c ? , ?b, d ? , ? c, d ? 共 6 种,所以事件 A “两天都为良”发生的概率是 P ? A ? ?

6 3 ? . 10 5

AB 的方程为 20. 解:(1)设 F 1 坐标为 ? ?c,0 ? , F2 坐标为 ? c,0? , ? c ? 0? ,则直线

y ? 3 ? x ? c ? ,即
3x ? y ? 3c ? 0, ? 3c ? 3c 3 ?1 ? 2 3, c ? 2 ;又

1 S ? ?2a?2b ? 2 5,? ab ? 5,? a 2 ? 5, b 2 ? 1 , 2

? 椭圆 D 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 5

(2)易知直线 l 的斜率不为 0 ,可设直线 l 的方程为 x ? ty ? 2 ,则圆心 C 到直线 l 的距离为

d?

2t t 2 ?1



? x ? ty ? 2 ? 2 2 所以 n ? 2 2 ? d ? ,得 ? t ? 5 ? y ? 4ty ? 1 ? 0 , , ? x2 2 2 t ?1 ? ? y ? 1 ?5
2 2

4

? m ? 1 ? t y1 ? y2 ?
2

2 5 ? t 2 ? 1? t2 ? 5
4

8 5? t 2 ?1 8 5 ,? m? n? ? ?2 5 2 4 t ?5 t 2 ?1 ? t 2 ?1

(当且仅当 t ? 1 ?
2

t ?1
2

, 即 t ? ? 3 时, 等号成立) , 所以直线方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0

或 x ? 3y ? 2 ? 0 .
2 x x 21. 解:(1) 由已知得: f ' ? x ? ? ? ? x ? ax ? 2a ? 1? ? ? e . ①若 ? ax ? ? 2a ? 1? x ? ?e ? ?

1 1 1 ? ? a ? 0 ,当 x ? ?2 ? 或 x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? ?2 ? 时, f ' ? x ? ? 0 , 2 a a
所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ?2 ?

? ?

1 1? ? ? ? ;单调递减区间为 ? ??, 0 ? , ? ?2 ? , ?? ? . ②若 a a? ? ?

1 1 1 a ? ? , f ' ? x ? ? ? x 2e x ? 0 ,故 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ??? ;③若 a ? ? ,当 2 2 2 1 1 x ? ?2 ? 或 x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ;当 ?2 ? ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ;所以 f ? x ? 的单调 a a
递增区间为 ? ?2 ?

? ?

1 ? 1? ? , 0 ? ;单调递减区间为 ? ??, ?2 ? ? , ? 0, ?? ? . a ? a? ?

综上,当 ?

1 1? ? ? a ? 0 时, f ? x ? 单调递增区间为 ? 0, ?2 ? ? ;单调递减区间为 ? ??,0? , 2 a? ?

1 ? ? ? ?2 ? , ?? ? . a ? ?
当a ? ?

1 1 时, f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ??? ;当 a ? ? 时, f ? x ? 单调递增区间为 2 2

1 ? 1? ? ? ? ?2 ? , 0 ? ;单调递减区间为 ? ??, ?2 ? ? , ? 0, ??? . a ? a? ? ?
2ax 2 ? x ? 1 2 (2) g ? x ? ? ax ? x ? ln x ? 1, g ' ? x ? ? ,设切点 ? x0 , ax0 ? x0 ? ln x0 ? 1? ,斜率 x
2



2ax0 2 ? x0 ? 1 ? ?e ① x0
2

所以切线方程为

ax02 ? x0 ? 1 y ? ? ax0 ? x0 ? ln x0 ? 1? ? ( x ? x0 ) ,将 ? 0, 0 ? 代入得: x0
? ? ax0 2 ? x0 ? ln x0 ? 1? ? ex0 ② 由 ① 知 a ?

?ex0 ? x0 ? 1 代入②得: 2 x0 2
,则 u ' ? x ? ? e ? 1 ?

? e ?1? x0 ? 2ln x0 ? 3 ? 0 ,令 u ?x ? ? ?e ? 1?x ? 2ln x ?3

2 ? 0 恒成立, x

1 ?1? ?u ? x ? 在 ? 0, ??? 单增,且 u ?1? ? e ? 2 ? 0, u ? ? ? 0,? ? x0 ? 1 , e ?e?
ex ? x0 ? 1 1 ? 1 ? e ?1 ? 1 ? 1 ?a ? 0 2 ?? ? ? ? ? ? ,令 t ? ,则 1 ? t ? e ,则 2 x0 2 ? x0 ? 2 ? x0 ? x0
1 e ?1 a ?t ? ? ? t 2 ? t 2 2
在 ?1, e ? 递减,且 a ?1? ? ?
2

e?2 2e2 ? e 2e2 ? e e?2 , a ?e? ? ? ,?? ?a?? . 2 2 2 2

22. 解: (1)由 ? ?

x2 2 2 2 C ? 1 ? sin ? ? 2 ? y 2 ? 1. 得 , 得曲线 的普通方程为 ? ? 2 2 1 ? sin ?

(2)由题意知,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? ? x ? 1 ? t cos ? ,将 ? 代入 (t 为参数) ? y ? t sin ? ? y ? t sin ?

x2 ? y 2 ? 1得 ? cos 2 ? ? 2sin 2 ? ? t 2 ? 2t cos ? ? 1 ? 0 ,设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 2

PA ?PB ? t1t2 ?

1 1 ?1 ? ? ? ? ,1? ,? PA ?PB 的取值范围为 2 2 cos ? ? 2sin ? 1 ? sin ? ? 2 ?
2

?1 ? ,1 . ? ?2 ? ?
23. 解: (1)由题意不等式 f ? x ? ? g ? x ? 可化为 x ? 2 ? x ? x ? 1 ,当 x ? ?1 时,

? ? x ? 2? ? x ? ? ? x ? 1? ,
解得 x ? ?3 ,即 ?3 ? x ? ?1 ;当 ?1 ? x ? 2 时, ? ? x ? 2? ? x ? x ? 1,解得 x ? 1 ,即

?1 ? x ? 1 ;当 x ? 2 时, x ? 2 ? x ? x ? 1 ,解得 x ? 3 ,即 x ? 3 ,综上所述,不等式

f ? x ? ? g ? x ? 的解集为 ?x | ?3 ? x ? 1 或 x ? 3? .
(2)由不等式 m ? g ? x ? ? f ? x ? ? x ? m ? R ? 可得

m ? x ? 2 ? x ? 1 ,? m ? ? x ? 2 ? ?1 ?min , ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? 3,? m ? 3 ,故实数 m 的最小值是 3 .


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