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对教材一道例题的探究及感悟_论文

2 0 1 5 年第 8 期  数 学敦 学  8 — 2 3   对 教材 一 道例 题 的探 究及 感悟  5 1 0 0 0 6 广州 大学数学与信息科 学学院   叶景辉 吴伟朝   一 、 例 题 探 究  点 M 的 轨 迹 是 以 长 半 轴 、短 半 轴 长 分 别 为  的椭 圆 , 焦 点在 Y 轴上 .   在人教版 f A版 ) 高 中数 学 选 修 2 —1 有 这  样一道例题:   如图 l , 在 圆  +Y 2 —4 上 任 取 一点 P, 过  反思3 :在 圆 X  +Y  一 r 2 上任 取 一点P,   过 点J F ) 作x 轴 的垂 线段 P D, 点 D 为垂 足,点   M1 为 PD 的中点; 过点 P作 轴 的垂线段PE,   点  为垂足, 点  为P E的中点. 连 结  M2 ,   当 点 P 在 圆 上 运 动 时,线 段 M 1 M2的 中 点 M   点 P作 X 轴 的垂 线段 尸D, 点 D为垂 足 .当点  P在 圆上 运 动 时, 线 段 PD 的 中 点 M 的轨 迹 是  什么 ?为什 么 ?[ 1 】   的轨迹 是什么 ?   解析: 设M1 ( X l , y 1 ) 、 M2 ( x  ̄ , y 2 ) 、   (   ,  ) 、   XO P(   0 , Y 0 ) , 则 1 :   0 , Y 1 :   Y O x2=   ,   2: Y 0 ,   , 一   从 而  =   =   =   =   又 因   3 +   3 = r   , 所 以 有  + y 2 一 素 r   , 即 点   图1   M 的轨 迹 是 以原 点 为 圆 心 , 半 径 为  r的 圆 .   经过分 析可 知, 点 M 的 轨 迹 方 程 为  +   Y 2= 1  所 以点 M 的 轨 迹 是 一 个 椭 圆 .针 对 此  例题, 笔者产生如下反思:   反思1 :若 将 例 题 中 圆 的 方 程 改 为 “ X  +   反思4 : 在 反思 1 、2 、3 中, 若将 圆的方程  2   , 2   改为椭 圆方程  +   = 1( n>b >0 ) , 分别  0  D   ’   又 有 什 么 结论 ?   事 实上, 我们可 以采用 类似 做法, 进 而得  到 如 下 结论 :   ( 1 )反 思 1 此 时 得 到 点  的 轨 迹 方 程 为  Y  =r   ” , 其他条件不变, 是否有类似 的结论 ?   解析: 设 M( x ,  ) 、P( x o , y o ) , 则 =X O , Y   yo = _ 2 , 一+   =1 , 即点M 的轨迹是以长半轴、短  并且  3 +   ; =r 2 , 由此可得到  +   =   山 4   4   1 , 故点 M 的轨 迹是 以长半轴 、短 半轴长 分别  为r 、   的椭 圆 , 焦 点 在  轴 上 .   反思 2 :在 圆 z   +  =r 0 上 任 取 一 点 P, 过  点 P作 轴 的 垂 线 段 PE,点 E 为 垂 足 . 当 点  P在 圆上 运 动 时 , 线 段 PE 的 中 点 M 的 轨 迹 是  什么 ?   ~ 半轴长分别为 0 、   的椭 圆, 焦 点在 X 轴上.   ( 2 )反 思 2 此 时得 到 点  的 轨迹 方程 为  X Z +  = 1 .当  a>6 时 点 M 的 轨 迹 是 以长  , 4   半 轴 、短 半 轴 长 分 别 为  a  6 的椭 圆 焦 点在  , 2   . 2   解 析 :同理 得 到 方 程   r‘ _   +   l   ‘   一1 , 此 时  4   轴 上 ; 当 罢 : 6 时 , 点 M 的 轨 迹 是 以 原 点 为 圆   心 , 半 径 为 6 的 圆 ; 当 墨 < 6 时 , 点  的 轨 迹 是   8 — — 2 4   数 学教 学  I   2 0 1 5 年第 8 期  以长 半轴 、短 半轴 长分 别为 b 、   的椭 圆,焦  点在 轴 上 .   ( 3 )反 思 3 此 时得 到 点M 的轨 迹 方 程 为  +   一 =1 , 即点 M 的轨 迹 是 以长 半 轴 、   ~   :   素 0 2素   短 半 轴 长 分 别 为  n 、   6 的椭 圆, 焦 点 在 轴  上.   \ 、   图2   注: 椭 圆方程为  y - +   = = = 1( 。>b >0 )   的情况可 以类推 .   反思 5 :中心 与 原 点重 合 的 圆 、 椭 圆都 是  封 闭 曲线 图 形 ,若 它 们 都 在 各 自 曲 线 上 取 一  点 P, 过 该 点 分 别 作  轴 、   轴的垂线段, 垂 线  段 的中点分别为点  、   . 当点 P在 曲线上  运 动 时 ,线 段 M 1 M2的 中 点 M 的 轨 迹 为 何 还  是与原 图形 “ 相似” f 即 圆还是变 为圆, 椭 圆还是  变 为椭 圆1   7   经过分析可发现 , 圆  +   2 =r   变为 z   +   2 =  r 2 , 二 、探 究 感 悟  一 直 以来 , 许 多 学 生 认 为 学 习数 学 是 ~ 件  很痛 苦 的事情 , “ 数 学难 、数 学枯 燥 、数 学无  用 、数 学知 识只 是考试 工 具… … ”其 实, 面  对广大学生厌恶数学 的现象, 作 为一线 的教师,   我 们 是 否应 该 思考 当前 我 们 的 教 学存 在 哪些 问  题 ?数 学教 学 应 该 以激 发 学 生 的 学 习兴 趣 为根  基, 我 们

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