koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

(06函数提高复习之专题六:抽象函数专题2)2012年9月27日教学备课讲义完美编辑版


中小学 1 对 1 课外辅导专家

精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号
学员编号: 学员姓名: 课 题 年 级:高三 辅导科目:数学 T 抽象函数专题 课时数:3 学科教师:王建华 C 常见题型分析 T 综合应用解题

授课时间: 教学内容

知识要点
抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式, 只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。 由于抽象函数表现形式的 抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下:

☆几种特殊的抽象函数(具有周期性的抽象函数) : 函数 y ? f ? x ? 满足对定义域内任一实数 x (其中 a 为常数), (1) f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a 为周期的周期函数; (2) f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数;
(3) f ? x ? a ? ? ?

1 ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; f ? x?

(4) f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; (5) f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x)

(6) f ( x ? a ) ? ?

(7) f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x)

(8)函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于直线 x ? a 和 x ? b ? a ? b ? 都对称,则函数 f ( x ) 是以 2 ? b ? a ? 为周期的周 期函数; 期的周期函数;

(9)函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于两点 A ? a, y0 ? 、 B ? b, y0 ? ? a ? b ? 都对称,则函数 f ( x ) 是以 2 ? b ? a ? 为周 (10)函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于 A ? a, y0 ? 和直线 x ? b ? a ? b ? 都对称,则函数 f ( x ) 是以 4 ? b ? a ? 为周期 的周期函数; (11)函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ( a ? 0 ) ,若 f ( x ) 为奇函数,则其周期为 T ? 4 a ,若 f ( x ) 为偶函 数,则其周期为 T ? 2 a .
精锐教育网站:www.1smart.org 精锐教育·教务管理部 1

中小学 1 对 1 课外辅导专家

抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形 式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例 1. 已知函数 f ( x 2 ) 的定义域是[1,2] ,求 f(x)的定义域。 评析:一般地,已知函数 f (? ( x)) 的定义域是 A,求 f(x)的定义域问题,相当于已知 f (? ( x)) 中 x 的取值范围 为 A,据此求 ? (x) 的值域问题。

, 例 2. 已知函数 f (x) 的定义域是 [?1 2] ,求函数 f [log1 (3 ? x)] 的定义域。
2

评析:这类问题的一般形式是:已知函数 f(x)的定义域是 A,求函数 f (? ( x)) 的定义域。正确理解函数符号及 其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知 ? (x) 的值域 B,且 B ? A ,据此求 x 的取值范 围。例 2 和例 1 形式上正相反。

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

2

中小学 1 对 1 课外辅导专家 变式练习 (1)已知 f (x) 的定义域为(1,2) 求 f (2 x ? 1) 的定义域 (2)已知 f (2 x ? 1) 的定义域为 (1,2)求 f (x) 的定义域

二、求值问题
? 例 3. 已知定义域为 R 的函数 f(x) ,同时满足下列条件:① f ( 2) ? 1,f (6) ?

1 ;② f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 5

求 f(3) ,f(9)的值。

1 评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取 x ? 2,y ? 3 ,这样便把已知条件 f ( 2) ? 1,f (6) ? 与欲 5
求的 f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。

变式练习:已知函数 f(x)值域为 ?? 2,3? ,则函数 y ? f ( x ? 2) 的值域为______

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

3

中小学 1 对 1 课外辅导专家 三、值域问题 例 4. 设函数 f(x)定义于实数集上,对于任意实数 x、y, f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 总成立,且存在 x1 ? x 2 ,使 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f (x) 的值域。 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题 例 5. 已知 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) .

1 x

评析:如果把 x 和

x ?1 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下, x

给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失” ,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。

变式练习:已知 f (x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? x 2 ? 2x ? 2 ,则 f ( x) ? _____

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

4

中小学 1 对 1 课外辅导专家 五、单调性问题 例 6. 设 f(x)定义于实数集上,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对于任意实数 x、y,有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求 证: f (x) 在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都 应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

六、奇偶性问题 例 7. 已知函数 f ( x)(x ? R,x ? 0) 对任意不等于零的实数 x1、x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 试判断函数 f(x)的奇偶性。

七、对称性问题 例 8. 已知函数 y ? f (x) 满足 f ( x) ? f (? x) ? 2002,求 f
?1

( x) ? f ?1 (2002? x) 的值。

评析: 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题, 在解题中使用了下述命题: a、 均为常数, 设 b 函数 y ? f (x) 对一切实数 x 都满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ,则函数 y ? f (x) 的图象关于点(a,b)成中心对称图形。

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

5

中小学 1 对 1 课外辅导专家 八、网络综合问题 例 9. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 且当 x>0 时,0<f(x)<1。 (1)判断 f(x)的单调性; (2)设 A ? {( x,y) | f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1)},

B ? {( x,y) | f (ax ? y ? 2 ) ? 1 a ? R} ,若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。 ,
评析: (1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的取值问题,二是 f(x)>0 的结论。这是解 题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题的思考和 解决。

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

6

中小学 1 对 1 课外辅导专家

给抽象型函数插上翅膀
尽管抽象型函数问题表面上高度抽象,但它必定脱胎于中学数学中常见的具体初等函数,必然有我们熟悉的痕 迹, 因此根据题设给出的特征式, 结合中学中常见的最基本的函数模型 (如一次函数、二次函数模型、 指数函数模型、 对数函数模型、三角函数模型等)归类建模,给抽象型函数插上翅膀,使学生头脑中有一个函数模型,从而有明确的 解题方向。 一. 一次线性函数模型 一次线性函数特征式为:f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y) 例 1.已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-

1 1 )=0,当 x>- 时,f(x)>0. 2 2

(1)求证:f(x)是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证. 分析:在学过的函数中一次函数满足上述条件,而一次函数具有单调性,从而根据题设条件运用函数单调性定义 加以证明。在证明的过程中为了扣紧题设条件有一定的变形技巧。

例2、已知函数(x)的定义域为R,且同时满足条件: f ()对任意x,y ? R,有(x ? y) (x) (y), 1 f ? f ?f (2)当x ? 0时,(x) 0且() ?2, f ? f 1 ? 求(x)在区间[?3,上的最大值与最小值 f 3] 分析:二次函数、幂、指、对函数不满足条件,在学过的函数中 正比例函数满足条件,且既为奇函数又为减函数。 最大最小值在 ? 3和3处取得。从而明确了解题的方向.

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

7

中小学 1 对 1 课外辅导专家 二. 指数函数模型

指数函数特征式为:f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y) ;f(x-y)=

f ( x) f ( y)

例 3.已知函数 f(x)对一切实数 x? y 满足 f(0)≠0,f(x+y)=f(x)(y),且当 x<0 时,f(x)>1,则当 x>0 时 f(x)的取值范 、 围是 。

简析:指数函数满足题设条件的特征,令 f(x)=ax (0<a<1) ,易得 0<f(x)<1 例 4.是否存在函数 f(x) ,使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)= f(a)f(b) ,a、b∈N;③f(2) =4.同时成立?若存在,求出 f(x)的解析式,若不存在,说明理由.

三.

对数函数模型

对数函数特征式为:f(x)=logax(a>0 且 a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y) ;f(

x )= f(x)-f(y) y

例 5.设 f (x)是定义在 R+上的增函数,且 f (x)= f ( ) + f (y),若 f (3)=1, f ( x) ? f (

x y

1 ) ? 2 ,求 x 的取值范围。 x?5

分析: 在学过的函数中对数函数满足上述条件, f (3)=1, 由 结合对数函数的定义知 f ? x ? ? log3 x , 2 ? f ?9? , ? 从而借助对数的运算性质渐渐转化为左右两边仅含一个函数符号的不等式, 再利用函数的单调性解决。 但在推理 的过程中不能以具体函数 f ? x ? ? log3 x 代替抽象函数 f ? x ? ,它仅给我们推理指明方向。

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

8

中小学 1 对 1 课外辅导专家 四. 三角函数模型 三角函数特征式为: f(x)=tanx-------------------------- f(x+y)=

f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y )

f(x)=cotx------------------------ f(x+y)=

f ( x) f ( y ) ? 1 f ( x) ? f ( y )

f(x)=cosx ------------------------f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 例 6.设函数 f(x)定义在 R 上,对任意 x、y∈R,都有:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且 f(0) ≠0,若存在常数 c, 使 f ( ) ? 0 ,试问 f(x)是否是周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由。 分析:由题意很难发现 f(x)的周期性,这时联想到三角公式,发现 f(x)=cosx 满足条件,由此猜想出 f(x)是以 2c 为周期的函数。

c 2

例 7.设 f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意的 x1≠x2,都有 f(x1-x2)= A、奇函数 B、偶函数 C、即是奇函数也是偶函数 D、非奇非偶函数

1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 f(x)是 f ( x2 ) ? f ( x1 )





例 8、设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足:(i)f(x1-x2)= (1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数,且有一个周期是 4a. 分 析 : 由 (i)f(x1 - x2)=

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 ;(ii)存在正常数 a 使 f(a)=1.求证: f ( x 2 ) ? f ( x1 )

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 联 想 到 两 角 差 的 余 切 公 式 , 从 而 令 f ? x ? ? cot x , 又 cot ? 1 且 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 4

f ? x ? ? cot x 的周期为 ? ,由(ii)存在正常数 a 使 f(a)=1.可猜想出 f(x)是周期函数,且有一个周期是 4a.这给我们证明
此题提供了方向。 .

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

9

中小学 1 对 1 课外辅导专家

例9、设函数(x)是定义域为R的函数,且(x ? 2) ? (x)? 1 ? (x) f f [1 f ] f 又() 2 ? 2,则(2001) f 1 ? f ? 分析:由(x ? 2) f ? 1 ? (x) f ? 1 ? tan x ,联想到 tan x ? ) ( ? 1 ? (x) f 4 1 ? tan x

而y ? tan x的周期为?,而2 ? 8 ? ,由此猜想并证明y ? (x)的周期是8 f 4 从而(2001 ? () 2 ? 2 f ) f 1 ?

?

巩固强化
1. 已知函数 y = f (x)(x∈R,x≠0)对任意的非零实数 x1 , x2 ,恒有 f( x1 x2 )=f( x1 )+f( x2 ), 试判断 f(x)的奇偶性。

2 已知定义在[-2,2]上的偶函数,f (x)在区间[0,2]上单调递减,若 f (1-m)<f (m),求实数 m 的取值范围

3. 设 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+3) =-f(x),求 f(1998)的值。

? 1? 4. 设函数 f(x)对任意 x1 , x 2 ? ?0, ? 都有 f( x1 ? 2?

? x2 ) =f( x1 ) ? f ( x2 ) ,

已知 f(1)=2,求 f( 2 ), f ( 4 );

1

1

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

10

中小学 1 对 1 课外辅导专家 5 设 f(x)是定义 R 在上的函数,对任意 x,y∈R,有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且 f(0)≠0. (1)求证 f(0)=1; (2)求证:y=f(x)为偶函数.

6. 已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)的一个递增区间为(2,6) ,试判断(4,8)是 y=f(2-x)的递增区间还是递减区间?

7. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a,b,当 a+b≠0,都有

f ( a ) ? f (b ) >0 a?b

(1).若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; (2).若 f(k ? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2) <0 对 x∈[-1,1]恒成立,求实数 k 的取值范围。

8.已知函数 f ( x) 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 f (a2 ? sin x) ? f (a ? 1 ? cos2 x) 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的 取值范围。

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

11

中小学 1 对 1 课外辅导专家 9.已知函数 f ( x), 当 x, y ? R 时,恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . (1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a, 试用a表示f (24) .

10.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ?

1 1 1 ,且 f ( ) ? 0 ,当 x ? 时, 2 2 2

f ( x) >0.
(1)求 f (1) ; (2)求和 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) (n ? N * ) ; (3)判断函数 f ( x) 的单调性,并证明.

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

12

中小学 1 对 1 课外辅导专家

学习收获:

精锐教育网站:www.1smart.org

精锐教育·教务管理部

13


推荐相关:

(06函数提高复习之专题六:抽象函数专题2)2012年9月27日....doc

(06函数提高复习之专题六:抽象函数专题2)2012年9月27日教学备课讲义完美编辑版 - 中小学 1 对 1 课外辅导专家 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号 学员编号: ...


...的数学思想)2012年9月27日教学备课讲义完美编辑版.doc

(03函数提高复习之专题函数与方程的数学思想)2012年9月27日教学备课讲义完美编辑版 - 中小学 1 对 1 课外辅导专家 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号_ 学员...


...的数学思想)2012年9月27日教学备课讲义完美编辑版.doc

(04函数提高父子之专题四:数形结合的数学思想)2012年9月27日教学备课讲义完美编辑版 - 中小学 1 对 1 课外辅导专家 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号_ 学员...


...之专题五:周期性和对称性)教学备课讲义完美编辑版.doc

(05函数提高复习之专题五:周期性和对称性)教学备课讲义完美编辑版_数学_高中...是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; 3、几种特殊抽象函数的周期性: f ( x...


...之专题二函数值域求法)教学备课讲义完美编辑版.doc

(02函数提高复习之专题二函数值域求法)教学备课讲义完美编辑版_数学_高中教育_


...专题二:三角函数专题复习)教学备课讲义完美编辑版.doc

(sc三角复习之专题二:三角函数专题复习)教学备课讲义完美编辑版 - 中小学 1


(排列组合)2012年9月28日教学备课讲义完美编辑版.doc

(排列组合)2012年9月28日教学备课讲义完美编辑版_英语学习_外语学习_教育专区。...(06函数提高复习之专题六... 13页 1下载券 (大考复习之专题八:三角... ...


...二:不等式的证明专题复习)教学备课讲义完美编辑版.doc

(不等式复习之专题二:不等式的证明专题复习)教学备课讲义完美编辑版_数学_高中...(06函数提高复习之专题六... 13页 1下载券 (sc三角复习之专题二:三... ...


...专题:函数恒成立问题专题)教学备课讲义完美编辑版.doc

(02特殊函数提高专题:函数恒成立问题专题)教学备课讲义完美编辑版_数学_高中教育_教育专区。中小学 1 对 1 课外辅导专家 精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号学员编号...


...数列最值四种求解方法)教学备课讲义完美编辑版.doc

(sc数列复习之专题六: 数列最值四种求解方法)教学备课讲义完美编辑版_数学_高中...教务管理部 * 中小学 1 对 1 课外辅导专家 (2)函数 f(n)= 1 1 1...


...一:函数、方程和不等式)教学备课讲义完美编辑版.doc

(sc01函数提高复习之专题:函数、方程和不等式)教学备课讲义完美编辑版_数学_高中教育_教育专区。中小学 1 对 1 课外辅导专家 精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号...


(数列复习之专题二: 数列性质)教学备课讲义完美编辑版.doc

(数列复习之专题二: 数列性质)教学备课讲义完美编辑版_数学_高中教育_教育专区...(sc三角复习之专题二:三... 13页 2下载券 (05函数提高复习之专题五......


(同步课程专题:概率统计专题复习)教学备课讲义-完美编....doc

(同步课程专题:概率统计专题复习)教学备课讲义-完美编辑版.doc_语文_高中教育_教育专区。中小学 1 对 1 课外辅导专家 精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号__ 学员...


...综合复习)2012年3月28日教学备课讲义-完美编辑版.do....doc

2012年3月28日教学备课讲义-完美编辑版.doc_理学_...2 9.诱导公式 k 把的 数的 数为 ? 三 化三 ...(06函数提高复习之专题六... 13页 1下载券 (...


(同步课程专题:排列组合概率小结)教学备课讲义-完美编....doc

(同步课程专题:排列组合概率小结)教学备课讲义-完美编辑版.doc_数学_高中教育_教育专区。中国领先的高端教育连锁集团 精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号学员编号: 学员...


...一:集合运算及推出关系)教学备课讲义完美编辑版.doc

(sc集合复习之专题一:集合运算及推出关系)教学备课讲义完美编辑版_数学_高中教育...2.“ac<0”是“函数 y=ax +bx+c(a≠0)”的图象与 x 轴有两个...


...四:三角函数求最值方法)教学备课讲义完美编辑版(待....doc

(sc三角复习之专题四:三角函数求最值方法)教学备课讲义完美编辑版(待编)_数学...π 2 (4)利用单调性求解,如:求函数 y=x-sinx 在[ ,π ]上的最大值(...


(sc数列复习之专题三:求数列通项七种方法)教学备课讲义完美编辑版....doc

(sc数列复习之专题三:求数列通项七种方法)教学备课讲义完美编辑版_数学_高中...q (其中 q 是不为 0 的常数) an (2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法...


...复习之专题四:不等式中的取值范围求法)教学备课讲义完美编辑版....doc

(不等式复习之专题四:不等式中的取值范围求法)教学备课讲义完美编辑版_数学_...(1)试确定 a 、 b 的 4 4 值; (2)讨论函数 f (x ) 的单调区间; (...


抽象函数专题讲义学生版.doc

抽象函数专题讲义学生版 题型一,抽象函数定义运算类型典型例题例 1, (2009 辽宁文理 9)已知偶函数 f ( x) 在区间 [0, +? ) 上单调增加,则 f (2 x ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com