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高三理科数学 周考试卷

2015 级高三数学(理科)周考试题 2017-9-17
一、选择题: (本大题共 12 题,每题 5 分,共 60 分.四个选项中只有一个符合题目要求) 1.已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x +x=0}关系的 Venn 图是 ( )
2

2.函数 y=

-x -3x+4 的定义域为(

2

x

) C.(0,1] D.[-4,0)∪(0,1] ) D. 3 2

A.[-4,1] 3.若点(sin A.- 3 2

B.[-4,0)

5π 5π ,cos )在角 α 的终边上,则 sinα 的值为( 6 6 1 B.- 2 1 C. 2 ) 1 B.?x>0,x+ ≠2

1 ? 4.命题 p:?x>0,x+ =2,则 P 为(

x

1 A.?x>0,x+ =2

x x

x x

1 C.?x>0,x+ ≥2 |ln x|,x>0, ? ? 5.设函数 f(x)=??1?x ? ? ,x<0, ? ??2? A.e 1 B. e

1 D.?x<0,x+ ≠2

若 f(a)+f(-1)=3,则 a 等于(

)

C.1

1 D.e 或 e )

6. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2x·f′(1)+1n x, 则 f′(1)等于( A.-e 7.函数 y=2sin( A.[- C.[ B.-1 π -2x)的单调递增区间为( 3 C.1 ) 5π 11π B.[ +kπ , +kπ ](k∈Z) 12 12 π π D.[- +kπ , +kπ ](k∈Z) 3 6 D.e

π 5π +kπ , +kπ ](k∈Z) 12 12

π 2π +kπ , +kπ ](k∈Z) 6 3
2

8.已知函数 f(x)=ax +(a-3)x+1 在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围 是( )
1

A.[-3,0)
x

B.(-∞,-3]
2

C.[-2,0]

D.[-3,0]

9.已知命题 p:?x∈R,e -mx=0,q:?x∈R,x +mx+1≥0,若 p∨( ? q )为假命题, 则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0)∪(2,+∞) ) B.[0,2] C.R D.?

10.已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数 x≥0,都有

f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 017)+f(2 018)的值
为( ) B.-2 C.2 D.1

A.-1

11.设函数 f(x)=sin(ωx+

)﹣1(ω>0)的导数 f′(x)的最大值为 3,则 f ) D.x=

(x)的图象的一条对称轴的方程是( A.x= B.x=
x

C.x=

12.设曲线 f(x)=﹣e ﹣x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1,

总存在曲线 g(x)=3ax+2cosx 上某点处的切线 l2,使得 l1⊥l2,则实数 a 的取值 范围为( A.[﹣1,2] ) B. (3,+∞) C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知函数 f(x)=1n x-a,若 f(x)<x 在(1,+∞)上恒成立,则实数 a 的取值范围是 ________. 14.已知“(x-m) >3(x-m)”是“x +3x-4<0”的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围 为____________.
2 2 2

x 3 15. 已知 f(x)=ln x- + , g(x)=-x2-2ax+4, 若对任意的 x1∈(0,2], 存在 x2∈[1,2], 4 4x
使得 f(x1)≥g(x2)成立,则 a 的取值范围是________. 16.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时,f(x)=|x -2x-1|.若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 7 个零点(互不相同), 则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12 分)已知命题 p:关于 x 的方程 x +mx+2=0 有两个不相等的负实数根,命题 q:关于 x 的不等式 4x +4(m-2)x+1>0 的解集为 R.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实 数 m 的取值范围.
2 2

2

2

18.(12 分)已知函数

(1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 值; (2)若方程 在(0,π)上的解为 x1,x2,求 cos(x1﹣x2)的值.

19.(12 分)

设函数

(x∈R) .

(1)求函数 y=f(x)的周期和单调递增区间; (2)当 时,求函数 f(x)的最大值.

20.(12 分)已知函数 f(x)=lg

kx-1 (k∈R 且 k>0) . x-1

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)在[10,+∞)上单调递增,求实数 k 的取值范围.

3

21.(12 分)设函数 f(x)=(1﹣x )e .

2

x

(1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 x≥0 时,f(x)≤ax+1,求 a 的取值范围.

22.(10 分)已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+5|,且 f(x)≥m 恒成立. (Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式:|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8.

4

2015 级高三数学(理科)试题参考答案2017-9-17
一、选择题: 1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.B 7.B 8.D 9.B 10.A 11.A 12.D

二、填空题: 5 13.[-1,+∞) 14.(-∞,-7]∪[1,+∞) 15.[ ,+∞) 16.[1,2) 4 三、解答题: 17.解

m 的取值范围是 1, 2 2 ? ∪[3,+∞).

?

?

18.解: (1)f(x)=sinxcosx﹣

cos2x+ ) ,

= sin2x﹣

?

+

= sin2x﹣ ∴当 2x﹣ =

cos2x=sin(2x﹣ 即 x=

+kπ,k∈Z 时,f(x)取得最大值 1. 对称,且 f( )=1, +

(2)由(I)可知 f(x)的图象关于直线 x= ∴x1+x2= ,即 x1=

﹣x2,∴cos(x1﹣x2)=cos( )=f(x2)= . (x∈R) . sinxcosx=

﹣2x2)=cos(

﹣2x2)=sin(2x2﹣
19.解:函数

化解可得:f(x)=2cos2x+2 ∴函数 y=f(x)的周期 T= ∵



,∴

, (k∈Z) ;

∴函数 y=f(x)的单调递增区间为: (2)∵ ∴ ∴ , ,∴ 的最大值是 3.
k kx-1 1 >0 及 k>0,得 >0,即(x- )(x-1)>0. x-1 x-1 k k x-
1



20.解

(1)由

1 当 0<k<1 时,x<1 或 x> ;当 k=1 时,x∈R 且 x≠1;

5

1 1 当 k>1 时,x< 或 x>1.综上,当 0<k<1 时,定义域为(-∞,1)∪( ,+∞);

k

k

1 当 k≥1 时,定义域为(-∞, )∪(1,+∞).

k

10k-1 1 (2)因为 f(x)在[10,+∞)上单调递增,所以 >0,所以 k> . 10-1 10 又 f(x)=lg

kx-1 k-1 =lg(k+ ),故对任意的 x1,x2,当 10≤x1<x2 时, x-1 x-1 k-1 k-1 k-1 k-1 )<lg(k+ ),所以 < , x1-1 x2-1 x1-1 x2-1
1

恒有 f(x1)<f(x2),即 lg(k+ 所以(k-1)( 1 - 1

x1-1 x2-1

)<0.又因为

x1-1 x2-1

>

1

,所以 k-1<0,即 k<1.

综上,实数 k 的取值范围是(

1 ,1). 10
2 x

21.解: (1)因为 f(x)=(1﹣x )e ,x∈R,

所以 f′(x)=(1﹣2x﹣x2)ex, 令 f′(x)=0 可知 x=﹣1± 当 x<﹣1﹣ 0, 所以 f(x)在(﹣∞,﹣1﹣ ﹣1+ )上单调递增; ) , (﹣1+ ,+∞)上单调递减,在(﹣1﹣ , 或 x>﹣1+ , 时 f′(x)<0,当﹣1﹣ <x<﹣1+ 时 f′(x)>

(2)由题可知 f(x)=(1﹣x) (1+x)ex.下面对 a 的范围进行讨论: ①当 a≥1 时,设函数 h(x)=(1﹣x)ex,则 h′(x)=﹣xex<0(x>0) , 因此 h(x)在[0,+∞)上单调递减, 又因为 h(0)=1,所以 h(x)≤1, 所以 f(x)=(1﹣x)h(x)≤x+1≤ax+1; ②当 0<a<1 时,设函数 g(x)=ex﹣x﹣1,则 g′(x)=ex﹣1>0(x>0) , 所以 g(x)在[0,+∞)上单调递增, 又 g(0)=1﹣0﹣1=0, 所以 ex≥x+1. 因为当 0<x<1 时 f(x)>(1﹣x) (1+x)2, 所以(1﹣x) (1+x)2﹣ax﹣1=x(1﹣a﹣x﹣x2) ,

6

取 x 0=

∈(0,1) ,则(1﹣x0) (1+x0)2﹣ax0﹣1=0,

所以 f(x0)>ax0+1,矛盾; ③当 a≤0 时,取 x0= 矛盾; 综上所述,a 的取值范围是[1,+∞) . ∈(0,1) ,则 f(x0)>(1﹣x0) (1+x0)2=1≥ax0+1,

22 解:(Ⅰ)要使 f(x)≥m 恒成立,只需 m≤f(x)min. 由绝对值不等式的性质,有|2x﹣1|+|2x+5|≥|(2x﹣1)+(2x+5)|=6, 即 f(x)min=6,所以 m≤6. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,m=6,所以原不等式化为|x﹣3|﹣2x≤4,即|x﹣3|≤4+2x, 得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x,转化为 ,

化简,得

,所以原不等式的解集为

.)

7


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