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3.1.2 比较大小

3.1.2 比较大小 要点精讲 1. 实数的运算性质与大小顺序之间的关系。 设 a 、 b 为任意两个实数,如果 a ? b 是整数,那么 a ? b ;如果 a ? b 等于零,那么 ?a ? b ? 0 ? a ? b; ? a ? b ;如果 a ? b 是负数,那么 a ? b ,反过来也成立,即 ?a ? b ? 0 ? a ? b; ?a ? b ? 0 ? a ? b. ? 注:①上面的“ ? ”表示“等价于”,即可以互相推出; ②上面的“ ? ”左边的式子反应了实数的运算性质,右边的式子反应的是数的大小,而这结 合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系。 ③这一关系是不等式的理论基础,是比较两个实数大小的依据,也是不等式性质的证明、 证明不等式和解不等式的主要依据。 2. 实数比较大小的方法。 (1)作差比较:“作差法”的一般步骤是: ①作差;②变形;③判断符号;④得出结论. 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、有理化 等方法.常用的结论有 x ? 0, ? x ? 0,|x|? 0,-|x|? 0 等. 2 2 (2) 作商比较:“作商法”的一般步骤是:①作商;②变形;③判断商值与 1 的大小关系; ④得出结论. 用“作商法”比较两个实数大小的关键是判断商值与 1 的大小关系,常采用约分、分解等 变形方法。 注:利用作商法比较两个实数的大小时,作为比较大小的两个数必须同号切不为零;关键是 正确变形和判断商的值与 1 的大小。在数(式)的结构中含有幂、根式或绝对值时,常采用 作商法。 3. 不等式的性质及证明。 性质 1: (对称性) a ? b ? b ? a ; 证:∵ a ? b ∴ a ? b ? 0 由正数的相反数是负数 ? ( a ? b) ? 0 b?a ?0 b?a 性质 2: (传递性) a ? b , b ? c ? a ? c 证:∵ a ? b , b ? c ∴ a ?b ? 0, b?c ? 0 ∵两个正数的和仍是正数 ∴ (a ? b) ? (b ? c) ? 0 即 a?c ? 0 ∴ a?c 由对称性、性质 2 可以表示为:如果 c ? b 且 b ? a 那么 c ? a 性质 3: (加法单调性) a ? b , c ? R ? a ? c ? b ? c 证:∵ (a ? c) ? (b ? c) ? a ? b ? 0 ∴a?c ?b?c 从而可得移项法则: a ? b ? c ? a ? b ? (?b) ? c ? (?b) ? a ? c ? b 推论①: (相加法则) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d 证: a ? b ? a ? c ? b ? c? ??a?c ?b?d c ? d ? b ? c ? b ? d? ? a?b ? a?c ?b?d ? ?? c ? ?d 推论②: (相减法则)如果 a ? b 且 c ? d ,那么 a ? c ? b ? d 证:∵ c ? d ∴ ? c ? ?d 或证: (a ? c) ? (b ? d ) ? (a ? b) ? (c ? d ) ?a ? b ?c ? d ? a ? b ? 0? ? ? 上式>0 ? c ? d ? 0? ……… 性质 4: (乘法单调性) a ? b , c ? 0 证: ac ? bc ? (a ? b)c ? ac ? bc ; a ? b , c ? 0 ? ac ? bc ∵a?b ∴ a?b ? 0 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得: c ? 0 时 (a ? b)c ? 0 即: ac ? bc c ? 0 时 (a ? b)c ? 0 即: ac ? bc 推论①: (相乘法则) a ? b ? 0 且 c ? d ? 0 证: ? ac ? bd a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ? ? ? ac ? bd c ? d , b ? 0 ? bc ? bd ? 推论②: (乘方法则) a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? N且n ? 1) a b ? c d 推论③: (相除法则) a ? b ? 0 且 0 ? c ? d ,那么 证:∵ d ? c ? 0 1 ∴c 1 ? a b ? 0? ?? ? d c d a ?b?0? ? ? 性质 5: (开方法则)如果 a ? b ? 0 ,那么 n a ? n b 证: (反证法)假设 n (n ? N且n ? 1) n a ?n b 则:若 n a ? a ? n n b ?a?b 这都与 a ? b 矛盾 b ?a?b ∴ n a ?n b 典型例题 例 1:有三个条件: (1)ac2>bc2;(2) a b > ;(3)a2>b2,其中能分别成为 a>b 的充分条件的 c c 个数有( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2 2 2 2 2 【解析】 (1)由 ac >bc 可知 c >0,即 a>b,故 ac >bc 是 a>b 的充分条件, (2)c<0 时,a<b, (3)a<0 时,a<b, 故(2) 、 (3)不是 a>b 的充分必要条件,故答案选 B。 例 2:已知 b ? a ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,那么( ) a 4 ? b4 a ? b ? ?b a ?b 2 a 4 ? b4 a?b ? 2ab ? ?b C. a ?b 2 A. 2ab ? B. 2ab ? a ? b a 4 ? b4 ? ?b 2 a ?b a?b a 4 ? b4 ?b? D. 2ab ? 2 a ?b 1 1 , ? b ? 1. 2 2 【解析】 ? a ? b ? 1, b ? a ? 0,? 0 ? a ? 由 a 4 ? b4 1 1 1 ? a 2 ? b2 ? a 2 ?

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