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甘肃省兰州一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年甘肃省兰州一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在试卷的答题卡中.) 1. (3 分)已知集合 A={1,16,4x},B={1,x },若 B?A,则 x=() A.0 B . ﹣4 C.0 或﹣4 D.0 或±4
2

2. (3 分)函数 y=

的定义域是()

A. 6. (3 分)已知函数 f( +1)=x+1,则函数 f(x)的解析式为() 2 2 A.f(x)=x B. f(x)=x +1(x≥1) 2 2 C. f(x)=x ﹣2x+2(x≥1) D.f(x)=x ﹣2x(x≥1)

7. (3 分)设 A.a>b>c B.c>a>b

,则 a,b,c 的大小关系是() C.a<b<c D.t=15

8. (3 分)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(2)=0, 则不等式 xf(x)<0 的解集为() A.(﹣2,0)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) C. (﹣∞, ﹣ 2)∪(2,+∞) D. (﹣2,0)∪(0,2) 9. (3 分)函数 f(x)=3?4 ﹣2 在 x∈
x x

B.

C. 时,f(x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣

x

2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实根,则 a 的取值范围 是() A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1, ) D.( ,2)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分). 2 13. (4 分)函数 f(x)=log2(x ﹣5x+4)的单调递减区间是. 14. (4 分)函数 y= 的值域是.

15. (4 分)已知函数

为定义在区间上的奇函数,则 a+b=.

16. (4 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,且函数 f(x+1)为奇函数, 对于下列命题: ①函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x) ; ②函数 f(x)图象关于点(1,0)对称; ③函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称; ④函数 f(x)的最大值为 f(2) ; ⑤f=0. 其中正确的序号为.

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (6 分)设集合 A={x|a﹣1≤x≤a+1},集合 B={x|﹣1≤x≤5}. (1)若 a=5,求 A∩B; (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围.

18. (10 分) (1)若 a>0,b>0,化简:

﹣(4a﹣1)

(2)若 log23=a,log52=b,试用 a,b 表示 log245. 19. (10 分)已知 f(x)=log2 .

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在定义域上的单调性并用单调性的定义证明. 20. (10 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x. (1)写出函数 f(x) ,x∈R 的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)﹣2ax+2,x∈,求函数 g(x)的最小值 h(a) . 21. (12 分)已知函数 f(x)是定义在上的奇函数,且 f(1)=1,若 x,y∈,x+y≠0 有(x+y) ?>0. (1)判断 f(x)的单调性,并加以证明; (2)解不等式
2 2



(3)若 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈,a∈恒成立.求实数 m 的取值范围.

2014-2015 学年甘肃省兰州一中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在试 卷的答题卡中.) 1. (3 分)已知集合 A={1,16,4x},B={1,x },若 B?A,则 x=() A.0 B . ﹣4 C.0 或﹣4 D.0 或±4 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 根据集合的包含关系与集合元素的互异性进行判断. 2 2 2 解答: 解:∵A={1,16,4x},B={1,x },若 B?A,则 x =16 或 x =4x,则 x=﹣4,0,4. 又当 x=4 时,4x=16,A 集合出现重复元素,因此 x=0 或﹣4. 故答案选:C. 点评: 本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性
2

2. (3 分)函数 y= A.

的定义域是()

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意,分子根号下的式子大于或等于零,分母不为零,据此列出 x 的不等式组, 求解即可. 解答: 解:要使原式有意义只需: ,解得 且 x≠2,

故函数的定义域为 点评: 求函数的定义域分两类,一是实际问题中函数的定义域,有变量的实际意义确定; 二是一般函数的定义域,由使式子有意的 x 的范围确定,一般是列出不等式组求解.注意结果 要写成集合或区间的形式. 3. (3 分)点(x,y)在映射 f:A→B 作用下的象是(x+y,x﹣y) ,则点(3,1)在 f 的作用 下的原象是() A.(2,1) B.(4 ,2) C.(1,2) D.(4,﹣2) 考点: 映射. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 直接由 ,列式求解 x,y 的值即可得到答案.

解答: 解:由

,解得 x=2,y=1.

∴象(3,1)的原象是(2,1) .

故选:A. 点评: 本题考查了映射的概念,训练了二元一次方程组的解法,是基础的计算题. 4. (3 分)下列四组函数中,表示相等函数的一组是() A.f(x)=|x|, B. ,

C.

,g(x)=x+1

D.



考点: 判断两个 函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断两个函数定义域和对应法则是否一致即可. 解答: 解:A.函数 g(x)= B.函数 f(x)= =|x|,两个函数的对应法则和定义域相同,是相等函数.

=|x|,g(x)=x,两个函数的对应法则和定义域不相同,不是相等函数.

C.函数 f(x)=x+1 的定义域为{x|x≠1},两个函数的定义域不相同,不是相等函数. D.由
2

,解得 x≥1,即函数 f(x)的定义域为{x|x≥1},

由 x ﹣1≥0,解得 x≥1 或 x≤﹣1,即 g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤﹣1},两个函数的定义域不 相同,不是相等函数. 故选:A. 点评: 本题主要考查判断两个函数是否为相等函数,判断的标准是判断两个函数的定义域 和对应法则是否完全相同.

5. (3 分)幂函数 y=f(x)的图象经过点(﹣2,﹣ ) ,则满足 f(x)=27 的 x 的值是() A. B. ﹣ C. 3 D.﹣3

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 现根据幂函数的图象过定点,代入后求出幂函数解析式,然后在解析式中取 y=27 求 x 的值. 解答: 解:设幂函数为 y=x ,因为图象过点(﹣2,﹣ ) ,所以有 α=﹣3 所以幂函数解析式为 y=x ,由 f(x)=27,得:x =27,所以 x= . 故选 A.
﹣3 ﹣3

α

=(﹣2) ,解得:

α

点评: 本题考查了密函数的概念、解析式,解答此题的关键是掌握幂函数的表达式,是基 础题. 6. (3 分)已知函数 f( +1)=x+1,则函数 f(x)的解析式为() 2 2 A.f(x)=x B. f(x)=x +1(x≥1) 2 2 C. f(x)=x ﹣2x+2(x≥1) D.f(x)=x ﹣2x(x≥1) 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 通过换元:令 ,将已知条件中的 x 都换为 t,得到关于 t 的函数解析式,再 将 t 换为 x 即可. 解答: 解:令 则 x=(t﹣1) (t≥1) 2 2 ∴f(t)=(t﹣1) +1=t ﹣2t+2 2 ∴f(x)=x ﹣2x+2(x≥1) 故选 C 点评: 已知 f(ax+b)的解析式来求 f(x)的解析式,一般通过换元的方法或配凑的方法.
2

7. (3 分)设 A.a>b>c B.c>a>b

,则 a,b,c 的大小关系是() C.a<b<c D.t=15

考点: 指数函数的单调性与特殊点;不等关系与不等式. 专题: 计算题. 分析: 直接利用指数函数的单调性判断 a、b 的大小 ,通过幂函数的单调性判断 b、c 的大 小即可. 解答: 解:因为 y= 是减函数,所以 ,

幂函数 y=

是增函数,所以



∴a<b<c. 故选:C. 点评: 本题考查指数函数的单调性幂函数的单调性的应用,考查的比较一般利用函数的单 调性. 8. (3 分)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(2)=0, 则不等式 xf(x)<0 的解集为() A.(﹣2,0)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) C. (﹣∞, ﹣ 2)∪(2,+∞) D. (﹣2,0)∪(0,2) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 根据函数的奇偶性求出 f(﹣2)=0,xf(x)<0 分成两类,分别利用函数的单调性 进行求解. 解答: 解:∵f(x)为奇函数,且满足 f(2)=0,且在(0,+∞)上是增函数, ∴f(﹣2)=﹣f(2)=0,f(x)在(﹣∞,0)内是增函数 ∵xf(x)<0, ∴ 或

根据在(﹣∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是增函数 解得:x∈(0,2)∪(﹣2,0) . 故选:D. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性的性质,以及函数单调性的应用等有关知识,属于基 础题. 9. (3 分)函数 f(x)=3?4 ﹣2 在 x∈ B. C. 点评: 本题是一元二次方程的根为依托,求二次函数的最小值问题,必须注意到方程的根 与系数的关系. 另外,本题容易发生的错误是,没有注意到方程有根的条件:△ ≥0,导致错解. 12. (3 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2) ,且当 x∈时, f(x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实根,则 a 的取值范围是() A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1, ) D.( ,2)
x x x

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 作图题;函数的性质及应用. 分析: 作出在区间(﹣2,6]内函数 f(x)的图象,将方程的根的个数化为函数图象交点的 个数. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(x)的图象关于 y 轴对称, ∵对 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2) , ∴f(x)是周期函数,且周期为 4; ∵当 x∈时,f(x)=( ) ﹣1, ∴其在区间(﹣2,6]内的图象如右图, ∴在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实根可转 化为,函数 f(x)的图象与 y=loga(x+2)的图象有且只有三个不同的交点, 则 loga(2+2)<3,且 loga(6+2)>3 解得,a∈( 故选 D. ,2) .
x

点评: 本题通过分析可得函数 f(x)的性质,并由这些性质根据图象变换作出其图象,将 方程问题化为图象交点问题,属于中档题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分). 2 13. (4 分)函数 f(x)=log2(x ﹣5x+4)的单调递减区间是(﹣∞,1) . 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 令 t=x ﹣5x+4>0,求得函数的定义域,本题即求函数 t 在定义域内的减区间,再利 用二次函数的性质可得 t 在定义域内的减区间. 2 解答: 解:令 t=x ﹣5x+4>0,求得 x|x<1,或 x>4,故函数的定义域为{x|x<1,或 x>4}, 且 f(x)=log2t, 故本题即求函数 t 在定义域内的减区间. 再利用二次函数的性质可得 t=x ﹣5x+4 在定义域{x|x<1,或 x>4}内的减区间为(﹣∞,1) , 故答案为: (﹣∞,1) . 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题.
2

14. (4 分)函数 y=

的值域是{y|y≠0}.

考点: 函数的值域. 专题: 计算题.

分析: 由于 y=

=

=

,结合反比例函数的值域及函数图象的平移可求

解答: 解:∵y=

=

=

又∵

的图象向左平移 可得 y=

的图象,且反比例函数 y= ≠0

∴y=

=

=

≠0

故答案为{y|y≠0} 点评: 本题主要考查了反比例函数的值域的求解及函数图象的平移,属于基础试题

15. (4 分)已知函数

为定义在区间上的奇函数,则 a+b=2.

考点: 指数函数综合题;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数定义域的特点解出 a,然后奇函数的定义建立方程求解 b,即可得到 a+b 的值. 解答: 解:∵f(x)是定义在上奇函数, ∴定义域关于原点对称, 即﹣2a+3a﹣1=0, ∴a=1, ∵函数 为奇函数,

∴f(﹣x)=
x x

=﹣



即 b?2 ﹣1=﹣b+2 , ∴b=1. 即 a+b=2, 故答案为:2. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用和判断,利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键 . 16. (4 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x+2)+f(x)=0,且函数 f(x+1)为奇函数, 对于下列命题: ①函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x) ; ②函数 f(x)图象关于点(1,0)对称; ③函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称; ④函数 f(x)的最大值为 f(2) ; ⑤f=0. 其中正确的序号为①②③⑤.

考点: 函数奇偶性的性质;函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①利用函数的定义判断.②利用点对称的性质判断.③利用轴对称去判断.④利 用函数的周期性和对称性判断.⑤利用周期性和对称性将 f 进行转换求值. 解答: 解:①对 因为 f(x+2)+f(x)=0 得 f(x+2)=﹣f(x) 即 f(x+4)=f(x+2+2)=﹣f(x+2)=﹣=f(x) ②对 函数 f(x+1)为奇函数,即函数 f(x)向左平移一个单位以后关于(0,0)对称, ∴平移之前的图象应该关于(1,0)对称,故②正确; ③对 由 f(x+2)=﹣f(x) 得 f(x+1+2)=﹣f(x+1) 又由 f(﹣x+1)=﹣f(x+1) 知 f(x+1+2)=f(﹣x+1) 即 f(x+3)=f(﹣x+1) 故函数 f(x)有对称轴 x=2 即 f(x)的图象关于直线 x=2 对称 ④不对 对于 f(x+2)+f(x)=0,因为是奇函数, 所以 f(0)=0,也就是 f(2)=﹣f(0)=0, 因为函数的单调性没有给出,所以无法确定函数的最大值,即④错误. ⑤对 由①知 f =f (502×4+1) =f(1) 又由②知 F(x)=f(x+1) 令 x=0,则 F(0)=f(0+1)=0 即 f(1)=0 即 f=0 点评: 本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用,还考查了函数的对称及与图象的平移变 换,综合性较强,属于中档题. 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (6 分)设集合 A={x|a﹣1≤x≤a+1},集合 B={x|﹣1≤x≤5}. (1)若 a=5,求 A∩B; (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 考点: 并集及其运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)利用交集的定义求解. (2)利用并集的性质求解.

解答: 解: (1)∵a=5,A={x|a﹣1≤x≤a+1}={x|4≤x≤6}, 集合 B={x|﹣1≤x≤5}. ∴A∩B={x|4≤x≤5}. (2)∵A∪B=B,∴A?B, ∴ ,

解得 0≤a≤4. 点 评: 本题考查交集的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意集合 的性质的合理运用.

18. (10 分) (1)若 a>0,b>0,化简:

﹣(4a﹣1)

(2)若 log23=a,log52=b,试用 a,b 表示 log245. 考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用分数指数幂的运算法则求解. (2)利用对数的性质和运算法则化简求值. 解答: 解: (1)∵a>0,b>0,



=



(2)∵log245=log2(5×9)=log25+log29=log25+2log23, 而 log52=b,则 ∴ , .

点评: 本题考查对数式和指数式的化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意分类指 数幂和对数的运算法则的合理运用.

19. (10 分)已知 f(x)=log2



(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断 f(x)在定义域上的单调性并用单调性的定义证明. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用.

分析: (1)根据函数奇偶性的定义即可得到结论. (2)根据函数单调性的定义即可得到结论. 解答: 解: (1)若 于原点对称. 又因为 所以 f(x)为奇函数. (2)函数 f(x)在定义域(﹣1,1)上单调递减. 证明:任取 x1,x2∈(﹣1,1)且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)= = , , 有意义,则 ,解得定义域为(﹣1,1) ,关

因为 x1, x2∈ (﹣1, 1) 且 x1<x2, 所以 即 f(x1)﹣f(x2)>0, 所以 f(x)在区间(﹣1,1)上为减函数. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明,利用定义法是解决本题的关键. 20. (10 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x. (1)写出函数 f(x) ,x∈R 的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)﹣2ax+2,x∈,求函数 g(x)的最小值 h(a) . 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用函数的奇偶性,求出分段函数的解析式. (2)利用分类讨论思想,进一步求出函数的最值 2 解答: 解: (1)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x. 2 当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x 所以: (2)①当 a+1≤1 时,即 a≤0,g(x)min=g(1)=1﹣2a ②当 1<a+1<2 时,即 0<a<1 ③当 a+1≥2 时,即 a≥1g(x)min=g(2)=2﹣2a
2



综上:



故答案为: (1)

(2)

点评: 本题考查的知识要点:函数的奇偶性,利用奇偶性求函数的解析式,利用分类讨论 思想求函数的最值 21. (12 分)已知函数 f(x)是定义在上的奇函数,且 f(1)=1,若 x,y∈,x+y≠0 有(x+y) ?>0. (1)判断 f(x)的单调性,并加以证明; (2)解不等式
2



(3)若 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈,a∈恒成立.求实数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)设 x1,x2∈,且 x1<x 2,则 x1﹣x2<0,利用 x,y∈,x+y≠0 有(x+y)?>0, 可得 f(x1)+f(﹣x2)<0,根据函数 f(x)是定义在上的奇函数,即可得函数 f(x)在上单 调增; (2)由(1)知, ,解之即可;
2

(3)先确定函数 f(x)在上的最大值为 f(1)=1,将 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈,a∈恒成 2 立转化为:0≤m ﹣2am 对所有 a∈恒成立,从而可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)函数 f(x)在上单调增,证明如下 由题意,设 x1,x2∈,且 x1<x2 则 x1﹣x2<0 ∵x,y∈,x+y≠0 有(x+y)?>0. 令 x=x1,y=﹣x2, ∴f(x1)+f(﹣x2)<0 ∵函数 f(x)是定义在上的奇函数 ∴f (x1)﹣f(x2)<0 ∴函数 f(x)在上单调增; (2)由(1)知, ,解得:

(3)由于函数 f(x)在上单调增, ∴函数 f(x)在上的最大值为 f(1)=1 2 2 ∴f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈,a∈恒成立可转化为:0≤m ﹣2am 对所有 a∈恒成立 ∴ ,

解得 m≥2 或 m≤﹣2 或 m=0 点评: 本题以抽象函数的性质为载体,考查函数的单调性,考 查单调性与奇偶性的结合, 2 2 同时考查了恒成立问题, 解题的关键是: f (x) ≤m ﹣2am+1 对所有 x∈, a∈恒成立转化为: 0≤m ﹣2am 对所有 a∈恒成立


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