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数学文卷·2014届天津市天津一中高三上学期第二次月考(2013.12)


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天津一中 2013—2014 学年高三二月考考试试卷 数学(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.复数 z 满足: ( z ? i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( A. ?2 ? 2i 2. 下列结论错误的是( B. ?2 ? 2i ) ) C. ? ? ?i D. ? ? ?i

A.命题“若 p ,则 q ”与命题“若 ?q, 则 ? p ”互为逆否命题;
x 2 B.命题 p : ?x ?[0,1], e ? 1,命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 则 p ? q 为真;

C.“若 am ? bm , 则 a ? b ”的逆命题为真命题;
2 2

D.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题. 3. 如下框图,当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 8.5 时, x3 等于( A. 7 B. 8 C.10 ) D.11

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4.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?



B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

5.集合 A ? ?x||x-a|<1,x ? R? , B ? ?x |1 ? x ? 5, x ? R?.若A ? B ? ?, 则实数 a 的取值 范围是( ) B. a | a ? 2, 或a ? 4

A. ?a | 0 ? a ? 6? C. a | a ? 0, 或a ? 6

?

?

?

?

D. ?a | 2 ? a ? 4?

6.在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AC ? BE ? 1 , 则 AB 的长为( A. ) B.

1 4

1 3

C.

1 2

D. 1

7.已知 a

?5

log2 3.4

,b ? 5

log4 3.6

?1? ,c ? ? ? ?5?

log3 0.3

, 则(
C. a ? c ? b

) D. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

8.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f (2+x)=-f ( x) ,且当 x ? [0,1] 时 在 f ( x) , 若 a[ f ( x)?] ? ? x ?1
2 2

1,5] 上 有 5 个 根 b f? ( x) ? 在 3 [?0

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,则 xi (i ? 1 , 2 , 3 , 4x1, ?5 x2)? x3 ? x4 ? x5 的值为(
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A.7 B. 8 C.9 D.10

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在题中横线上

9.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别 为 1,2,3,则此球的表面积为_________________

10.一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为_______________

( 11 . 函 数 y ? lo g a ( x ? 3) - 1 (a ? 0且a ? 1) 的 图 像 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线



m x ? ny ? 2 ? 0 上,其中 mn ? 0, 则

1 2 ? 的最小值为 m n

12. 函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos 2 ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,则函数 2
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? ? ? y ? g ( x) 在区间 ? 0, ? 上的最小值是_______________ ? 16 ?

?? x2 ? 4 x ? 10( x ? 2) ? 13. 已知函数 f ( x) ? ? ,若 f (6 ? a2 ) ? f (5a) ,则实数 a 的取值 ? ?log3 ( x ? 1) ? 6( x ? 2)
范围是__________________

14.设函数 f ( x) ? x ?

1 ,对任意 x ? [1,??) , f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 x

m 的取值范围是_____________________
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 13 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊,无法 确认,在图中经 X 表示。

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差 (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率。

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16. (本小题满分 13 分) 已知 △ ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ? (Ⅰ)求 cos? A ? B ?的值

2 5 3 10 , cos B ? . 5 10

(Ⅱ)设 a ? 10 ,求 △ ABC 的面积.

17. (本小题满分 13 分) 已知 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S4 , S2 , S 3 成等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 .(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2013 ?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合; 若不存在,说明理由.

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18. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P? ABCD 中 , PA ? 底 面

P

E

ABCD ,AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° ,
A D C

PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点
(Ⅰ)证明 CD ? AE ; (Ⅱ)证明 PD ? 平面 ABE ; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的正弦值的大小

B

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对于任意的 n ? N ,恒有 Sn ? 2an ? n ,
*

设 bn ? log 2 (an ? 1) .

(Ⅰ)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列;

(Ⅱ)求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式 an 和 bn ;

2bn 4 (Ⅲ)若 cn ? ,证明: c1 ? c2 ? ? cn ? . an ? an ?1 3

20. (本小题满分 14 分)
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已 知 函 数 f ( x) ? ?

?? x3 ? ax 2 ? bx,??( x ? 1) ?c ln x,??( x ≥1)

的 图 像 在 点 (? 2 ,f ? 处 ( 2) ) 的切线方程为

1 6x ? y ? 2 0 ? .0
(Ⅰ)求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?1,2] 上的最大值; (Ⅲ)曲线 y ? f ( x) 上存在两点 M 、 N ,使得△ MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三 角形,且斜边 MN 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围.

参考答案 1-8 D C B B C C C D 10. 200+9π 11.4 12.1 14.(-?,-1) 9. 14π

13. ?? 6,1?

15. 【解析】 : (Ⅰ)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4 1 35 35 35 11 s 2 ? [(8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 16
以 平 均 数 为

x?







(Ⅱ)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11;乙组 四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10,分别从甲、乙两组中 随机选取一名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A1,B4) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (A2,B4) , (A3,B1) , (A2,B2) , (A3,B3) , (A1,B4) , (A4,B1) , (A4,B2) , (A4,B3) , (A4,B4) ,用 C 表示:“选出的两名同学 的植树总棵数为 19”这一事件, 则 C 中的结果有 4 个, 它们是: ( A 1, B4) , (A2, B4) , ( A 3, B2) , (A4,B2) ,故所求概率为 P (C ) ?

4 1 ? . 16 4
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16.

(Ⅱ)由(I)知, A ? B ? 45 ∴ C ? 135
?

?

10 a b sin B ? ? 10 ? 10 ? 5 ∵ a ? 10 ,由正弦定理 得 b ? a? sin A sin B sin A 5 5
∴ S ?ABC ? 17.

1 1 2 5 absin C ? ? 10 ? 5 ? ? 2 2 2 2

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18. (Ⅰ)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面 ABCD ,

P M E

CD ?





A

B

C ,

D 故

P ?A

A

C
B

D
C

D

∵ A C? C D , PA

∴ CD ? 平面 PAC A? C , A

而 AE ? 平面 PAC ,∴ CD ? AE (Ⅱ)证明:由 PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60° ,可得 AC ? PA

∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC
由(Ⅰ)知, AE ? CD ,且 PC
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CD ? C ,所以 AE ? 平面 PCD
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而 PD ? 平面 PCD ,∴ AE ? PD

∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB ? AD ,∴ AB ? PD
又∵ AB

AE ? A ,综上得 PD ? 平面 ABE
则 (Ⅱ) 知,AE ? 平面 PCD ,

(Ⅲ) 解法一: 过点 A 作 AM ? PD , 垂足为 M , 连结 EM

AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ,则 EM ? PD
因此 ?AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角 由已知,得 ?CAD ? 30° 可得 PA ? a,AD ? 设 AC ? a ,

2 3 21 2 a,PD ? a,AE ? a 3 3 2

· PD ? PA · AD , 在 Rt△ ADP 中,∵ AM ? PD ,∴ AM
P

PA · AD ? 则 AM ? PD

a ·

2 3 a 2 7 3 ? a 7 21 a 3
A

E

M D C

在 Rt△ AEM 中, sin AME ?

AE 14 ? AM 4

B

解法二:由题设 PA ? 底面 ABCD , PA ? 平面 PAD ,则 平面 PAD ? 平面 ACD ,交线为 AD 过点 C 作 CF ? AD , 垂足为 F ,故 CF ? 平面 PAD 连结 CM ,故 CM ? PD 过点 F 作 FM ? PD , 垂足为 M ,

因此 ?CMP 是二面角 A ? PD ? C 的平面角

由已知,可得 ?CAD ? 30° ,设 AC ? a , 可得 PA ? a,AD ?

2 3 21 1 3 a,PD ? a,CF ? a,FD ? a 3 3 2 6
FM FD ? PA PD
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∵△FMD ∽△PAD ,∴
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3 a ·a FD · PA 7 ? 6 ? a 于是, FM ? PD 14 21 a 3

1 a CF 在 Rt△CMF 中, tan CMF ? ? 2 ? 7 FM 7 a 14
19. 解(1)当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 1 ,得 a1 ? 1 . ∵ S n ? 2an ? n ,∴当 n ? 2 时, S n?1 ? 2an?1 ? (n ? 1) , 两式相减得: an ? 2an ? 2an?1 ? 1 ,∴ an ? 2an?1 ? 1 . ∴ an ? 1 ? 2an?1 ? 2 ? 2(an?1 ? 1) , ∴ {a n ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)得 an ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n ,∴ an ? 2n ? 1, n ? N * . ∴ bn ? log2 (an ? 1) ? log2 2 n ? n , n ? N * . (3) cn ?
2n 2 n ?1 , c n?1 ? , an an?1 a n ?1a n ? 2

由 {an } 为正项数列,所以 {cn } 也为正项数列, 从而
c n ?1 2a n 2(2 n ? 1) 2(2 n ? 1) 1 ? ? n?2 ? n?2 ? ,所以数列 {cn } 递减. cn an?2 2 ?1 2 ?4 2

1 1 1 所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ? c1 ? c1 ? ( ) 2 c1 ? ? ? ( ) n?1 c1 ? 2 2 2
2n 1 1 ? n ? n?1 , n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

1 1 ? ( )n 2 ?c ? 4 . 1 1 3 1? 2

另证:由 cn ?

所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ? (

1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ?? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
1

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1 1 1 4 ? ? 1 ? n?1 ?1? . 3 2 n ? 1 2 n?1 ? 1 2 ?1
20. 当 1 ≤ x ≤ 2 时, f ( x) ? c ? ln x , 当 c ≤ 0 时, c ? ln x ≤ 0 恒成立, f ( x) ≤ 0 ? 2 , 此时 f ( x ) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 ; 当 c ? 0 时, f ( x) ? c ? ln x 在 [1, 2] 上单调递增,且 f (2) ? c ? ln 2 .

2 2 ,所以当 c ? 时, ln 2 ln 2 f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (2) ? c ? ln 2 ; 2 当0 ? c≤ 时, f ( x ) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (?1) ? 2 . ln 2 2 综上可知,当 c ≤ 时, f ( x ) 在 [?1, 2] 上的最大值为 2 ; ln 2 2 当c ? 时, f ( x ) 在 [?1, 2] 上的最大值为 c ? ln 2 . ln 2 ?? x3 ? x 2 ,??( x ? 1) ⑶ f ( x) ? ? ,根据条件 M , N 的横坐标互为相反数,不妨设 c ln x , ?? ( x ≥ 1) ?
令 c ? ln 2 ? 2 ,则 c ?

M (?t , t 3 ? t 2 ) , N (t , f (t )) , (t ? 0) . 3 2 若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,
由 ?MON 是直角得, OM ? ON ? 0 ,即 ?t ? (t ? t )(?t ? t ) ? 0 ,
2 3 2 3 2

即 t ? t ? 1 ? 0 .此时无解;
4 2

若 t ≥ 1 ,则 f (t ) ?c ?ln t . 由于 MN 的中点在 y 轴上,且 ?MON ? 90 ,所以 N 点不 可 能 在 x 轴 上 , 即 t ? 1 . 同 理 有 O M? O N ? 0 , 即 ?t 2 ?( t 3 ? t 2 ) ? cl n t ?, 0

1 1 (t ? 1) 的值域是 (0, ??) , . 由于函数 g (t ) ? 实数 c 的取值范围 (t ? 1) ln t (t ? 1) ln t 是 (0, ??) 即为所求. c?

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