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配套K12黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文

小学+初中+高中+努力=大学

哈师大青冈实验中学 2017-2018 学年度第二学期期中考试

高二数学文试题
一.选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是正确的)
1.复数 i(3 ? 4i) 的虚部为

A. 3
2.下列结论正确的是

B. 3i

C. 4

D. 4i

A.若 ac ? bc ,则 a ? b

B. 若 a ? b ,则 a ? b

C.若 a ? b, c ? 0 ,则 a ? c ? b ? c

D. 若 a2 ? b2 ,则 a ? b

3.已知 a ? R ,则“ a ?1”是“ a2 ? a ”的

A.充分不必要条件 不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

4.复数 z ? ?1? i?2 ,则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在
1?i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

5.已知 a ? 0,b ? 0 ,且 ab ? a ? b ,则 4a ? b 的最小值为

D.既不充分也 D.第四象限

A. 6

B. 7

C. 8

6.已知函数 f ? x? ? x2 ? 2x ,则 f ? x? 从1到1+?x 的平均变化率为

D. 9

A. ??x?2 ? 4?x ? 3

B. ??x?2 ? 4?x

C. ?x+4

D.

4
7.曲线 y ? ? x ?1?ex 在 x ?1处的切线方程为

A. y ? ex

B. y ? 0

C. y ? ex ?1

D. y ? ex ?e

8.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》

中的“辗转相除法”.若输入的 m, n 分别为 385,105 ,

执行该程序框图(图中“ m MOD n ”表示 m 除以 n 的 余数,例:11 MOD 7 ? 4 ,则输出的 m ?

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

A. 0

B.15

C. 35

D. 70

第8题
9.如图所示的程序框图,若输出的 S 是126 ,则①处应填

A. n ? 5?

B. n ? 6?

C. n ? 7?

第9题
D. n ? 8?

10.已知椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b

? 0) 过点 ?3, 2?,当 a2

? b2 取得最小值时,椭圆的离心率为

A. 1 2

B. 2 2

11.下列说法正确的是

C. 3 2

D. 3 3

A.命题“ ?x ? 0, ln x ? x ?1”的否定是:“ ?x0 ? 0, ln x0 ? x0 ?1”

B.命题“若 x2 ? 1 ,则 x ?1 ”的否命题为“若 x2 ? 1,则 x ? 1”

C.若命题 p ? q 为真, p ? q 为假,则 ??p? ? ??q? 为假命题

D.“任意实数大于 0 ”不是命题

12.点 P 在双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

?

0, b ? 0? 的右支上,其左,右焦点分别为 F1, F2 ,直线 PF1

与以坐标原点 O 为圆心, a 为半径的圆相切于点 A ,线段 PF1 的垂直平分线恰好过点 F2 ,则

双曲线的离心率为

A. 3 2

B. 4 3

C. 2

D. 5 3

二.填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.已知函数 f ? x? ? cos x ,则 f ?? x? ?

.

x

14. 给出下列等式:

3 1? 2

?

1 2

=1

?

1 22

;

31 4 1

1

? + ? =1? ;

1? 2 2 2?3 22 3? 22

3 1? 2

?

1 2

+

4 2?

3

?

1 22

+

5 3? 4

?

1 23

=1 ?

1 4? 23

;

由以上等式可推出一个一般结论:

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

对于 n ? N* ,

3 1? 2

?

1 2

+

4 2?3

?

1 22

+

?

n?2
n ?n ?1?

?

1 2n

=



15.用秦九韶算法计算函数 f ? x? ? x4 ? 2x2 ? x ?1当 x ?1时的值,则 v3 ?

.

16.关于下列说法:

①由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理;

②归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确;

③演绎推理是由特殊到特殊的推理;

④演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.

其中正确的是

.(填所有正确说法的序号)

三.解答题:(本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 10 分)

在平面直角坐标系中,曲线 C

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

5 cos ? , sin ?

(?

为参数),点

P

的坐标为

?3 ? 2,0 .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程;

(2)已知直线 l 过点 P 且与曲线 C 交于 A, B 两点,若直线 l 的倾斜角为 ? ,求 PA ? PB 的 4

值.

18.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x? ? x3 ?12x ?16 ,过点 P?2,0? 作曲线 y ? f ? x? 的切线,求切线的方程.

19.(本题满分 12 分)
如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD , AE ? 平面 CDE ,且 AE ? 1, AB ? 2 . (Ⅰ)求证: AB ? 平面 ADE ; (Ⅱ)求凸多面体 ABCDE 的体积.

20.(本小题满分 12 分)

第 19 题

设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x),若函数 y=f′(x)的图象关于直线 x=图-12对称,

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 且 f′(1)=0。 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值。 21.(本小题满分 12 分)
已知抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P?2, n??n ? 0? 在抛物线 C 上, PF ? 3 ,
直线 l 过点 F ,且与抛物线 C 交于 A, B 两点. (1)求抛物线 C 的方程及点 P 的坐标; (2)求 PA? PB 的最大值.
22.(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C : x2 ? y2 ? 1?0 ? n ? 2? .
2n
(1)若椭圆 C 的离心率为 1 ,求 n 的值; 2
(2)若过点 N ??2, 0? 任作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,在 x 轴上是否存在点
M ,使得 ?NMA ? ?NMB ? 180 ? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

哈师大青冈实验中学 2017-2018 年度高二下学期期中考试

数学试卷(文科)

考试时间:120 分钟

满分:150 分

一.选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

项是正确的)

1.复数 i(3 ? 4i) 的虚部为( A )

A. 3

B. 3i

2.下列结论正确的是( B )

C. 4

D. 4i

A.若 ac ? bc ,则 a ? b

B. 若 a ? b ,则 a ? b

C.若 a ? b, c ? 0 ,则 a ? c ? b ? c

D. 若 a2 ? b2 ,则 a ? b

3.已知 a ? R ,则“ a ?1”是“ a2 ? a ”的( A )

A.充分不必要条件 必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不

4.复数 z ? ?1? i?2 ,则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在( C )
1?i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

5.已知 a ? 0,b ? 0 ,且 ab ? a ? b ,则 4a ? b 的最小值为( D )

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

6.已知函数 f ? x? ? x2 ? 2x ,则 f ? x? 从1到1+?x 的平均变化率为( C )

A.??x?2 ? 4?x ? 3

B. ??x?2 ? 4?x

C. ?x+4

D. 4
7.曲线 y ? ? x ?1?ex 在 x ?1处的切线方程为( D )

A. y ? ex

B. y ? 0

C. y ? ex ?1

D. y ? ex ?e

8.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》

中的“辗转相除法”.若输入的 m, n 分别为 385,105 ,

执行该程序框图(图中“ m M OD n ”表示 m 除以 n 的

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

余数,例:11 MOD 7 ? 4 ,则输出的 m ? ( C )

A. 0

B.15

C. 35

9.如图所示的程序框图,若输出的 S 是126 ,则①处应填( B )

D. 70

A. n ? 5?

B. n ? 6?

C. n ? 7?

D. n ? 8?

10.已知椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 过点 ?3, 2?,当 a2

? b2 取得最小值时,椭圆的离心率为

(D )

A. 1 2

B. 2 2

11.下列说法正确的是( A )

C. 3 2

D. 3 3

A.命题“ ?x ? 0, ln x ? x ?1”的否定是:“ ?x0 ? 0, ln x0 ? x0 ?1”

B.命题“若 x2 ? 1,则 x ?1 ”的否命题为“若 x2 ? 1,则 x ? 1”

C.若命题 p ? q 为真, p ? q 为假,则 ??p? ? ??q? 为假命题

D.“任意实数大于 0 ”不是命题

12.点 P 在双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

?

0, b ? 0? 的右支上,其左,右焦点分别为 F1, F2 ,直线 PF1

与以坐标原点 O 为圆心, a 为半径的圆相切于点 A ,线段 PF1 的垂直平分线恰好过点 F2 ,则

双曲线的离心率为( D )

A. 3 2

B. 4 3

C. 2

D. 5 3

二.填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.已知函数 f ? x? ? cos x ,则 f ?? x? ?
x

. ?x sin x ? cos x x2

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 14. 给出下列等式:

3 1? 2

?

1 2

=1

?

1 22

;

31 4 1

1

1? 2 ? 2 + 2? 3 ? 22 =1? 3? 22 ;

31 4 1 5 1

1

1? 2 ? 2 + 2? 3 ? 22 + 3? 4 ? 23 =1? 4 ? 23 ;

由以上等式可推出一个一般结论:

对于 n ? N* ,

3 1? 2

?

1 2

+

4 2?3

?

1 22

+

?

n?2
n ?n ?1?

?

1 2n

=

1?

(n

1 ? 1)2n



15.用秦九韶算法计算函数 f ? x? ? x4 ? 2x2 ? x ?1当 x ?1时的值,则 v3 ?

.0

16.关于下列说法: ①由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理; ②归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确; ③演绎推理是由特殊到特殊的推理; ④演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确. 其中正确的是 ①④ .(填所有正确说法的序号)

三.解答题:(本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)

在平面直角坐标系中,曲线 C

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

5 cos ? , sin ?

(?

为参数),点

P

的坐标为

?3 ? 2,0 .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程;

(2)已知直线 l 过点 P 且与曲线 C 交于 A, B 两点,若直线 l 的倾斜角为 ? ,求 PA ? PB 的 4

值.

解:(1) 由

消去 ,得



(2) 由直线 的倾斜角为



可设直线 的方程为

(其中 为参数),

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

代入 所以

,得 ,从而

, .

18.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x? ? x3 ?12x ?16 ,过点 P?2,0? 作曲线 y ? f ? x? 的切线,求切线的方程.

? ? 解:设切点 x0, x03 ?12x0 ?16 , f ?? x? ? 3x2 ?12 ,则 k ? 3x02 ?12 ? ? ? ? 则切线方程为: y ? x03 ?12x0 ?16 ? 3x02 ?12 ? x ? x0 ? ? ? ? ? 因为切线过点 P?2,0? ,则 0 ? x03 ?12x0 ?16 ? 3x02 ?12 ?2 ? x0 ? ? ? 整理,得 x03 ? 3x02 ? 4 ? 0 ,? x0 +1 ? x0 ? 2?2 ? 0 ,? x0 ? ?1或 x0 ? 2
所以切线方程为: 9x ? y ?18 ? 0 或 y ? 0 .

19.(本题满分 12 分)
如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD , AE ? 平面 CDE ,且 AE ? 1, AB ? 2 . (Ⅰ)求证: AB ? 平面 ADE ; (Ⅱ)求凸多面体 ABCDE 的体积. 解:(1)证明: AE ? 平面CDE,CD ? 平面CDE

? AE ? CD, 又在正方形 ABCD 中, CD ? AD AE AD ? A ?CD ? 平面ADE ,

第 19 题 图

又在正方形 ABCD 中, AB / /CD

? AB / / 平面 ADE .…………………6 分

(2) 连接 BD ,设 B 到平面 CDE 的距离为 h ,

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

AB / /CD,CD ? 平面CDE, ? AB / /平面CDE ,又 AE ? 平面CDE ,

?

h

?

AE

? 1 又 S?CDE

?

1 CD ? DE 2

?

1 ? 2? 2

4?1 ?

3

,?VB?CDE

?

1? 3

3 ?1 ?

3 3

又VB? ADE

?

1 3

?

S?ADE

?

AB

?

1 ? 1 ?1? 32

3?2 ?

3 3

所以 VABCDE

?

23 3

………………………………12



20.(本小题满分 12 分) 设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x),若函数 y=f′(x)的图象关于直线 x=-12对称, 且 f′(1)=0。

(1)求实数 a,b 的值;

(2)求函数 f(x)的极值。

得 b=-12。------------------------------6 分 (2)由(1)知 f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以 f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令 f′(x)=0, 即 6(x-1)(x+2)=0, 解得 x=-2 或 x=1, 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞,-2)上单调递增; 当 x∈(-2,1)时,f′(x)<0, 即 f(x)在(-2,1)上单调递减; 小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 即 f (x)在(1,+∞)上单调递增。 从而函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=21, 在 x=1 处取得极小值 f(1)=-6。-----------------12 分 21.(本小题满分 12 分)
已知抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P?2, n??n ? 0? 在抛物线 C 上, PF ? 3 ,

直线 l 过点 F ,且与抛物线 C 交于 A, B 两点. (1)求抛物线 C 的方程及点 P 的坐标; (2)求 PA? PB 的最大值.
? ? 解:(1) y2 ? 4x ; P 2, 2 2
(2)由题意,显然直线 l 斜率不为 0 设直线 l:x ? my ?1,联立 y2 ? 4x ,得 y2 ? 4my ? 4 ? 0





, y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4

? ?? ? ?PA? PB ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 ? 2 2 y2 ? 2 2

? x1x2 ? 2? x1 ? x2 ? ? y1y1 ? 2 2 ? y1 ? y2 ? ?12

?

y12 4

?

y22 4

? ? 2?
?

y12 4

?

y22 4

? ?? ?

y1 y1

?2

2 ? y1 ? y2 ? ?12

? ?8m2 ? 8 2m ? 5

所以,当 m ? ? 2 时, PA? PB 最大值为 9 2
22. (本小题满分 12 分)
已知椭圆 C : x2 ? y2 ? 1?0 ? n ? 2? .
2n

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

(1)若椭圆 C 的离心率为 1 ,求 n 的值; 2
(2)若过点 N ??2, 0? 任作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,在 x 轴上是否存在点
M ,使得

?NMA ? ?NMB ? 180 ? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1) 因为



,所以





,所以有

,得



(2)若存在点

,使得



则直线 和 的斜率存在,

分别设为 , ,且满足



依题意,直线 的斜率存在,故设直线 的方程为







因为直线 与椭圆 有两个交点,所以

. .



,解得







,则











,即







小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学



时,

所以



时,检验也成立.

所以存在点

,使得

, ,化简得, .

,所以



小学+初中+高中+努力=大学


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