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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,必修3)练习:3.1.4 概率的加法公式]


第三章

3.1

3.1.4

一、选择题 1.把红、黑、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得 1 张, 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( A.对立事件 C.互斥但不对立事件 [答案] C [解析] 由互斥事件的定义可知,甲、乙不能同时得此红牌.由对立事件的定义可知, 甲、乙可能都得不到红牌,即“甲或乙分得红牌”的事件可能不发生.故选 C. 2.1 人在打靶中连续射击 2 次,事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是( A.至多有 1 次中靶 C.2 次都不中靶 [答案] C [解析] “至少有 1 次中靶”包括两种情况:①有 1 次中靶;②有 2 次中靶.其对立事 件为“2 次都不中靶”. 3.一个战士在一次射击中,命中环数大于 8,大于 5,小于 4,小于 6 这四个事件中, 互斥事件有( A.2 对 C.6 对 [答案] B [解析] 按照互斥事件的定义,两个事件不可能同时发生,所以命中环数大于 8 与命中 环数小于 4 是互斥事件;命中环数大于 8 与命中环数小于 6 是互斥事件;命中环数大于 5 与命中环数小于 4 是互斥事件.命中环数大于 5 与命中环数小于 6 也是互斥事件,故选 B. 4.若把一副扑克牌中的 4 个 K 随机分给甲、乙、丙、丁四人,每人得到 1 张扑克牌, 则事件“甲分到红桃 K”与事件“乙分到梅花 K”是( A.对立事件 C.互斥但非对立事件 [答案] D [解析] 由题意,对一次试验(即分一次牌),有可能“甲分到红桃 K”和“乙分到梅花 K”同时发生. 5.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于 4.8 g 的概率是 0.3,质量不小于 4.85 g 的概率是 0.32,那么质量大于 4.8g,不大于 4.85g 的概率是( ) ) ) B.4 对 D.3 对 B.2 次都中靶 D.只有 1 次中靶 ) ) B.不可能事件 D.以上答案都不对

B.不可能事件 D.以上都不对

A.0.62 C.0.02 [答案] B

B.0.38 D.0.68

[解析] 记事件 A=“质量不大于 4.85g”,事件 B=“质量小于 4.8g”,事件 C=“质 量不小于 4.8g,不大于 4.85g”,则 A=B∪C,且 B、C 互斥,所以 P(A)=P(B∪C)=P(B) +P(C),由此可得 P(C)=P(A)-P(B)=(1-0.32)-0.3=0.38. 6.从 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字中任取两个数,分别有下列事件: ①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数; ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数; ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 其中为互斥事件的是( A.① C.③ [答案] C [解析] 所取两个数可能都是奇数,也可能都是偶数,还可能一个奇数一个偶数,故只 有③中两个事件互斥. 二、填空题 1 1 7.甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙获胜的概率为 ,则甲胜的概率为________, 2 3 甲不输的概率为________. [答案] 1 2 6 3 ) B.②④ D.①③

1 1 1 [解析] “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件, 所以甲胜的概率为 1-( + )= , “甲 2 3 6 1 2 不输”是“乙胜”的对立事件,所以甲不输的概率为 1- = . 3 3 8.如果事件 A 和 B 是互斥事件,且事件 A∪B 的概率是 0.8,事件 A 的概率是事件 B 的概率的 3 倍,则事件 B 的对立事件的概率为________. [答案] 0.8 [解析] 根据题意有 P(A∪B)=P(A)+P(B)=4P(B)=0.8,∴P(B)=0.2,则事件 B 的对 立事件的概率为 1-0.2=0.8. 三、解答题 9.(2014· 陕西文,19)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本 车辆中每辆车的赔付结果统计如下:

赔付金额(元) 车辆数(辆)

0 500

1 000 130

2 000 100

3 000 150

4 000 120

(1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中,车主 是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4 000 元的概率. [解析] (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”, B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”, 以频率估计概率得 150 120 P(A)= =0.15,P(B)= =0.12. 1 000 1 000 由于投保金额为 2 800 元,赔付金额大于投保金额对应的情形是 3 000 元和 4 000 元, 所以其概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元”,由已知,样本车辆中车主为新 司机的有 0.1×1 000=100 辆, 而赔付金额为 4 000 元的车辆中, 车主为新司机的有 0.2×120 =24 辆. 24 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 =0.24. 100 由频率估计概率得 P(C)=0.24.

一、选择题 1.一箱产品中有正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件. ①恰有 1 件次品和恰有 2 件次品; ②至少有 1 件次品和全是次品; ③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; ④至少有 1 件次品和全是正品. 以上事件中互斥事件的组数是( A.1 组 C.3 组 [答案] B [解析] ①④中的两事件互斥,②③中的两事件不互斥. 2.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6,将这个玩具抛掷一次, 设事件 A 表示向上的一面出现奇数点(指向上的一面的点数是奇数), 事件 B 表示向上的一面 的点数不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4,则( A.A 与 B 是互斥而非对立事件 B.A 与 B 是对立事件 ) ) B.2 组 D.4 组

C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D.B 与 C 是对立事件 [答案] D [解析] 事件 A 与事件 B 可以同时发生,故排除选项 A、B;事件 B 与事件 C 是对立事 件,故排除选项 C,应选 D. 1 3.某家庭电话,有人时打进的电话响第一声时被接的概率为 ,响第二声时被接的概 10 3 2 1 率为 ,响第三声时被接的概率为 ,响第四声时被接的概率为 ,则电话在响前四声内被 10 5 10 接的概率为( 1 A. 2 3 C. 10 [答案] B 1 3 2 1 9 [解析] 电话在响前四声内被接的概率为 P= + + + = . 10 10 5 10 10 4.(2013· 陕西文,5)对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,下图为检测结果的 频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间 [20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30) 上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽 取 1 件,则其为二等品的概率是( ) ) 9 B. 10 4 D. 5

A.0.09 C.0.25 [答案] D

B.0.20 D.0.45

[解析] 由图可知,抽得一等品的概率为 0.3,抽得三等品的概率为 0.25,则抽得二等 品的概率为 1-0.3-0.25=0.45. 二、填空题 5.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率 是 0.42,摸出白球的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是____________. [答案] 0.3 [解析] P=1-0.42-0.28=0.3.

6.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率 3 1 为 ,乙夺得冠军的概率为 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为____________. 7 4 [答案] 19 28

3 1 [解析] 设事件 A 为“甲夺得冠军”, 事件 B 为“乙夺得冠军”, 则 P(A)= , P(B)= , 7 4 3 1 19 因为事件 A 和事件 B 是互斥事件,所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = 7 4 28 三、解答题 7.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件 A 为“只订甲报”,事件 B 为“至少 订一种报”,事件 C 为“至多订一种报”,事件 D 为“不订甲报”,事件 E 为“一种报也 不订”,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 D; (4)B 与 C;(5)C 与 E. [解析] (1)由于事件 C“至多订一种报”中有可能只订甲报, 即事件 A 与事件 C 有可能 同时发生,故 A 与 C 不是互斥事件. (2)事件 B“至少订一种报”与事件 E“一种报也不订”是不可能同时发生的, 故B与E 是互斥事件.由于事件 B 不发生可导致事件 E 一定发生,且事件 E 不发生会导致事件 B 一 定发生,故 B 与 E 是对立事件. (3)事件 B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,即事件 B 发生时 事件 D 也可能发生,故 B 与 D 不互斥. (4)事件 B“至少订一种报”中有这些可能:“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙 两种报”; 事件 C“至多订一种报”中有这些可能: “什么报也不订”、 “只订甲报”、 “只 订乙报”,由于这两个事件可能同时发生,故 B 与 C 不是互斥事件. (5)由(4)的分析,事件 E“一种报也不订”只是事件 C 的一种可能,事件 C 与事件 E 有 可能同时发生,故 C 与 E 不互斥. 8. 某射手在一次射击训练中, 射中 10 环、 9 环、 8 环、 7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28, 计算这个射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 7 环的概率; (2)不够 7 环的概率. [解析] (1)设“射中 10 环”为事件 A,“射中 7 环”为事件 B,由于在一次射击中,A 与 B 不可能同时发生,故 A 与 B 是互斥事件.“射中 10 环或 7 环”的事件为 A∪B. 故 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49. ∴射中 10 环或 7 环的概率为 0.49. (2)不够 7 环从正面考虑有以下几种情况:射中 6 环、5 环、4 环、3 环、2 环、1 环、0

环,但由于这些概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手,不够 7 环的反面大于等 于 7 环,即 7 环、8 环、9 环、10 环,由于此两事件必有一个发生,另一个不发生,故是对 立事件,可用对立事件的方法处理. 设“不够 7 环”为事件 E,则事件 E 为“射中 7 环或 8 环或 9 环或 10 环”,由(1)可知 “射中 7 环”、“射中 8 环”等是彼此互斥事件,∴P( E )=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97, 从而 P(E)=1-P( E )=1-0.97=0.03. ∴不够 7 环的概率为 0.03.


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