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山东省威海市文登市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年山东省威海市文登市高二(上)期末数学试卷(文 科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1.已知命题 p:? a∈R,函数 y=a 是单调函数,则¬p( x A.? a∈R,函数 y=a 不一定是单调函数 x B.? a∈R,函数 y=a 不是单调函数 x C.? a∈R,函数 y=a 不一定是单调函数 x D.? a∈R,函数 y=a 不是单调函数
x



2.复数 A.i

的共轭复数为( B.﹣i C.2 ﹣i

) +i )

D.﹣2

3.△ABC 顶点 A(2,3) ,B(0,0) ,C(4,0) ,则“方程 x=2”是“BC 边上中线方程”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在 ABC 中,若 c=2acosB,则△ABC 是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 )

5.在相距 2km 的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 B、C 两点之间 的距离为( ) A. B. C. D.

6.已知{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 项和为( ) A.58 B.56 C.50
2

,则数列{|log2an|}前 10

D.45 ) D.

7.不等式 ax ﹣(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为( A. B. C.

8. 已知双曲线 C:



=1 的焦距为 10, 点P (1, 2) 在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为 (



A.

B.

C.

D.

9.若变量 x,y 满足约束条件

且 z=3x+y 的最小值为﹣8,则 k=(



A.3

B.﹣3 C.2

D.﹣2

10.已知椭圆的左焦点为 F1,右焦点为 F2.若椭圆上存在一点 P,满足线段 PF2 相切于以椭圆 的短轴为直径的圆,切点为线段 PF2 的中点,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 11.抛物线 y=ax 的准线方程为
2



12.不等式

≥2 的解集是



13.已知数列{an}是等比数列,命题 p: “若公比 q>1,则数列{an}是递增数列” ,则在其逆命 题、否命题和逆否命题中,假命题的个数为 . 14.已知等差数列{an}中,满足 S3=S10,且 a1>0,Sn 是其前 n 项和,若 Sn 取得最大值,则 n= . 15.下列四种说法 ①在△ABC 中,若∠A>∠B,则 sinA>sinB; ②等差数列{an}中,a1,a3,a4 成等比数列,则公比为 ; ③已知 a>0,b>0,a+b=1,则 ④在△ABC 中,已知 正确的序号有 . 的最小值为 5+2 ;

,则∠A=60°.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤. 16.已知 z 为复数,z+2i 和 (Ⅰ)求复数 z 和|z|; (Ⅱ)若 z1= i 的对应点在第四象限,求 m 的范围. 均为实数,其中 i 是虚数单位.

17. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b= ,a+c=4,求△ABC 的面积.



18.已知椭圆与双曲线

的焦点相同,且它们的离心率之和等于



(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)过椭圆内一点 M(1,1)作一条弦 AB,使该弦被点 M 平分,求弦 AB 所在直线方程. 19.已知命题 P:在 R 上定义运算? :x? y=(1﹣x)y.不等式 x? (1﹣a)x<1 对任意实数 x 恒成立;命题 Q:若不等式 为真命题,求实数 a 的取值范围. 20.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,满足 Sn=a(Sn﹣an+1) (a 为常数,且 a>0) ,且 4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=(2n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ≥2 对任意的 x∈N 恒成立.若 P∧Q 为假命题,P∨Q
*

21.已知椭圆

=1(a>b>0)上的点 P 到左、右两焦点 F1,F2 的距离之和为 2

,离

心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)若 y 轴上一点 满足|MA|=|MB|,求直线 l 斜率 k 的值; (其中 O 为坐标原点)?若存在,求直

(2)是否存在这样的直线 l,使 S△ABO 的最大值为 线 l 方程;若不存在,说明理由.

2014-2015 学年山东省威海市文登市高二(上)期末数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1.已知命题 p:? a∈R,函数 y=a 是单调函数,则¬p( x A.? a∈R,函数 y=a 不一定是单调函数 x B.? a∈R,函数 y=a 不是单调函数 x C.? a∈R,函数 y=a 不一定是单调函数 x D.? a∈R,函数 y=a 不是单调函数 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
x



解答: 解:已知命题是全称命题,所以命题 p:? a∈R,函数 y=a 是单调函数,则¬p:? a x ∈R,函数 y=a 不是单调函数. 故选:D. 点评: 本题开采煤炭的否定全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查.

x

2.复数 A.i 考点: 专题: 分析:

的共轭复数为(



B.﹣i C.2 ﹣i D.﹣2 +i 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. =i.

解答: 解:原式=

∴其共轭复数为﹣i. 故选:B. 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. 3.△ABC 顶点 A(2,3) ,B(0,0) ,C(4,0) ,则“方程 x=2”是“BC 边上中线方程”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义解决直线方程的求解进行判断即可. 解答: 解:∵△ABC 顶点 A(2,3) ,B(0,0) ,C(4,0) , ∴B,C 的中点坐标为 D(2,0) , 则中线 AD 的方程为 x=2, )

即“方程 x=2”是“BC 边上中线方程”充要条件, 故选:C 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 4.在 ABC 中,若 c=2acosB,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: △ABC 中,2acosB=c,由正弦定理可知 2sinAcosB=sinC=sin(A+B) ,展开后逆用两角 差的正弦即可. 解答: 解:∵△ABC 中,2acosB=c, ∴由正弦定理得:2sinAcosB=sinC, 又△ABC 中,A+B+C=π, ∴C=π﹣(A+B) , ∴sinC=sin(A+B) , ∴2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinAcosB﹣cosAsinB=0, ∴sin(A﹣B)=0,又 A、B 为△ABC 中的内角, ∴A﹣B=0, ∴A=B. ∴△ABC 必定是等腰三角形. 故选:B. 点评: 本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理的应用,考查两角和与两角差的正弦, 属于中档题. 5.在相距 2km 的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 B、C 两点之间 的距离为( ) A. B. 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形. C. D.

分析: 由题意,∠ACB=45°,则由正弦定理可得 BC= 解答: 解:由题意,∠ACB=45°,则 由正弦定理可得 BC= = +1(km) ,

,即可得出结论.

故选:B. 点评: 本题考查解三角形的实际应用,考查学生的计算能力,比较基础.

6.已知{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 项和为( ) A.58 B.56 C.50

,则数列{|log2an|}前 10

D.45

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且
7﹣2n

,求出 q,可得

an=

=2

,再求数列{|log2an|}前 10 项和.

解答: 解:∵{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且





=



∴1+q = ∴q= ∴an=

3



=2

7﹣2n



∴|log2an|=|7﹣2n|, ∴数列{|log2an|}前 10 项和为 5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58, 故选:A. 点评: 本题考查等比数列的通项与求和,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的能 力,比较基础. 7.不等式 ax ﹣(a+2)x+2≥0(a<0)的解集为( A. B. C.
2

) D.

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据 a<0,把不等式化为(x﹣ ) (x﹣1)≤0,求出解集即可. 解答: 解:不等式 ax ﹣(a+2)x+2≥0 可化为 (ax﹣2) (x﹣1)≥0, ∵a<0, ∴原不等式可化为 (x﹣ ) (x﹣1)≤0, 解得 ≤x≤1, ∴原不等式的解集为[ ,1].
2

故选:A. 点评: 吧考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题目.

8. 已知双曲线 C:



=1 的焦距为 10, 点P (1, 2) 在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为 (



A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线 C: ﹣ =1 的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的渐近线上,可确定几何

量之间的关系,由此可求双曲线的标准方程. 解答: 解:双曲线 C: ﹣ =1 的渐近线方程为 y=± x

∵双曲线 C:



=1 的焦距为 10,点 P(1,2)在 C 的渐近线上

∴2c=10,2a=b, ∵c =a +b 2 2 ∴a =5,b =20 ∴C 的方程为 故选 C. 点评: 本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,正确运用双曲线的几何性质是 关键.
2 2 2

9.若变量 x,y 满足约束条件

且 z=3x+y 的最小值为﹣8,则 k=(



A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣8,建立条件关系 即可求出 k 的值. 解答: 解:目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣8,

∴y=﹣3x+z,要使目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣1, 则平面区域位于直线 y=﹣3x+z 的右上方,即 3x+y=﹣8, 作出不等式组对应的平面区域如图: 则目标函数经过点 A 时,目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣8, 由 ,解得 ,

即 A(﹣2,2) ,同时 A 也在直线 x+k=0 时, 即﹣2+k=0, 解得 k=2, 故选:C

点评: 本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数 z=3x+y 的最小值为﹣8,确定平面区域 的位置,利用数形结合是解决本题的关键. 10.已知椭圆的左焦点为 F1,右焦点为 F2.若椭圆上存在一点 P,满足线段 PF2 相切于以椭圆 的短轴为直径的圆,切点为线段 PF2 的中点,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先设切点为 M,连接 OM,PF1,根据已知条件即可得到|PF1|=2b,并且知道 PF1⊥PF2, 这样即可可求得|PF2|= 即可得到 ,这样利用椭圆的定义便得到 ,化简

,根据离心率的计算公式即可求得离心率 e.

解答: 解:如图, 设以椭圆的短轴为直径的圆与线段 PF2 相切于 M 点,连接 OM,PF2; ∵M,O 分别是 PF2,F1F2 的中点; ∴MO∥PF1,且|PF1|=2|MO|=2b; OM⊥PF2; ∴PF1⊥PF2,|F1F2|=2c; ∴ ;

根据椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a; ∴ ;


2


2 2 2 2 2 2

两边平方得:a ﹣2ab+b =c ﹣b ,c =a ﹣b 代入并化简得: 2a=3b,∴ ;

∴ 即椭圆的离心率为 故选 A.

; .

点评: 考查中位线的性质,圆心和切点的连线和切线的关系,以及椭圆的定义,c =a ﹣b , 椭圆离心率的计算公式. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 11.抛物线 y=ax 的准线方程为 y=﹣
2

2

2

2



考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 抛物线 y=ax 即为标准方程 x = y,讨论 a>0,a<0,由焦点位置,即可求得准线方 程. 解答: 解:抛物线 y=ax 即为 x = y, 当 a>0 时,焦点在 y 轴正半轴上, 准线方程为 y=﹣ ,
2 2 2 2

当 a<0 时,焦点在 y 轴负半轴上,

准线方程为 y=﹣ 则有准线为 y=﹣ 故答案为:y=﹣

. . .

点评: 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查准线方程的求法,注意判断焦点的位置,属 于基础题.

12.不等式

≥2 的解集是 [

,1)∪(1,3] .

考点: 其他不等式的解法. 分析: 注意到分母恒大于或等于 0,直接转化为整式不等式求解,注意 x≠1 解答: 解: ∪(1,3] 故答案为:[ ,1)∪(1,3] ?x+5≥2(x﹣1) 且 x≠1?2x ﹣5x﹣3≤0 且 x≠1?[
2 2

,1)

点评: 本题考查解分式不等式,在解题过程中,注意等价转化. 13.已知数列{an}是等比数列,命题 p: “若公比 q>1,则数列{an}是递增数列” ,则在其逆命 题、否命题和逆否命题中,假命题的个数为 4 . 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据题意,写出命题 p 与它的逆命题,否命题和逆否命题,再判定它们是否为真命题. 解答: 解:原命题 p: “在等比数列{an}中,若公比 q>1,则数列{an}是递增数列” ,例如, 当数列为,﹣2,﹣4,﹣8,…,q=2,但是数列为递减数列,故原命题为假命题; 逆命题是: “在等比数列{an}中,若数列{an}递增数列” ,则“公比 q>1” ,例如,当数列为, ﹣1,﹣ ,﹣ ,…,q= ,但是数列为递增数列,是假命题; 否命题是: “在等比数列{an}中,若公比 q≤1,则数列{an}不是递增数列,是假命题; 逆否命题是: “在等比数列{an}中,若数列{an}不是递增数列” ,则“公比 q≤1” ,是假命题; 综上,命题 p 及其逆命题,否命题和逆否命题中,假命题有 4 个. 故答案为:4 点评: 本题考查了四种命题的关系以及命题真假的判定问题,解题时应弄清楚四种命题的关 系是什么,根据递增数列的定义判断命题的真假,是基础题 14.已知等差数列{an}中,满足 S3=S10,且 a1>0,Sn 是其前 n 项和,若 Sn 取得最大值,则 n= 6或7 .

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意易得 a7=0,进而可得数列{an}中,前 6 项为正数,第 7 项为 0,从第 8 项开始 为负数,易得结论. 解答: 解:∵等差数列{an}中,满足 S3=S10,且 a1>0, ∴S10﹣S3=7a7=0,∴a7=0, ∴递减的等差数列{an}中,前 6 项为正数,第 7 项为 0,从第 8 项开始为负数, ∴Sn 取得最大值,n=6 或 7 故答案为:6 或 7 点评: 本题考查等差数列前 n 项和的最值,从数列项的正负入手是解决问题的关键,属基础 题. 15.下列四种说法 ①在△ABC 中,若∠A>∠B,则 sinA>sinB; ②等差数列{an}中,a1,a3,a4 成等比数列,则公比为 ; ③已知 a>0,b>0,a+b=1,则 ④在△ABC 中,已知 正确的序号有 ①③④ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;解三角形;不等式的解法及应用. 分析: 运用三角形的边角关系和正弦定理,即可判断①; 运用等差数列的通项公式和等比数列的性质,即可求得公比,进而判断②; 运用 1 的代换,化简整理运用基本不等式即可求得最小值,即可判断③; 运用正弦定理和同角的商数关系,结合内角的范围,即可判断④. 解答: 解:对于①在△ABC 中,若∠A>∠B,则 a>b,即有 2RsinA>2RsinB,即 sinA>sinB, 则①正确; 对于②等差数列{an}中,a1,a3,a4 成等比数列,则有 a3 =a1a4,即有(a1+2d) =a1(a1+3d) , 解得 a1=﹣4d 或 d=0,则公比为 =1 或 ,则②错误;
2 2

的最小值为 5+2



,则∠A=60°.

对于③,由于 a>0,b>0,a+b=1,则 当且仅当 b=

=(a+b) ( + )=5+ ,则③正确; = =

+

≥5+2

=5



a,取得最小值,且为 5+2 即为

对于④,在△ABC 中,

,即 tanA=tanB=tanC,

由于 A,B,C 为三角形的内角,则有 A=B=C=60°,则④正确. 综上可得,正确的命题有①③④. 故答案为:①③④. 点评: 本题考查正弦定理的运用,考查等差数列和等比数列的通项和性质,考查基本不等式 的运用:求最值,考查运算能力,属于基础题和易错题.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤. 16.已知 z 为复数,z+2i 和 (Ⅰ)求复数 z 和|z|; (Ⅱ)若 z1= i 的对应点在第四象限,求 m 的范围. 均为实数,其中 i 是虚数单位.

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: (Ⅰ)设 z=a+bi(a,b∈R) ,由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的 幂运算性质求得 a、b 的值,可得复数 z 和|z|. (Ⅱ)化简 z1= i,再根据它对应点在第四象限,求得 m 的范围.

解答: 解: (Ⅰ)设 z=a+bi(a,b∈R) ,则由 z+2i=a+(b+2)i 为实数,∴b+2=0,∴b=﹣2. 则由 a=4. ∴z=4﹣2i,∴ (Ⅱ) 限, .…(6 分) = ,又∵z1 在第四象 为实数,可得 ,∵b=﹣2,∴



,∴

,∴



点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平面 内对应点之间的关系,复数的模的定义,属于基础题. 17. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b= ,a+c=4,求△ABC 的面积. 考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)由已知根据三角函数中的恒等变换应用可解得 从而得 即可求 B 的值. (Ⅱ)由余弦定理可得 ac=1,代入三角形面积公式即可得解. 解答: 解: (Ⅰ)由已知得 即有 ∵sinA≠0, ∴ , , ,…(2 分) , .

∵cosB≠0, ∴ …(4 分) ∵B∈(0,π) , ∴ .…(6 分)
2 2 2 2

(Ⅱ)由 b =a +c ﹣2accosB=(a+c) ﹣2ac(1+cosB) , ∴ ∴ac=1,…(10 分) ∴ .…(12 分) ,

点评: 本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式的应用,三角函数中的恒等变换的应用, 属于基础题.

18.已知椭圆与双曲线

的焦点相同,且它们的离心率之和等于



(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)过椭圆内一点 M(1,1)作一条弦 AB,使该弦被点 M 平分,求弦 AB 所在直线方程. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)求出椭圆的焦点和离心率,进而得到双曲线的离心率和焦点,再由椭圆的 a,b, c 的关系,即可得到椭圆方程; (Ⅱ)设出弦 AB 的端点的坐标,代入椭圆方程和中点坐标公式,运用作差,结合平方差公式 和斜率公式,由点斜式方程即可得到直线 AB 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)双曲线 离心率为 =2, 的焦点为(0,4) , (0,﹣4) ,

则椭圆的方程为

+

=1(a>b>0) ,

且离心率 e= =

﹣2= , =3,

由于 c=4,则 a=5,b=

则椭圆方程为

+

=1;

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2=2,y1+y2=2,

+

=1,

+

=1,

两式相减可得,

+

=0,

即有 kAB=

=﹣



则直线 AB 所在方程为 y﹣1=﹣

(x﹣1) ,

由于 M 在椭圆内,则弦 AB 存在. 则所求直线 AB 的方程为 25x+9y﹣34=0. 点评: 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查离心率的求法,考查中点坐标公式和点差 法的运用,考查运算能力,属于中档题. 19.已知命题 P:在 R 上定义运算? :x? y=(1﹣x)y.不等式 x? (1﹣a)x<1 对任意实数 x 恒成立;命题 Q:若不等式 为真命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)由题意知,x? (1﹣a)x=(1﹣x) (1﹣a)x,若命题 P 为真, (1﹣a)x ﹣(1 ﹣a)x+1>0 对任意实数 x 恒成立,对 1﹣a 分类讨论:当 1﹣a=0 时,直接验证;当 1﹣a≠0 时, ,解出即可.
2

≥2 对任意的 x∈N 恒成立.若 P∧Q 为假命题,P∨Q

*

(2)若命题 Q 为真,不等式 对任意的 x∈N 恒成立,即
*

≥2 对任意的 x∈N 恒成立,可得(x +ax+6)≥2(x+1) 对任意的 x∈N 恒成立,利用基本不等式的性质
*

*

2

即可得出.由于 P∧Q 为假命题,P∨Q 为真命题,可得 P,Q 中必有一个真命题,一个假命题. 解答: 解: (1)由题意知,x? (1﹣a)x=(1﹣x) (1﹣a)x, 若命题 P 为真, (1﹣a)x ﹣(1﹣a)x+1>0 对任意实数 x 恒成立, ∴①当 1﹣a=0 即 a=1 时,1>0 恒成立,∴a=1; ②当 1﹣a≠0 时, ∴﹣3<a<1, 综合①②得,﹣3<a≤1. 若命题 Q 为真,∵x>0,∴x+1>0, 则(x +ax+6)≥2(x+1)对任意的 x∈N 恒成立,
2 * 2



即 令 ∵

对任意的 x∈N 恒成立, ,只需 a≥f(x)max, ,当且仅当 ,即 x=2 时取“=” .

*

∴a≥﹣2. ∵P∧Q 为假命题,P∨Q 为真命题, ∴P,Q 中必有一个真命题,一个假命题. 若 P 为真 Q 为假,则 ,﹣3<a<﹣2,

若 P 为假 Q 为真,则

,∴a>1,

综上可得 a 取值范围:﹣3<a<﹣2 或 a>1. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定、不等式的解法、很残酷问题的等价转化方法、分类讨论 思想方法、基本不等式的性质、不等式的解集与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力, 属于难题. 20.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,满足 Sn=a(Sn﹣an+1) (a 为常数,且 a>0) ,且 4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=(2n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知得 S1=a1=a(a1﹣a1+1) ,Sn﹣1=a(Sn﹣1﹣an﹣1+1) ,从而{an}是首项为 a 公 比为 a 的等比数列,进而 此能求出 an=( ) . (Ⅱ)由 bn=(2n+1)an=(2n+1) ?( ) ,利用错位相减法能求出 解答: 解: (Ⅰ)∵Sn=a(Sn﹣an+1) , ∴S1=a1=a(a1﹣a1+1) ,解得 a1=1, 当 n≥2 时,Sn=a(Sn﹣an+1) ,Sn﹣1=a(Sn﹣1﹣an﹣1+1) , 两式相减,得 an=a? an﹣1,∴ ,
n n

=a .由 4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项,得 8a =a+2a ,由

n

3

2



∴{an}是首项为 a 公比为 a 的等比数列, ∴ =a .
n

∵4a3 是 a1 与 2a2 的等差中项,

∴8a3=a1+2a2,即 8a =a+2a , 解得 a= ,或 a=0(舍) ,或 a=﹣ (舍) , ∴an=( ) . (Ⅱ)∵bn=(2n+1)an=(2n+1) ?( ) , ∴Tn= = ①﹣②得: +…+ ,① ,②
n n

3

2

=

= ∴

, .

点评: 本题主要考查数列的通项公式、前 n 项和公式的求法,考查等差数列、等比数列等基 础知识,考查抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与 方程思想,解题时要注意错位相减法的合理运用.

21.已知椭圆

=1(a>b>0)上的点 P 到左、右两焦点 F1,F2 的距离之和为 2

,离

心率为



(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)若 y 轴上一点 满足|MA|=|MB|,求直线 l 斜率 k 的值; (其中 O 为坐标原点)?若存在,求直

(2)是否存在这样的直线 l,使 S△ABO 的最大值为 线 l 方程;若不存在,说明理由.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用椭圆的定义求出 a,根据离心率,求出 c,可得 b,即可求椭圆的方程; (Ⅱ) (1)设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理、中点坐标公 式,可得 AB 的中点坐标,分类讨论,利用|MA|=|MB|,可得方程,即可求直线 l 斜率 k 的值; (2)分类讨论,求出 S△ABO,即可得出结论.

解答: 解: (Ⅰ) ∵
2 2 2

,∴ ,

…(1 分)

,∴

∴b =a ﹣c =2﹣1=1…(2 分) 椭圆的标准方程为 …(3 分)

(Ⅱ)已知 F2(1,0) ,设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,A(x1,y1)B(x2,y2)
2 2 2 2

联立直线与椭圆方程

,化简得: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0





…(4 分)

∴AB 的中点坐标为 (1)k=0 时,不满足条件;

…(5 分)

当 k≠0 时,∵|MA|=|MB|,∴



整理得 2k ﹣3k+1=0,解得 k=1 或

2

…(7 分) ,S△ABO= ,

(2)k=0 时,直线方程为 x=1,代入椭圆方程,此时 y=±

k≠0 时,S△ABO= |y1﹣y2|=| |

=

?

∵k∈R,k≠0,∴ 综上,

,∴

∴满足题意的直线存在,方程为 x=1.…(14 分) 点评: 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查学生 分析解决问题的能力,有难度.


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