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高中数学3.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式


§3.5 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cosαcos β+sinαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ (C(α-β)) (C(α+β))

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ (S(α-β)) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ (S(α+β)) tan α-tan β tan(α-β)= 1+tan αtan β tan α+tan β tan(α+β)= 1-tan αtan β (T(α-β)) (T(α+β))

2.二倍角公式 sin 2α=2sinαcosα; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α tan 2α= . 1-tan2α

3.公式变形:如 tan α± tan β=tan(α± β)(1?tanαtanβ), tan α+tan β tan α-tan β tan αtan β=1- = -1. tan(α+β) tan(α-β)

考点一 三角函数公式的基本应用
例1 (1)设 tan α,tan β 是方程 x -3x+2=0 的两根,
2

则 tan(α+β)的值为( A ) A.-3 B.-1 C.1 D.3

π π π 1 π β 3 (2)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= , 2 2 4 3 4 2 3 β 则 cos(α+ )等于( C ) 2 5 3 6 3 3 点评:观察角之间的和、差、倍、半、特殊角 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 (互补、互余)等关系.

π π 1 跟踪训练 1 若 α∈( , π), tan(α+ )= , 则 sin α 等于(A 2 4 7 3 A. 5 4 B. 5 3 C.- 5 4 D.- 5

)

3 1+cos 20° 1 (2)计算: -sin 10° ( -tan 5° )=________. 2sin 20° tan 5° 2
cos25° -sin25° 2cos210° (2)原式= -sin 10° · 4sin 10° cos 10° sin 5° cos 5° -2sin 20° cos 10° sin 20° cos 10° = - = 2sin 10° sin 10° 2sin 10° = cos 10° -2sin?30° -10° ? 2sin 10°

cos 10° -2sin 30° cos 10° +2cos 30° sin 10° 3 = = . 2sin 10° 2

考点二
例2 的值为( A. 2 )

三角函数公式的灵活应用

(1)sin(65° -x)cos(x-20° )+cos(65° -x)· cos(110° -x)

2 B. 2

1 C. 2

3 D. 2

原式=sin(65° -x)· cos(x-20° )+cos(65° -x)cos[90° -(x-20° )] =sin(65° -x)cos(x-20° )+cos(65° -x)sin(x-20° ) 2 =sin[(65° -x)+(x-20° )]=sin 45° = .故选 B. 2

1 2cos x-2cos x+ 2 例 2 (2)化简: =________. π π 2tan( -x)sin2( +x) 4 4 1 (4cos4x-4cos2x+1) 2 原式= π 2× sin( -x) 4 2 π · cos ( -x) π 4 cos( -x) 4
4 2

(2cos2x-1)2 cos22x cos22x 1 = = = = cos 2x. π π π 2cos 2x 2 4sin( -x)cos( -x) 2sin( -2x) 4 4 2

例2

cos 15° +sin 15° (3)求值: =________. cos 15° -sin 15°

1+tan 15° tan 45° +tan 15° 原式= = 1-tan 15° 1-tan 45° tan 15° =tan(45° +15° )= 3.

点评:熟悉公式的逆用及变形

跟踪训练 2

(1)已知 α∈(0,π),化简:

α α (1+sin α+cos α)· (cos -sin ) 2 2 cos α =________. 2+2cos α (2)在△ ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列, A C A C 则 tan +tan + 3tan tan 的值为________ 3 . 2 2 2 2

考点三

三角函数公式运用中角的变换

3 1 例 3 (1)已知 α,β 均为锐角,且 sin α= ,tan(α-β)=- . 5 3 10 9 10 ? 则 sin(α-β)=________ ,cos β=________. 10 50 ? π? 2 2? (2)(2013 全国Ⅱ)已知 sin 2α= ,则 cos ?α+4 ? ?等于( A ) 3 ? ? 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3
点评:配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β, α+β α-β α+β α-β α-β β α β= - ,α= + , =(α+ )-( +β) 2 2 2 2 2 2 2

解析

π π π (1)∵α,β∈(0, ),从而- <α-β< . 2 2 2

1 π 又∵tan(α-β)=- <0,∴- <α-β<0. 3 2 10 3 10 ∴sin(α-β)=- ,cos(α-β)= . 10 10 3 4 ∵α 为锐角,sin α= ,∴cos α= . 5 5 ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 4 3 10 3 10 9 10 = × + × (- )= . 5 10 5 10 50

5 跟踪训练 3 (1)设 α、β 都是锐角,且 cos α= , 5 3 sin(α+β)= ,则 cos β 等于( 5 2 5 A. 25 2 5 B. 5

A)
5 5 D. 或 5 25

2 5 2 5 C. 或 25 5

π 4 7π (2)已知 cos(α- )+sin α= 3,则 sin(α+ )的值是_____. 6 5 6

4 ? 5

高考中的三角函数求值、化简问题
2cos -sin θ-1 2 (1)若 tan 2θ=-2 2, π<2θ<2π, 则 =______. 3? 2 2 π 2sin(θ+ ) 4 1+sin β π π (2)(2014 全国Ⅰ)设 α∈(0, ), β∈(0, ), 且 tan α= , 2 2 cos β 则(


B)
π B.2α-β= 2 π D.2α+β= 2

π A.3α-β= 2 π C.3α+β= 2

3 典例: (3)已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= , 3 则 cos 2α 等于( 5 A.- 3

A)
5 C. 9 5 D. 3

5 B.- 9

sin 47° -sin 17° cos 30° (4) 等于( cos 17° 3 A.- 2 1 B.- 2 1 C. 2 3 D. 2

C )


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