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【金版学案】2015-2016高中数学 4.1.2圆的一般方程练习 新人教A版必修2

4.1.2
基 础 梳 理

圆的一般方程

1.圆的一般方程的定义. 2 2 2 2 当 D +E -4F>0 时,二元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程. 2 2 2.方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的图形. 方程
2

条件 D +E -4F<0
2

图形 不表示任何图形

D +E -4F=0 x +y +Dx+Ey+F=0
2 2

2

2

E? ? D 表示一个点?- ,- ? 2? ? 2

D +E -4F>0

2

2

E? ? D 表示以?- ,- ?为圆心, 以 2? ? 2 1 2 2 D +E -4F为半径的圆 2

3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系. 2 2 已知点 M(x0,y0)和圆的方程 x +y +Dx+Ey+F=0.则其位置关系如下表: 位置关系 点 M 在圆外
2 2

代数关系 x0+y0+Dx0+Ey0+F>0

点 M 在圆上

x0+y0+Dx0+Ey0+F=0

2

2

点 M 在圆内

x0+y0+Dx0+Ey0+F<0

2

2

练习1:二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 在什么条件下表示圆的方程? 答案:A=C≠0,B=0 且 D +E -4AF>0 练习2:圆 x2+y2-2x+10y-24=0 的圆心为(1,-5),半径为 5 2. ?思考应用 1.圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 2 2 2 解析:圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r 明确了圆心和半径,方程左边为平方和,右 边为一个正数,且未知数的系数为 1;一般方程体现了二元二次方程的特点,但未明确圆心 2 2 和半径,需计算得到.当二元二次方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 中的系数 A=C≠0,B 2 2 =0,D +E -4AF>0 时,二元二次方程就是圆的一般方程. 2.求圆的方程常用“待定系数法”, “待定系数法”的一般步骤是什么?
1
2 2

解析:(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程.

自 测 自 评 1.圆 x +y +4x-6y-3=0 的圆心和半径分别为(C) A.(4,-6),r=16 B.(2,-3),r=4 C.(-2,3),r=4 D.(2,-3),r=16 解析:由圆的一般方程可知圆心坐标为(-2,3), 1 2 2 半径 r= 4 +(-6) +12=4. 2 2.如果方程 x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0)所表示的曲线关于 y=x 对称,则必 有(A) A.D=E B.D=F C.F=E D.D=E=F E? E D ? D 解析:由题知圆心?- ,- ?在直线 y=x 上,即- =- ,∴D=E. 2? 2 2 ? 2 3.若方程 x +y -4x+2y+5k=0 表示圆,则实数 k 的取值范围是(B) A.R B.(-∞,1) C.(-∞,1] D.[1,+∞) 2 2 2 2 解析:由 D +E -4F=(-4) +2 -4×5k=20-20k>0 得 k<1. 2 2 4.圆心是(-3,4),经过点 M(5,1)的圆的一般方程为 x +y +6x-8y-48=0. 解析:圆的半径 r= (-3-5) +(4-1) = 73, 2 2 ∴圆的标准方程为(x+3) +(y-4) =73, 展开整理得, x2+y2+6x-8y-48=0 为圆的一般方程. 5.指出下列圆的圆心和半径: 2 2 (1)x +y -x=0; 2 2 (2)x +y +2ax=0(a≠0); 2 2 (3)x +y +2ay-1=0. 2 1 1 ? 1? ?1 ? 2 解析:(1)?x- ? +y = ,圆心? ,0?,半径 r= ; 4 2 ? 2? ?2 ? (2)(x+a) +y =a ,圆心(-a,0),半径 r=|a|; (3)x +(y+a) =1+a ,圆心(0,-a),半径 r= 1+a . 基 础 达 标 1.方程 x +y +4x-2y+5=0 表示的曲线是(C) A.两直线 B.圆
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

C.一点 D.不表示任何曲线 2 2 2.x +y -4y-1=0 的圆心和半径分别为(C) A.(2,0),5 B.(0,-2), 5 C.(0,2), 5 D.(2,2),5 2 2 解析:x +(y-2) =5,圆心(0,2),半径 5. 2 2 3.经过圆 x +2x+y =0 的圆心 C,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是(C) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-y-1=0 2 2 2 2 解析:x +2x+y =0 配方得(x+1) +y =1,圆心为(-1,0),故所求直线为 y=x+1, 即 x-y+1=0. 2 2 4. 如果直线 l 将圆 x +y -2x-4y=0 平分且不通过第四象限, 那么 l 的斜率的取值范 围是(A) A.[0,2] B.[0,1]

? 1? C.?0, ? ? 2?

? 1? D.?0, ? ? 2?

解析:l 必过圆心(1,2),0≤k≤2(几何意义知). 2 2 5.圆 x +y -6x+4y=0 的周长是________. 2 2 解析:(x-3) +(y+2) =13,

r= 13,C=2π r=2 13π .
答案:2 13π 6.(1)已知点 M 与两个定点 A(4,2)、B(-2,6)的距离的比值为 1,探求点 M 的轨迹, 然后求出它的方程; 1 (2)已知点 M 与两个定点 A(4, 2)、 B(-2, 6)的距离的比值为 时, M 点的轨迹又是什么? 2 求出它的方程. 解析:设 M(x,y) (1)因为点 M 与两个定点 A(4,2)、B(-2,6)的距离的比值为 1, 所以 (x-4) +(y-2) (x+2) +(y-6)
2 2 2 2

=1,

化简得 3x-2y+5=0. 所以 M 的轨迹是直线,它的方程是 3x-2y+5=0; 1 (2)因为点 M 与两个定点 A(4,2)、B(-2,6)的距离的比值为 , 2 所以 (x-4) +(y-2)
2

1 = , (x+2) +(y-6) 2
2

2

2

2 2 208 2 化简得(x-6) +(y- ) = , 3 9 2 4 故此时 M 的轨迹是以(6, )为圆心,半径为 13的圆, 3 3 2 2 208 2 它的方程是(x-6) +(y- ) = . 3 9

3

巩 固 提 升 7.已知 A,B 是圆 O:x +y =16 上的两点,且|AB|=6,若以 AB 为直径的圆 M 恰好经 过 点 C(1 , - 1) , 则 圆 心 M 的 轨 迹 方 程 是 ________________________________________________________________________. 2 2 答案:(x-1) +(y+1) =9 8.求经过两点 P(-2,4),Q(3,-1),并且在 x 轴上截得的弦长等于 6 的圆的方程. 2 2 解析:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,将 P(-2,4),Q(3,-1)代入圆的方程得
? ?2D-4E-F=20, ? ?3D-E+F=-10. ?
2 2

令 y=0 得 x +Dx+F=0. 2 设 x1,x2 为方程 x +Dx+F=0 的两根. 2 由|x1-x2|=6 有 D -4F=36, 解得 D=-2,E=-4,F=-8 或 D=-6,E=-8,F=0. 2 2 2 2 ∴圆的方程为 x +y -2x-4y-8=0 或 x +y -6x-8y=0. 9. 已知点 A 在直线 2x-3y+5=0 上移动, 点 P 为连接 M(4, -3)和点 A 的线段的中点, 求 P 的轨迹方程. 解析:设点 P 的坐标为(x,y), A 的坐标为(x0,y0). ∵点 A 在直线 2x-3y+5=0 上, ∴有 2x0-3y0+5=0. 又∵P 为 MA 的中点, 4+x0 x= , 2 ∴有 -3+y0 y= , 2

2

? ? ? ? ?

∴?

? ?x0=2x-4, ?y0=2y+3. ?

代入直线方程得 2(2x-4)-3(2y+3)+5=0, 化简得:2x-3y-6=0 即为所求.

1.任何一个圆的方程都可写成 x +y +Dx+Ey+F=0 的形式,但方程 x +y +Dx+Ey +F=0 表示的曲线不一定是圆,只有 D +E -4F>0 时,方程才表示圆心为?- ,- ?,半 2? ? 2
2 2

2

2

2

2

? D

E?

1 2 2 径为 r= D +E -4F的圆. 2

4

2.在圆的方程中含有三个参变数,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.求圆 的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据:当给出的条件与圆心坐标、半径有关,或者 由已知条件容易求得圆心和半径时, 一般用标准方程. 当上述特征不明显时, 常用一般方程, 特别是给出圆上三点,用待定系数法求圆的方程时,常用一般式,这样得到的关于 D,E,F 的三元一次方程组,要比使用标准方程简便得多. 3.要画出圆的图象,必须知道圆心和半径,因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为 标准方程.

5


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