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新课标1、2卷立体几何高考题含答案(2013-2016)20161118


全国卷高考题(立体几何)20161118 学号 姓名 2014 新课标 2 卷 18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

2015 新课标 2 卷 如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB =16 , BC =10 , AA 1 ?8, D1 F C1

E ,F 的 点 E , F 分别在 A1B1 , C1D1 上, A 1E ? D 1F ? 4 .过点
平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值. A A1

E D

B1 C

B

1

2013 新课标 2 卷 18.(2013 课标全国Ⅱ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分 别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

2 AB . 2

2013 新课标 1 卷 18.(2013 课标全国Ⅰ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB, AB=AA1,∠BAA1=60° . (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平 面 BB1C1C 所成角的正弦值.

2

2014 新课标 1 卷 19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (I)证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o , AB=Bc,求二面角

A ? A1B1 ? C1 的余弦值.

2015 新课标 1 卷

(18)如图, ,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的 两点, BE⊥平面 ABCD, DF⊥平面 ABCD, BE=2DF, AE⊥EC。
[来源:学&科&网]

(1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值
[来源:学科网]

3

2016 新课标 2 卷 如 图 ,菱 形 ABCD 的 对角 线 AC 与 BD 交 于 点 O , AB ? 5, AC ? 6 , 点 E , F 分 别 在

AD, CD上, AE ? CF ?

5 , EF 交 BD 于点 H .将 ?DEF 沿 EF 折到 4

?D' EF 位置, OD? ? 10 .
(Ⅰ)证明: D ?H ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B ? D?A ? C 的正弦值.

2016 新课标 1 卷 如图, 在已 A, B, C, D, E, F 为顶点的五面体中, 面 ABEF 为正方形, AF=2FD,?AFD ? 90 ,
?

且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 . (I)证明;平面 ABEF ? 平面 EFDC; (II)求二面角 E-BC-A 的余弦值.

?

4

答案: 2014 新课标 2 卷

(18)解: (I)连接 BD 交 AC 于点 O,连结 EO。 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点。 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB。 EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,所以 PB ∥平面 AEC. (Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD,ABCD 为矩形, 所以 AB,AD,AP 两两垂直。 ??? ? 如图,以 A 为坐标原点, AB 的方向为 x
??? ? 轴 的 正 方 向 , AP 为 单 位 长 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A ? x y z ,则

D( 0 ,

3,E 0(0, ),

? 3 1 3 1 ??? , ). , ), AE ? (0, 2 2 2 2

??? ? 设 b(m,0,0)(m ? 0) ,则 c(m, 3,0), AC ? (m, 3,0) 。
设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ACE 的法向量,
???? ?mx ? 3 y ? 0, ? ? n1 ? AC ? 0, ? 则 ? ??? 即? 3 , ? 1 y ? z ? 0, ? ? n1 ? AE ? 0, ? ? 2 2

可取 n1 ? (

3 , ?1, 3) 。 m

又 n2 ? (1,0,0) 为平面 DAE 的法向量, 由题设 cos n1 , n2 ?
1 ,即 2

3 3 1 ? ,解得 m ? 。 2 2 3 ? 4m 2

因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E ? ACD 的高为 三菱锥 E ? ACD 的体积
V? 1 1 3 1 3 ? ?3 ? ? ? . 3 2 2 2 8

1 . 2

5

2015 新课标 2 卷 (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图: (Ⅱ)作 EM ? AB ,垂足为 M ,则 AM ? AE ? 4 , EM ? AA1 ? 8 ,因为 1

EHGF

为 正 方 形 , 所 以

EH ? EF ? BC ? 10 . 于 是

D1 E D

F

C1

??? ? MH ? EH 2 ? EM 2 ? 6 ,所以 AH ? 10 .以 D 为坐标原点, DA A 1
的方向为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,则

B1 G C

B M H ??? ? ? HE ? (0, ?6,8) . 设 n ? ( x, y, z)是 平 面 EHGF 的 法 向 量 , 则 ? ??? ? ? ??? ? ? ?10 x ? 0, ?n ? FE ? 0, 即 ? 所 以 可 取 n ? ( 0 , 4 ,. 3又 ) AF ? (? 1 0 , 4 , , 8故 ) ? ? ???? ??6 y ? 8 z ? 0, ? ?n ? HE ? 0, ? ??? ? n ? AF ? ??? ? 4 5 4 5 .所以直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值为 . cos ? n, AF ? ? ? ??? ? ? 15 15 n ? AF
考点:1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角.

??? ? A(10, 0, 0) ,H (10,10,0) ,E (10, 4,8) ,F (0, 4,8) ,FE ? (10,0,0) ,

A

2013 新课标 2 卷 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)由 AC=CB= 平面 A1CD,

2 AB 得,AC⊥BC. 2 ??? ? 以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所
示的空间直角坐标系 C-xyz. 设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), CD = (1,1,0), CE =(0,2,1), CA1 =(2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,

??? ?

??? ?

????

??? ? ? ?n ? CD ? 0, ? x1 ? y1 ? 0, 则 ? ???? 即? n ? CA ? 0, ?2 x1 ? 2 z1 ? 0. ? ? 1

可取 n=(1,-1,-1). 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,

??? ? ? m ? CE ? 0, ? 则? 可取 m=(2,1,-2). ???? m ? CA ? 0, ? ? 1
6

从而 cos〈n,m〉= 故 sin〈n,m〉=

n· m 3 , ? | n || m | 3

6 . 3 6 . 3

即二面角 D-A1C-E 的正弦值为

2013 新课标 1 卷 (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60° , 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C ? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由(1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 AA1B1B,交线为 AB, 所以 OC⊥平面 AA1B1B, 故 OA,OA1,OC 两两相互垂直.

以 O 为坐标原点, OA 的方向为 x 轴的正方向,| OA |为单位长,建立如图所示的空间 直角坐标系 O-xyz. 由题设知 A(1,0,0),A1(0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0). 则 BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA 1 =(-1, 3 ,0), AC 1 =(0, ? 3 , 3 ). 设 n=(x,y,z)是平面 BB1C1C 的法向量,

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

????

??? ? ? n ? BC ? 0, ? ? ? x ? 3z ? 0, 则 ? ???? 即? 可取 n=( 3 ,1,-1). n ? BB ? 0, ? x ? 3 y ? 0. ? ? ? 1 ? ???? ???? n ? A1C 10 故 cos〈n, AC . ???? = ? 1 〉= 5 n A1C
所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

10 . 5

2014 新课标 1 卷 (Ⅰ)连结 BC1 ,交 B1C 于 O,连结 AO.因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C ? BC1 ?,且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面

ABO ,故 B1C ? AO ?又 B1O ? CO ,故 AC ? AB1
(Ⅱ) 因为 AC ? AB1 且 O 为 B1C 的中点, 所以 AO=CO? 又 因为 AB=BC?,所以 ?BOA ? ?BOC

7

故 OA⊥OB?,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长,建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz . 因为 ?CBB1 ? 600 ,所以 ?CBB1 为等边三角形.又 AB=BC?,则

? ? ? 3? 3 ? 3 ? , B ?1, 0, 0 ? , B1 ? 0, , C ? 0, ? A? 0, 0, , 0 ,0? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? 3 3 ? ???? 3 ? ????? ??? 3 ? , A1 B1 ? AB ? ? 1, 0, ? AB1 ? ? 0, , ? , B C ? BC ? ? 1, ? ,0? ? ? ? 1 1 ? 3 ? ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? 设 n ? ? x, y , z ? 是平面的法向量,则

? 3 3 ? ???? y? z?0 ? ? ? n ? AB ? 0 ? ? 3 1 3 ,即 ? 所以可取 n ? 1, 3, 3 ? ? ? ???? ? ?x ? 3 z ? 0 ?n?A1 B1 ? 0 ? 3 ? ?? ???? ? ?? ?? ? m ? A B ? 1 1 ?0 设 m 是平面的法向量,则 ? ? ????? ,同理可取 m ? 1, ? 3, 3 ? ?n?B1C1 ? 0 ? ?? ? ?? n?m 1 1 则 cos n, m ? ? ?? ? ,所以二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值为 . 7 n ?m 7

?

?

?

?

2015 新课标 1 卷

∴ EG 2 ? FG 2 ? EF 2 ,∴EG⊥FG, ∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面 AFC,

8

∵EG ? 面 AEC,∴平面 AFC⊥平面 AEC.

……6 分 ??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB, GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向,| GB| 为单位长度, 建立空间直角坐标系 G-xyz, 由 (Ⅰ) 可得 A (0, - 3, 0) , E(1,0,

2 ),F(-1,0,

??? ? ??? ? 2 ) ,C(0, 3 ,0) ,∴ AE =(1, 3 , 2 ) , CF =(-1, 2

2 ).…10 分 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? CF 3 ? ??? ? ?? 故 cos ? AE, CF ?? ??? . 3 | AE || CF |

- 3,

所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为

3 . 3

……12 分

考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力

2016 新课标 2 卷 ⑴证明:∵ AE ? CF ?

AE CF 5 ? ,∴ , 4 AD CD

∴ EF ∥ AC . ∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AC ? BD , ∴ EF ? BD ,∴ EF ? DH ,∴ EF ? D?H . ∵ AC ? 6 ,∴ AO ? 3 ; 又 AB ? 5 , AO ? OB ,∴ OB ? 4 , ∴ OH ?

AE ? OD ? 1 , AO

∴ DH ? D?H ? 3 , ∴ OD? ? OH ? D ' H , ∴ D ' H ? OH . 又∵ OH I EF ? H , ∴ D ' H ? 面 ABCD .
2 2 2

9

⑵建立如图坐标系 H ? xyz .

B ? 5 ,0 ,0 ? , C ?1 ,3 ,0 ? , D ' ? 0 ,0 ,3? , A ?1 ,? 3 ,0 ? ,
uuu r uuur uuu r AB ? ? 4 ,3 ,0 ? , AD ' ? ? ?1 ,3 ,3? , AC ? ? 0 ,6 ,0 ? , u r 设面 ABD ' 法向量 n1 ? ? x ,y ,z ? ,

?? ? ??? ? ?x ? 3 ? ?4 x ? 3 y ? 0 ?n1 ? AB ? 0 ? 由 ? ?? 得? ,取 ? y ? ?4 , ? ???? ? ? x ? 3 y ? 3 z ? 0 ? ? ?z ? 5 ?n1 ? AD ? 0 ? ?
u r ∴ n1 ? ? 3 ,? 4 ,5 ? . u u r 同理可得面 AD ' C 的法向量 n2 ? ? 3 ,0 , 1? ,

u r u u r n1 ? n2 9?5 7 5 ? ∴ cos? ? u , r u u r ? 25 n1 n2 5 2 ? 10
∴ sin ? ?
2 95 . 25

2016 新课标 1 卷 【解析】 ⑴ ∵ ABEF 为正方形 ∴ AF ? EF ∵ ?AFD ? 90? ∴ AF ? DF ∵ DF ? EF =F ∴ AF ? 面 EFDC

AF ? 面 ABEF

∴平面 ABEF ? 平面 EFDC ⑵ 由⑴知 ?DFE ? ?CEF ? 60? ∵ AB ∥EF
AB ? 平面 EFDC

EF ? 平面 EFDC
∴ AB ∥平面 ABCD

AB ? 平面 ABCD
∵面 ABCD ? 面 EFDC ? CD ∴ AB ∥ CD ,∴ CD ∥ EF ∴四边形 EFDC 为等腰梯形
10

以 E 为原点,如图建立坐标系,设 FD ? a

E ?0 , 0, 0?

B ?0 , 2a , 0?

?a 3 ? C? , 0 , a? ?2 2 ? ? ?

A? 2 a, a 2 , ?0

??? ? ?a ??? ? ? 3 ? ??? ? 2a , a ? EB ? ? 0 , 2a , 0? , BC ? ? 0, 0? ? , ? , AB ? ? ?2a , 2 ? ?2
?? 设面 BEC 法向量为 m ? ? x ,y ,z ? .

?? ??? ? ?2a ? y1 ? 0 ? ? ?m ? EB ? 0 ,即 ? a ? ? ?? ??? 3 a ? z1 ? 0 ? ? x1 ? 2ay1 ? ? ?m ? BC ? 0 ?2 2

x1 ? 3 ,y1 ? 0 ,z1 ? ?1
?? m?

?

3 ,0 ,? 1

?

? 设面 ABC 法向量为 n ? ? x2 ,y2 ,z2 ?

? ??? ? ?a 3 ? az2 ? 0 ? x ? 2ay2 ? ?n ? BC =0 .即 ? 2 2 ? 2 ? ? ??? ?2ax ? 0 ? ?n ? AB ? 0 ? 2

x2 ? 0 ,y2 ? 3 ,z2 ? 4
? n ? 0 , 3 ,4

?

?

设二面角 E ? BC ? A 的大小为 ? . ?? ? m?n ?4 2 19 cos? ? ?? ? ? ?? 19 3 ? 1 ? 3 ? 16 m?n

∴二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 ?

2 19 19

11


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