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配套K12湖南省长沙市麓山国际实验学校2018-2019学年高二数学上学期开学摸底考试试题

小学+初中+高中+努力=大学

湖南省长沙市麓山国际实验学校 2018-2019 学年高二数学上学期开学 摸底考试试题
一.选择题(共 15 小题,每小题 4 分,总计 60 分) 1.已知集合 U={0,1,2,3},A={0,1,2},B={2,3},则(?UA)∩B( ) A.{1,3} B.{2,3} C.{3} D.{0,1,2,3} 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A.y=1,y=x0 B.

C.

D.

3.实数 x,y 满足 x2+y2=1,若|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与 x,y 均无关,则实数 a 的取值

范围是( )

A.[0,1] B.[0, ] C.[ , ] D.[ ,+∞)

4.已知 x,y∈R,且 x>y>0,则( )

A.

>0 B.cosx﹣cosy>0 C.( )x﹣( )y<0 D.lgx+lgy>0

5.现在有这么一列数:2, , , , () A. B. C. D.

, , ,…,按照规律,横线中的数应为

6.已知等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为

,则 =( )

A. B. C. D.
7.已知向量 =(﹣1,1), =(﹣2,2), =(k+1,k﹣3),若 A,B,C 三点不能构成三 角形,则实数 k 满足的条件是( ) A.k=﹣16 B.k=16 C.k=﹣11 D.k=1 8.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

A.

B.

C.

D.

9.﹣300°化为弧度是( ) A.﹣ π B.﹣ π C.﹣ π

D.﹣ π

10.函数 f(x)=

的定义域为 D,对于 D 内的任意 x 都有 f(﹣1)≤f(x)≤f

(1)成立,则 b?c+f(3)的值为( )

A.6 B.0 C.5 D.以上答案均不正确 11.已知 an=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我们把使乘积 a1?a2?…?an 为整数的数 n 叫做“劣数”, 则在 n∈(1,2018)内的所有“劣数”的和为( )

A.1016 B.2018 C.2024 D.2026 12.已知函数 f(x)=e|x|+x2﹣2 有两个零点 x1,x2,则 x1+x2=( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.3

13.设 a=sin(cos1),b=cos(cos1),c=cos1,d=cos(sin1),则下列不等式正确的是( )

A.b>c>d>a B.b>d>c>a C.a>c>d>b D.a>d>c>b

14.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c(a≥b),



,则 a+b 的最大值为( ) A.2 B.3 C. D.4

15.已 O 知是△ABC 的外心,



A.10 B.9 C.8 D.6

,则

=( )

二.填空题(共 5 小题,每小题 4 分,总计 20 分)

16.已知集合 A={x|x2+x+m=0},若 A∩R=?,则实数 m 的取值范围是



小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

17.关于 x 的方程 4x﹣k?2x+k+3=0,只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是



18.已知向量 =(1,﹣a), =(1,b﹣1)共线,其中 a,b>0 则 的最小值为



19.已知{an}满足 an=(n﹣λ )2(n n∈N*),若{an}是递增数列,则实数 λ 的取值范围是



20.设 A、B、C、D 是半径为 2 的球面上的四点,且满足 AB⊥AC,AD⊥AC,AB⊥AD,则 S +S +S △ABC △ABD △ACD

的最大值是



三.解答题(共 5 小题,每小题 14 分,总计 70 分)

21.已知函数 f(x)= cos(

)+2cos2x﹣1(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调

递减区间;(2)将 f(x)的图象左移 个单位,再向上移 1 个单位得到 g(x)的图象,试

求 g(x)在区间[0, ]的值域.

22.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 ,PD=CD=2.(1) 求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (2)证明:平面 PDC⊥平面 ABCD; (3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

小学+初中+高中+努力=大学

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23.已知函数 f(x)=log22x﹣log2x2 ,(1)求方程 f(x)﹣3=0 的解;(2)当 求函数 f(x)的最值,并求 f(x)取最值时对应的 x 的值.

时,

24.已知圆 C 的方程为:x2+y2=4(1)求过点 P(2,1)且与圆 C 相切的直线 l 的方程;(2) 直线 l 过点 D(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 ,求直线 l 的方程;(3)圆 C 上有一动点 M(x0,y0), =(0,y0),若向量 = + ,求动点 Q 的轨迹方程.

25.已知函数

.(1)设集合

,B={x|x2﹣6x+p<0},若

A∩B≠?,求实数 p 的取值范围;(2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实 数 m 的取值范围.

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麓山国际实验学校 2020 届开学摸底考试 数学(文/理)试卷参考答案

一.选择题(共 15 小题) 1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.B 10.A 11.D 12.B 13.B 14.A 15.A

二.填空题(共 5 小题)

16.

17.(﹣∞,﹣3)∪{6} 18.4+2 19.(﹣∞,3). 20.8

三.解答题(共 5 小题) 21.解:(1)函数 f(x)= cos(

)+2cos2x﹣1= sin2x+cos2x=2sin(2x+ ),

∴f(x)的最小正周期为

=π ,



,求得





∴函数 f(x)的单调递减区间为

.(7 分)

(2)将 f(x)的图象左移 个单位,得到 y=2sin(2x+ + )=2sin(2x+ )的图象,

再向上平移 1 个单位得到 g(x)=2sin(2x+ )+1 的图象.∵在区间[0, ]上,2x+ ∈[ ,

],

则﹣ ≤sin(2x+ )≤1,∴﹣ +1≤g(x)≤3,即函数 f(x)的值域为[﹣ +1,3].(14

分)

22.(1)解:如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中, 因为底面 ABCD 是矩形,所以 AD=BC,且 AD∥BC, 又因为 AD⊥PD,

故∠PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成角,

在 Rt△PDA 中,

=2,

所以异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2.(5 分) (2)证明:由于底面 ABCD 是矩形,故 AD⊥DC, 由于 AD⊥PD,CD∩PD=D,

小学+初中+高中+努力=大学

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因此 AD⊥平面 PDC,而 AD? 平面 ABCD,所以平面 PDC⊥平面 ABCD.(5 分) (3)解:在平面 PDC 中,过点 P 作 PE⊥CD 于 E,连接 EB. 由于平面 PDC⊥平面 ABCD, 而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线, 故 PE⊥平面 ABCD. 由此得∠PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成角, 在△PDC 中, 由于 PD=CD=2,PC=2 ,可得∠PCD=30°, 在 Rt△PEC 中,PE=PCsin30°= . 由 AD∥BC,AD⊥平面 PDC,得 BC⊥平面 PDC, 因此 BC⊥PC.

在 Rt△PCB 中,PB=

=.

在 Rt△PEB 中,sin∠PBE= = . 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 .

23.解:(1)∵f(x)﹣3=0,

∴log22x﹣2log2x﹣3=0, ∴(log2x﹣3)(log2x+1)=0, ∴log2x=3 或 log2x=﹣1,



.(7 分)

(4 分)

(2)设 t=log2x,∵

,∴t∈[﹣1,2],

f(x)=t2﹣2t=(t﹣1)2﹣1, 当 t=1,即 x=2 时,f(x)min=﹣1,

小学+初中+高中+努力=大学

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当 t=﹣1,即 x= 时,f(x)max=3.(7 分) 24.解:(1)当 k 不存在时,x=2 满足题意; 当 k 存在时,设切线方程为 y﹣1=k(x﹣2),



=2 得,k=﹣ ,

则所求的切线方程为 x=2 或 3x+4y﹣10=0;(5 分) (2)当直线 l 垂直于 x 轴时,此时直线方程为 x=1,l 与圆的两个交点坐标为(1, )和(1, ﹣ ),这两点的距离为 2 ,满足题意; 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y﹣2=k(x﹣1),即 kx﹣y﹣k+2=0, 设圆心到此直线的距离为 d,

∴d=

=1,即

=1,

解得:k= , 此时直线方程为 3x﹣4y+5=0, 综上所述,所求直线方程为 3x﹣4y+5=0 或 x=1;(5 分) (3)设 Q 点的坐标为(x,y), ∵M(x0,y0), =(0,y0), = + , ∴(x,y)=(x0,2y0), ∴x=x0,y=2y0, ∵x02+y02=4,
∴x2+( )2=4,即 + =1.(4 分)

25.解:(1)当 x≥0 时,f(x)≤ ,即

,解得 0≤x≤2;

当 x<0 时,f(x)

即0

成立,

综上,f(x)

的解集为{x|x≤2},即 A=(﹣∞,2].

设 g(x)=x2﹣6x+p, 因为 A∩B≠?,所以 g(2)<0,即 4﹣6×2+p<0,解得 p<8, 所以实数 p 的取值范围为:(﹣∞,8).(7 分) 小学+初中+高中+努力=大学

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(2)因为 t∈[1,2],所以 f(t)=



2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,即

即(

)(22t+1+m)≥0,

因为 22t﹣1≥3,所以 22t+1+m≥0 恒成立,即 m≥﹣(1+22t), 因为 t∈[1,2],所以﹣(1+22t)∈[﹣17,﹣5],则 m≥﹣5. 故实数 m 的取值范围为[﹣5,+∞).(14 分)

恒成立,

小学+初中+高中+努力=大学


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