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对数函数的图像与性质_图文

§2.2.2 对数函数及其性质

复习对数的概念 定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?
的b次幂等于N, 就是

a ?N
b

,那么数 b叫做

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

由前面的学习我们知道:如果有一种细胞分裂时, 由1个分裂成2个,2个分裂成4个,· · ·,1个这样的 细胞分裂x次会得到多少个细胞?

y?2

x

如果知道了细胞的个数y,如何确定分裂的次 数x呢? 由对数式与指数式的互化可知:

x ? log2 y
上式可以看作以y为自变量的函数表达式

对于每一个给定的y值都有惟一的x 的值与之对应,把y看作自变量,x 就是y的函数,但习惯上仍用x表示 自变量,y表示它的函数:即

y ? log2 x
这就是本节课要学习的:

对数函数
定义:函数 y ? loga x(a ? 0,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定 义域是(0,+∞)。


一个函数为对数函数的条件是: ①系数为1; ②底数为大于0且不等于1的常数; ③真数为单个自变量x.

判断是不是对数函数

x (1) y ? log5 5 (2) y ? log2 ( x ? 2)
(3) y ? 2 log5 x

(×) 哈哈 ,我们都不是对数函

数你答对了吗???
(×) (×)

(4) y ? log2 x x (×)

(5) y ? log ?5 x

(×) (×)

1 (6) y ? log 5 x (7) y ? log x 5 (×)

我们是对数型函 数请认清我们哈

知识应用 应用一 定义问题
1. 函数 y ? (a
2

? 3) ? loga x

2 是对数函数,a=_____

解:由对数函数 的定义有
a2 - 3=1 a =-2或a = 2

a> 0
a≠1

解得

a> 0 a≠1

∴a=2

指数函数 y ? a a>1

x

的图像及性质 0<a<1
y=ax
(0<a<1)

图 象
y=1

y

y=ax
(a>1) (0,1)

y

(0,1)

y=1 x

R 定 义 域 : 当 x < 0 时,. 0< y < 1 当 x > 0 时, 0< y < 1 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
y= a 和 对称性:
x

当 x > 0 时,y > 1.

0

x

当 x < 0 时,y > 1;

0

y= (

1

) x的图像关于y轴对称.

探究:对数函数:

对数函数 y

? loga x(a ? 0, 且a ? 1)

有什么性质呢?
在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log2 x和y ? log1 x 的图象。

作图步骤:

2

①列表,

②描点,
③用平滑曲线连接。

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log x …
1 2

x



1/4 1/2
-1 1

1
0 0

2 4
1 -1



2 … -2 …

2

描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

y=log2x

1 2 3

4

x
y=log1/2x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

2.思考:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象随着a 的取值变化图象如何变化?有规律吗?
猜猜: 对数函数 y
3

? log3 x和y ? log1 x 的图象。
y ? log2 x

底 大 图 右

y 2
y=1

1
0

y ? log3 x
11 42

1 2 3

4

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1 -2

3

观察右边图象,回答下列问题: 问题一: 图象分别在哪几个象限?
一、四 答四个图象都在第 ____象限。

1 0 1

y ? log 2 x y ? log 3 x x y ? log 1 x
y ? log 3 1 x
2

问题二: 图象的上升、下降与底数a有联系吗?

0< a<1 答:当底数__ 时图象上升;当底数____时图象下降 .

a>1

问题三: 图象中有哪些特殊的点?

(1, 0) 答:四个图象都经过点____.

观察右边图象,回答下列问题: 问题四: 指数函数 y ? log2 x 图像是否具有 对称性?

1

答:

不关于y轴对称 不关于原点中心对称

0

1

y ? log 2 x y ? log 3 x x y ? log 1 x
y ? log 3 1 x
2

问题五: 函数y ? log2 x与 y ? log 1 x 图象有 2 什么关系 ? 答: 关于x轴对称。

2.对数函数y=logax (a>0,且a≠1) 的图象与性质

a>1

0<a<1
y

图 象 性 质

y

0

(1,0)

x

0

(1,0)

x

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 过点(1 ,0), 即当x =1时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 当x>1时,y>0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y<0 在(0,+∞)上是减函数 当x>1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0
a

y ? loga x 和 y ? log 1 x 的图像关于y轴对称. 对称性:

例1 已知函数f(x)为对数函数,且图象过点(4, 2),求f(1),f(8)

解: ? f ( x)为对数函数 (a ? 0且a ? 1)

? 设f ( x) ? loga x 又 ? f ( x)过(4, 2) ? 2 ? loga 4 ? a2 ? 4 ? a ? 2(a ? ?2舍) ? f ( x) ? log2 x ? f (1) ? log2 1 ? 0 f (8) ? log2 8 ? log2 23 ? 3

与对数函数有关的定义域问题 求下列函数的定义域. (1)y=log(x-1)(3-x);(2)y= log2?x+1?-1; 3x2 (3)y=lg(x+1)+ . 1-x

[解题过程] 义,

(1)要使函数 y=log(x-1)(3-x)有意

?3-x>0 ? 只须使?x-1>0 ? ?x-1≠1

∴1<x<2 或 2<x<3. ∴ 函 数 y = log(x - 1)(3 - x) 的 定 义 域 为 (1,2) ∪ (2,3) .

(2)要使函数 y= log2?x+1?-1有意义, ?x+1>0 ?x>-1 只须使? ,∴? ?log2?x+1?-1≥0 ?x+1≥2 ∴x≥1. ∴函数 y= log2?x+1?-1的定义域为[1, +∞). (3)要使函数有意义, ?x+1>0 ?x>-1 需? ,即? . ?x<1 ?1-x>0 ∴-1<x<1,∴函数的定义域为(-1,1).

归纳:求函数的定义域应从以下几个方面入手 (1)分母不能为0;

(2)函数含有开偶次方运算时,被开方式必须大 于等于0; (3)有对数运算时,真数必须大于0.底数必须大 于0且不为1. (4) 0次幂的底数不能为零.

练习1.求下列函数的定义域

(1) y ? lg x
1 (3) y ? log 2 x

(2) y ? 1? log0.5 x

练习2: 求下列函数的定义域: (1) y (2)y

? loga x

2

? loga (4 ? x)
2

(3)y ? log( x?3) ( x (4) y

? 6x ? 8)

?x x ? 0? ?x x ? 4? ?x x ? 4?
?1,2?

? log1 ( x ? 1)
2

练习3
对数函数的单调性的应用 (目标 2)已知函数f (2 x )的定义域为 ? ?1,1?, 求(1) f ( x)的定义域 (2)f (1og 2 x)的定义域

反馈:已知函数f ( x)的定义域为[0,1], 求函数 f (log 3 (4 x ? 3))的定义域

练习
1:求函数 解: 要满足不等式组
2 x ? x2 y? ? (3 x ? 2)0 lg(2 x ? 1)
?2 x ? x 2 ? 0 ? ?lg(2 x ? 1) ? 0 ? ?2 x ? 1 ? 0 ?3 x ? 2 ? 0 ?

的定义域?

解之,得函数定义域为
1 3 {x | ? x ? 2且x ? 1且x ? } 2 2

第二课时

对数函数的性质 —比较大小

默写对数函数y=logax (a>0,且a≠1)的图象与性质 a>1 0<a<1

图 象 性 质
定义域 : 值 域 : 过定点 单调性 当x>1时, 当0<x<1时, 当x>1时,

当0<x<1时,

函数f ( x) ? log 2 ( x ?1) ? 2是有f ( x) ? log 2 x怎样平移而来? 那么函数f ( x) ? log 2 ( x ?1) ? 2恒过定点( )

1:函数 y ? loga (2x ? 1)(a ? 0, a ? 1) 的图像过定点_______.
变式:函数

y ? loga ( x ? 1) ? 2

的图像过定点_______.

? 例1.比较下列各组中,两个值的大小: ? (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 解法1:画图找点比高低 解法2:利用对数函数的单调性 y ? log2 x 考察函数y=log 2 x , y log28.5 ∵a=2 > 1, log23.4 ∴函数在区间(0,+∞) 上是增函数; 0 1 3.4 8.5

x

∵3.4<8.5

∴ log23.4< log28.5

∴ log23.4< log28.5

? 例1.比较下列各组中,两个值的大小: ? (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7

(2)解法1:画图找点比高低 解法2:考察函数y=log 0.3 x ,

∵a=0.3< 1,
∴函数在区间(0,+∞)上是减函数;

∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
小结

? 例1.比较下列各组中,两个值的大小: ? (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7

比较两个同底对数值的大小时:
1.观察底数是大于1还是小于1( a>1时为增函数




2.比较真数值的大小;

0<a<1时为减函数)

3.根据单调性得出结果。

例1.比较下列各组中,两个值的大小: ?(3) loga5.1与 loga5.9

解: ①若a>1则函数在区间(0,+∞)上是增函数;
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9 ②若0<a<1则函数在区间(0,+∞)上是减函 数; ∵5.1<5.9

∴ loga5.1 > loga5.9
注意:若底数不确定,那就要对底数进行分类讨论

即0<a<1 和 a > 1

你能口答吗?

变一变还能口答吗?

log10 6     < log10 8 log10 m<    log10 n 则 m   n < <n    log0.5 n 则 m   > log 0.5 8 log0.5 m> log 0.5 6    
< log m    log n  则 m    n > 2 2 log 2 0.6    log 0.8 > 2
3 3
3 3

log1.5 6     < log1.5 8

<n log1.5 m    < log1.5 n 则 m  

练习1:比较大小 ① log76

< >
1

1

② log0.53

<

1

③ log67

④ log0.60.1

>1 <0 >
0

⑤ log35.1

>0 <
0

⑥ log0.12

⑦ log20.8

⑧ log0.20.6

例2.比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 . 提示 : log aa=1 提示: log 1=0
a

解: ⑴∵log67>log66=1 ⑵ ∵log3π>log31=0 log76<log77=1 log20.8<log21=0 ∴ log67>log76 ∴ log3π>log20.8
注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入 一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大 小

(1)底数a>1时,底数越大, 其图象越接近 x轴。“图低底大” y
y ? loga1 x y ? loga2 x
1

y ? loga3 x

o

1a

1

a2 a 3

x

1 ? a1 ? a2 ? a3

y

a1 ? a2 ? a3 ? 1
x

1

loga1 x (2)底数0<a<1时,底数越小, loga2 x 其图象越接近x轴。 log x a3 “图高底小”
o

a1 a2 a31

如图所示的是对数函数

C1 : y ? log a x

C2 : y ? logb x C3 : y ? logc x C4 : y ? logd x
4

y

C1 C2
2 4 6 8 10

3

在第一象限, 函数的底数从

2

1

O

-1

x

C3 C4

左到右逐渐增大

-2

-3



a, b, c, d

与1 的大小关系是: b ? a ?1? d ? c

y

图 形

y=log

2

x

y=log

10

x

0

1
y=log
0.5

y=log 0.1 x x

x

补充 底数互为倒数的两个对数函数的图象 性质 关于x轴对称。 一 补充 底数a>1时,底数越大,其图象越接近x 性质 轴。 底数0<a<1时,底数越小,其图象越接近 二
x轴。

例3:比较下列各题中的两个值的大小。 (1)、log25与log35

底数不同,真数相同
(2)、log1/22与log1/32

1 (3) log 2 3

1 log 1 2 3

能力提升:

设a ? log3 6, b ? log5 10, c ? log7 14则a, b, c的大小关系是

例4 将log0.7 ,log

0.8

0.9 1.1

,1.1

0.9

由小到大排列

解:利用对数函数的单调性可知:
log1.10.9 ? log1.11 ? 0
log0.7
0.8

? log

1 0.7

? 0 ∴ log

0.9 1.1

? log0.7

0.8

又 log0.70.8 ? log0.70.7 ? 1

由指数函数的单调性可知: 0.8 0.9 0.9 0 1.1 ? 1.1 ? 1 ∴ log0.7 ? 1.1
∴从小到大的排列是:log1.10.9 ? log0.70.8 ? 1.10.9

练习:比较下列各组数中两个值的大小

(1) log2 0.5,

log2 0.6

(2) log1.5 1.6,

3

log1.5 1.4

3

(3) log2 ? (4) log3 ? (5) log0.5 3
(6) log1 0.3
3

log3 0.8 log? 3 log0.2 3
log2 0.8

一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质;

三、比较两个对数值的大小.

3.对数函数的图象与性质:
函数 底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 ) a>1
y

0<a<1
1

图象

o

1

x

o

x

定义域 奇偶性 值域
定点 单调性 函数值 符号

( 0 , + ∞ ) 非奇非偶函数 R 非奇非偶函数

( 1 , 0 ) 即 x = 1 时,y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

§2.2.2 对数函数及其性质 第三课

指数对数函数的图象与性质
解析式
y ? ax(a ? 0且a ? 1)

y ? loga x(a ? 0且a ? 1)

图象 定义域 值 域 定 点
范 围

单调性
奇偶性

例1:解下列不等式:

2 (1) log x ? 1 3 (2) log2 (2 x ? 3) ? log2 (5x ? 6)

(3) log2 (2 x ? 3) ? 0 4 (4) log x ? 1 5 2 (5) log2a?1 ( x ? 3x) ? log2a?1 (2x ? 6)

巩固练习
(1)若 log 2 a ? 1, 则实数a的取值范围是 _____;
3

(2)若 log 2 a ? 1, 则实数a的取值范围是 _____;
3

2 (3)若 log a ? 1, 则实数a的取值范围是 _____; 3

[探究] 对数logab为正数、负数的条件分别是 什么?
(1)若 log a b ? 0, 则实数a, b的取值范围是 _____; (2)若 log a b ? 0, 则实数a, b的取值范围是 _____;
? ?a>1, 提示:当? ? ?b>1, ? ?a>1, 当? ? ?0<b<1, ? ?0<a<1, 或? ? ?0<b<1

时,logab 为正数;

? ?0<a<1, 或? ? ?b>1

时,logab 为负数.

底真同对数正,底真异对数负.

例2:求函数 y=log3x(1≤x≤3)的值域.
变式: (1)已知函数y=logax(a>0,a≠1), 当x∈[3,9]时,函数的最大值比最小值大1,

1 3或 则a=________ 3

2 y ? log ( x ? 4 x ? 7) 的值域? 例3:求下列函数 2

解:
2′

log2 3, ??? 定义域: R 值域: ? ?

{x | x ? R且x ? 2} 值域: R 定义域:
2″
y ? log 2 ( x 2 ? 4 x ? 3)

y ? log 2 ( x 2 ? 4 x ? 4)

{x | x ? 3或x ? 1} 定义域:
值域: R

若已知函数定义域,如何确定函数解析式? 3:已知函数 y ? lg(ax2 ? 2ax ? 1), 若定义域为 R 求
解: 二次项系数 (1) a ? 0 时,函数 y ? lg 1 , 此时 是否为0? 定义域为 R ;√ (2) a ? 0 时, 对任意 ax2 ? 2ax ? 1 ? 0 实数x 恒成立,故 ?a ? 0 ? 解得 0 ? a ? 1 ? ?? ? 4a 2 ? 4a ? 0
?

a的取值范围?

故函数定义域为R时, 0 ? a ? 1.

改变条件为:
3′已知函数 若 y ? lg(ax2 ? 2ax ? 1), 值域为 R 求 a的取值范围?

解: (1) a ? 0 时, y ? lg 1 ,此 时不满足题设条件 ; × (2) a ? 0 时,设 u ? ax2 ? 2ax ? 1 数y的值域是R, 则 ?a ? 0 ? a ? 1 解得 ? ?? ? 4a2 ? 4a ? 0
?

, 因为函

故函数值域为R时,

a ? 1.

练习2.求下列函数的值域

(1) y ? 1 ? log0.5 x (2) y ? log0.5 x ?1

(3)若函数 y ? 2 log0.5 x 的值域为[-1,1],则 它的定义域为____.

与对数有关的二次函数
2 例3.求 ( f x) ? 2 loga x- loga x+1 的值域

1.单调性法(端点代入) 2.换元法(注明新元取值)
3.二次函数法(配方,画图,求值)

变式训练 求函数f ( x) ? ?(log 1 x) ? log 1 x ? 5在2 ? x ? 4
2 2 4

范围内的取值。
1 2 1 1 解析: f(x)=-(log x) - log x+5, 2 2 2 1 令 t=log x,∵2≤x≤4,∴-2≤t≤-1, 2 ? 1? 1 81 ? ?2 2 ∴y=g(t)=-t - t+5=-?t+4? + , 2 16 ? ? 9 ∴当 t=-1 时,即 x=2 时,ymax= ; 2 当 t=-2 时,即 x=4 时,ymin=2.

求函数值域 作业

(1) y ? 1 ? log3 x (2) y ? 1 ? log3 x( x ? 9)
(3) y ? log 1 ( x ? 2 x ? 3)
2

(4) y ? log2 ( x ? 2 x ? 2) 1? x (5) y ? log 2 1? x
2

2

奇偶性
例4:判断下列函数的奇偶性: ? 2 ? (1) f ( x) ? log 1 ? ? 1? 1? x ? ? 4 解: 回忆:用定义判断函数奇偶性的步骤:
① 先求 f(x)定义域,看是否关于原点对称; ? 判断 f(-x)= - f(x) 或 f(-x)= f(x)是否恒成立,得出结论.

? 1? x ? 先变形为 f ( x) ? log 1 ? ? 定义域为 (?1, 1) 4 ?1? x ? ?1? x ? 奇函数 f (? x) ? log 1 ? ? 4 ? 1? x ? 偶函数

? 1? x ? 解: 变形为 f ( x) ? log 1 ? ? 定义域为 (?1, 1) 4 ?1? x ? 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么

?1? x ? ? 1? x ? f (? x) ? f ( x) ? log 1 ? ? ? log 1 ? ? 1 ? x 1 ? x ? ? 4 ? 4 ? ? 1 ? x 1 ? x ? ? log 1 ? 0 ? log 1 ? ? 1 ? 4 4 ?1? x 1? x ? 所以,函数 y = f(x)是定义在 (?1, 1) 上的奇函数.

loga M ? loga N ? loga MN

判断对数函数奇偶性: f (? x) ? f ( x) ? 0或f (? x) ? f ( x) ? 0

(2) g ( x) ? lg
解:

?

x ?1 ? x
2

?
x2 ? 1 ? x
2 2

定义域为 R

2 ? lg ( ? x ) ? 1 ? x ? lg g (? x) ? g ( x)

? ? ? ? lg ?? x ? 1 ? x ? ? ? x ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? ?
? lg 1 ? 0

所以,函数 y = g(x)是奇函数.

判断函数的奇偶性与单调性

作业

y ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)(a ? 0, , a ? 1) (1)已知函数 判断它的奇偶性;

(2)已知函数 y ? lg( 1 ? x ? x) , 判断它的奇偶性
2

默写:指数函数与对数函数的图象与性质




指数函数y=ax (a>0,a≠1) y y=ax y=ax (0<a<1) (a>1) 1 x o

对数函数y=log a x (a>0, a≠1) y o y=logax (a>1) x y=logax (0<a<1)

1

(1)定义域: R (2)值域: (0,+∞) 性 (3)过定点 (4)单调性 质
a>1时, 在R上是增函数; 0<a<1时,在R上是减函数 (0,1)

(1)定义域: (0,+∞) (2)值域: R (3)过定点 (1,0) (4)单调性
a>1时,在(0,+∞)是增函数; 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数

(5)奇偶性: 非奇非偶

(5)奇偶性: 非奇非偶

作出函数

y?l og2 | x | 和y ? l og1 | x |
2 2

y ?| l og2 x | 、y ?| l og1 x |
的图象并说出其性质。

2.对数函数y=log2x与y=log2(-x)的图象关于什么对称?

函数
图 象

oga | x | y?l oga | x | y ? l (0 ? a ? 1) (a ? 1)

y ?| l oga x | y ?| l oga x | (a ? 1) (0 ? a ? 1)

定义域

?x | x ? 0?
R

值域
单调性 奇偶性

?x | x ? 0? ?x | x ? 0? ?x | x ? 0? R ?y | y ? 0? ?y | y ? 0?

1.方程a ?| loga x | (0 ? a ? 1)
| x|

的实数解有几个 ?
2.设 函 数 f ( x) ? loga | x | 在(??,0) 上单调递增 , 则比较 f (a ? 1)与f (2) 的大小 。

3.已知a ? 0且a ? 1,函数y ? a 与
x

y ? log a (? x)的图象只能是
y y
o x o

(

B

)

x

A
y

B
y

o

x

o

x

C

D

变式: 函数y=x+a与y=logax的图象可能是 y y (③)
① 1 O y 1 ③ O 1 x 1 x

1
② O y 1 ④ O 1 x

1

x

一、新课引入

匀速运动 假如设v=2 千米/小时,t表示时间,s表示 位移.
时间

t (小时) ×2 1 2 3

位移 s(千米)

位移

s (千米)
÷2

时间 t (小时)

2
4 6 8 …

2 4 6 8 …

4


1 2 3 4


根据条件填图,并写出对应的关系式 . 1

s ? 2t

t ?

2

s

观察两式

观察这两个关系式发现:

s ? 2t



1 t ? s 2



在①中t是自变量,s是自变量t的函数. 在②中s是自变量,t是自变量s的函数.
s 这时我们就说t ? 是函数s ? 2t的反函数. 2

除此之外,我们还可发现②的表达式 可由①的表达式变换而得,即从①式 中求出t即可. 又例如

反函数的概念

y?2

x

x ? log2 y( y ? (0,??))是函数 y ? 2 ? x ? R?的反函数
x

指数函数 y ? 2 ? x ? R?的反函数
x

对数函数 y ? log2 x( x ? ?0,???)是

x ? log2 y

对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1)与
x

y ? log2 x

指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1)是互为反函数

思考1:在函数y=x2中,若将y作自变量,那么x 与y的对应关系是函数吗?为什么?
思考2:一个函数在其对应形式上有一对一和多 对一两种,那么在哪种对应下的函数才存在反 函数?

对数函数与指数函数的图象
由于对数函数 互为反函数, 所以 的图象关于直线
5 4

y ? loga x 与指数函数 y ? a
y ? loga x

x

y ? x 对称。

x y ? a 的图象与

4 4

y=ax

(a>1)

3

y=ax
0<a<1
-4 -4 -2 -2

3 3

2 2

2

1 1

1

2 2

-4

-2

2

4

6

-1

y=logax (a>1)

-1 -1

y=logax
0<a<1

4 4

6

-2 -2

-2

探讨1: 所有函数都有反函数吗?为什么? 探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么? 函数y=f(x) 反函数y=f-1(x)
定义域 值域 A C C A

(2)反函数的性质:

①互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称. ②互为反函数的两个函数具有相同的单调性. ?单调函数一定存在反函数,但有反函数的 函数不一定是单调函数 ④若函数y=f(x)上有一点(a,b),则(b,a) 必在其反函数的图象上.反之若(b,a)在 反函数的图象上,则(a,b)必在原函数的 图象上.

二 反函数的概念

设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如 果由函数y=f(x)所解得 x ? ? ( y ) 也是一个函 数(即对任意一个 y ? B,都有唯一的 x ? A 与之对应),那么就称函数 x ? ? ( y ) 是函 ?1 x ? f ( y ) 。习惯上, 数y=f(x)的反函数,记作: 用x表示自变量,y表示函数,因此的反函数 ?1 ?1 y ? f ( x) x ? f ( y) 通常改写成:
注.y=f(x)的定义域、值域分别是反函数y ? f ( x ) 的值域、定义域
?1

2.求反函数的步骤
y = f(x) (x∈A)
反解

y?2
用 y 把 x 表示出来

x

x=? ( y ) (y∈C)
判断

x ? log2 y

x=f

?1

( y) (y∈C)
对调

如果…那么…

y=f

?1

( x) (x∈C)

对调字母 x , y

y ? log2 x

例 求下列函数的反函数 (1) y ? 2 ? 1( x ? 1) (3) y ? 2 log 4 ( x ? 1)
x

(2) y ? 3x ? 1

例题:已知函数y ? a ? b(a ? 0, a ? 1)的图像过点(1,4)
x

,其反函数的图像过点(2,0),则a ?

b?

【变式训练】 已知f ( x) ? log3 x, 求f (4)的值

?1


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