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高考数学玩转压轴题专题72创新型问题(含答案)

专题 7.2 创新型问题 一.方法综述 对于创新型问题,包括: (Ⅰ)将实际问题抽象为数学问题,此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言,要明确题中已知 量与未知量的数学关系,要理解生疏的情境、名词、概念,将实际问题数学化,将现实问题转化为数学问 题,构建数学模型,运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决) 。 (Ⅱ)创新性问题 ①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题,运用“老知识”解决新问题是关键. ②以新运算给出的发散型创新题,检验运算能力、数据处理能力. ③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题,要注意观察特征、寻找规律,充分运用特殊与一般的辩证关 系进行求解. 二.解题策略 类型一 实际应用问题 【例 1】 【北京市石景山区 2018 届第一学期期末】小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步,他从点 A 出发,沿 箭头方向经过点 B 跑到点 C ,共用时 30s ,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明 跑步的时间为 t ? s ? ,他与教练间的距离为 y ? m? ,表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示,则这个固 定位置可能是图 1 中的( ) A. 点 M 【答案】D B. 点 N C. 点 P D. 点 Q 【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意,然后将文字语言转化为数学符号语言,最后建立恰当的数学 模型求解.其中,函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型. 1 【举一反三】 【辽宁省沈阳市郊联体 2017-2018 上学期期末】2016 年 1 月 14 日,国防科工局宣布,嫦娥四 号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施,如图所示,假设“嫦娥四号”卫 星将沿地月转移轨道飞向月球后, 在月球附近一点 P 变轨进入月球球 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行, 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道 II 绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆 轨道 I 和 II 的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴长,给出下列式子: ① a1 ? c1 ? a2 ? c2 ② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ) ③ c1a2 ? a1c2 ④ c1 c2 ? a1 a2 其中正确的式子的序号是( A. ②③ 【答案】B B. ①④ C. ①③ D. ②④ 类型二 创新性问题 【例 2】 设 D 是函数 y=f(x)定义域内的一个区间,若存在 x0∈D,使得 f(x0)=-x0,则称 x0 是 f(x)的一个 5 2 “次不动点”,也称 f(x)在区间 D 上存在“次不动点”.若函数 f(x)=ax -3x-a+ 在区间[1,4]上存在 2 “次不动点”,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0] 1? ? C.?-∞, ? 2? ? ) ? 1? B.?0, ? ? 2? ?1 ? D.? ,+∞? 2 ? ? 2 【答案】C 5 5 2 2 【解析】由题意,方程 ax -3x-a+ =-x 在区间[1,4]上有解,显然 x≠1,所以方程 ax -3x-a+ =- 2 2 5 2x- 2 x 在区间(1,4]上有解,即求函数 a= 2 在区间(1,4]上的值域, x -1 令 t=4x-5,则 t∈(-1,11],a= 当 t∈(0,11]时,0<a= 8t ,当 t∈(-1,0]时,a≤0; t +10t+9 2 8 ≤ 9 t+ +10 2 8 t t× +10 t 9 1 = ,当且仅当 t=3 时取等号. 2 1? ? 综上,实数 a 的取值范围是?-∞, ?. 2? ? 【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的,但是考查的知识和能力并没有太大的变化,解决 创新性问题应注意三点:认真审题,确定目标;深刻理解题意;开阔思路,发散思维,运用观察、比较、 类比、猜想等进行合理推理,以便为逻辑思维定向.方向确定后,又需借助逻辑思维,进行严格推理论证, 这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略. 【例 3】定义:如果一个列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常,那么这个列叫作等差 列,这个常叫作等差列的公差.已知向量列{an}是以 a1=(1,3)为首项,公差为 d=(1,0)的等差向量列,若 向量 an 与非零向量 bn=(xn,xn+1)(n∈N )垂直,则 4 480 【答案】- 243 【解析】易知 an=(1,3)+(n-1,0)=(n,3),因为向量 an 与非零向量 bn=(xn,xn+1)(n∈N )垂直, 所以 * * x10 =________. x1 xn+1 n x10 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? =- ,所以 = · · · · · · · · = ?- ? × ?- ? × ?- ? × ?- ? × ?- ? xn 3 x1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? 4 480 ? 6? ? 7? ? 8? ? 9? ×?- ?×?- ?×?- ?×?- ?=- . 243 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? 【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此 新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解。对于此 题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求。但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识, 所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝。 【举一反三】 【2017·青岛一模】如果对定义在 R 上的函数 f(x),对任意两个不相等的实数 x1,x2

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