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北师大版选修2-1 第二章 空间向量与立体几何 复习与小结(1)


石泉中学复习课教案
科目:数学 教师: 授课时间:第 17 周 星期二 2016 年 12 月 20 日
单元(章节)课题 本节课题 北师大版选修 2-1 第二章空间向量与立体几何

空间向量与立体几何复习与小结(1)
1、掌握空间向量的概念、运算及其应用;

三维目标 2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法 提炼的课题 教学手段运用 教学资源选择 空间向量及其运算和空间向量的应用 探析归纳,讲练结合 教 知识梳理 (一) 、基本概念 1、共线向量定理:对于空间任意两个向量( b ? 0 ) , a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ? b . 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条 件是存在实数 t ,满足等式 OP ? OA ? ta ,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 在 l 上取 AB ? a ,则 OP ? OA ? t AB 或 OP ? (1 ? t )OA ? tOB .O 是空间任一点,A、B、C 三点共线的充要 条件是 OA ? xOB ? yOC ,其中 x + y = 1.特别地,当 t ? 线段 AB 的中点公式. 2、共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线,则向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数对 x、y,使 学 过 程

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??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 时,P 为 AB 的中点, OP ? (OA ? OB) 称为 2 2

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? ? ? ? p ? xa ? yb 。
推论:空间一点位于平面 MBA 内的充分必要条件是存在有序实数对(x,y) ,使 MA ? xMB ? yMC . 对于空间任一定点 O,有 OP ? OM ? xMA ? yMB .对于空间任一定点 O,P、M、A、B 四点共面的充分 必要条件是 OP ? xOM ? yOA ? zOB ,其中 x ? y ? z ? 1 。

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b、 c 不共面,那么对于空间任一向量 p ,存在唯一的有序实数组( x , y , z ) 3 、如果三个向量 a、 ,使

???

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? ? ? ? ? ??? ??? b、 c }叫做空间的一个基底, a、 b、 c 都叫做基向量。 p ? xa ? yb ? zc ,其中{ a、
推论:设 O 、 A 、 B 、 C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的有序实数组 x、y、z ,使

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC 。

4、空间向量的数量积: a ? b ? a ? b cos ? a, b ? 空间向量的数量积的性质:① a ? e ? a cos ? a, e ?

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② a ? b ? a ?b ? 0

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? 2 ? ? ?2 ③ a ? a?a ? a

? ? ? ? a ?b ④ cos ? a, b ?? ? ? a?b

空间向量的数量积的运算律:① (? a) ? b ? ? (a ? b) (结合律) ② a ? b ? b ? a (交换律) ③ a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律) 5、向量的直角坐标运算:设 a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) ,则

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? ? ? 2 2 a ? a ? a ? a12 ? a2 ? a3 ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ?? ?? ? ?? ? ? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R) ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 ??? ? 设 A( x1 , y1 , z1 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 )
??? ? AB ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

? ? cos ? a ? b ??
(二)基本方法

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 a12 ? a2 ? a3 ? b12 ? b22 ? b32

1、平面法向量的求法:设 n 是平面 ? 的一个法向量,其坐标为 ( x, y, z ) ,利用 n 与平面 ? 内的两个不共线 向量 a, b 垂直,其数量积为 0 列出两个关于 x、y、z 的三元一次方程组,取这个方程组的一组非零解即得平面

?

?

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? 的一个法向量 n 。
2、线面角的求法:设 n 是平面 ? 的一个法向量, AB 是平面 ? 的斜线 l 的一个方向向量,则直线 l 与平面 ?

?

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??? ?

??? ? ? AB ? n 所成角为 aec arc sin ??? ? ? AB ? n

3、二面角的求法:① AB、CD 分别是二面角 ? ? l ? ? 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小为

??? ? ??? ? ? AB, CD ? ;
?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ② 设 n1 , n2 分别是二面角 ? ? l ? ? 的两个面的法向量,则 ? n1 , n2 ?? arccos ?? ?? ? ,这就是二面角 n1 ? n2

? ? l ? ? (或其补角)的大小。

4、点、面距离的求法

??? ? ? ? AB ? n 设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的斜线段,则点 B 到平面 ? 的距离 d ? ? 。 n
课本 56 页 复习题 二 A 组 3,5,7 专家伴读 49 页—51 页

课后作 业布置 预习内 容布置


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