koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 高二数学 >>

数学人教B版必修5课件:2.3.2 等比数列的前n项和_图文

2.3.2 等比数列的前n项和
-1-

1.理解等比数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等比数列的前n项和公式,并能用它解决有关等比数列问 题.

1.等比数列的前n项和公式

已知量
选用 公式

首项、公比与项数

na1(q = 1)

Sn=

a

1

(1-q 1-q

n

)

(q



1)

首项、末项与公比
na1(q = 1) Sn= a1-an q (q ≠ 1)
1-q

名师点拨1.在求等比数列{an}的前n项和公式时,应分q=1和q≠1 两种情况,若题目中没有指明,切不可忘记对q=1这一情形的讨论.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量,即
a1,an,q,n,Sn,通常已知其中三个量可求另外两个量,这一方法简称为 “知三求二”.

【做一做1-1】 在等比数列{an}中,已知公比q=-2,S5=44,则a1的 值为( )

A.4 B.-4

C.2 D.-2

解析:由题意,知q≠1,故有S5=44=

1 (1- 5 ) 1-

.将q=-2代入解得a1=4.

答案:A

【做一做1-2】 若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比

q=

;前n项和Sn=

.

解析:根据等比数列的性质,得a3+a5=q(a2+a4),

所所以以qS=n=22.又(11--22a2)+=a24n=+a1-12q.+a1q3,故求得a1=2,

答案:2 2n+1-2

2.等比数列前n项和的常用性质

(1)在公比为q(q≠-1)的等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则依次 每k项的和构成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等比数列,其 公比为qk .

数(项2)之在和等为比S数偶列,则{a偶 奇n=}中q .,若项数为2n,公比为q,奇数项之和为S奇,偶 (3)数列{an}是公比为q的等比数列,则Sm+n=Sn+qn·Sm . 【做一做2】 已知等比数列{an},Sn是其前n项和,且S3=7,S6=63,则

S9=

.

答案:511

一二三
一、错位相减法的实质及应用 剖析:(1)用错位相减法求等比数列前n项和的实质是把等式两边 同 的“乘中公间比项q”,得,从一而新能的求等出式Sn,.错当位q=相1时减,求Sn出=nSan-1q,当Snq,这≠1样时可,S以n=消1去1--1大 量.这 是分段函数的形式,分段的界限是q=1. (2)对于形如{xnyn}的数列的和,其中数列{xn}为等差数列,数列{yn} 为等比数列,可以用错位相减法求和.错位相减法实际上是把一个 数列的求和问题转化为等比数列的求和问题. (3)利用这种方法时,要注意对公比的分类讨论.

一二三

二、等比数列的前n项和公式的推导(首项为a1,公比q≠1) 剖析:除了书上用到的错位相减法之外,还有以下方法可以求等

比数列的前n项和.

(1)等比性质法

∵2 = 3 = 4=…= =q,

∴112++23++234++……3++-1=q, -1




-1 -

=q,

解得

Sn=

1 - 1-



=

1(1- ).
1-

一二三

(2)拆项法

Sn=a1+a2+a3+…+an =a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 =a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2) =a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1-a1qn-1),
∴Sn=a1+q(Sn-a1qn-1)

=a1+q(Sn-an).

解得

Sn=

1 - 1-



=

1(1- ).
1-

一二三

三、教材中的“?”

例2有别的解法吗?将这个数列的前8项倒过来排,试一试.

剖析:∵S8=27+26+25+…+2+1,∴S8=1+2+22+…+26+27=

1 × (1-28) 1-2

=28-1=255.

此题说明在等比数列{an}中,若为有限项,如a1,a2,…,an,则an,an1,…,a2,a1也是等比数列,其公比为原数列公比的倒数.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

等比数列的前n项和公式的应用

【例1】 在等比数列{an}中, (1)已知a1=3,q=2,求a6,S6; (2)已知a1=-1,a4=64,求q和S4; (3)已知 a3=32,S3=92,求 a1,q.

分析:在等比数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,q,n,Sn,只 要已知任意三个,就可以求出其他两个.

解:(1)a6=a1q5=3×25=96.

S6=

1

(1- 1-

6

)

=

3×(1-26)=189.
1-2

(2)∵a4=a1q3,∴64=-q3.∴q=-4.

∴S4=

1 - 4 1-



=

-1-16-4(-×4()-4)=51.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

(3)由题意,得

3

=

1 2

=

3 2

,①

3

=

1 (1

+



+

2)

=

9 2

,



② ①,得1+

+
2

2
=3,

所以 2q2-q-1=0,所以 q=1 或 q=-1.
2
当 q=1 时,a1=32; 当 q=-12时,a1=6.

反思在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素;有 关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组来求解.解题 过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)灵活运用等比数列的有关性

质;(3)在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

【变式训练1】 在等比数列{an}中,

(1)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;

(2)若a1+a3=10,a4+a6=

5 4

,求a4和S5;

(3)若q=2,S4=1,求S8.

解:(1)由

Sn=

1

(1- 1-



),an=a1qn-1

以及已知条件得

189 = 1(1-2 ) ,
1-2
96 = 1·2-1,

∴a1·2n=192,

∴2n=1912.

∴189=a1(2n-1)=a1

192 1

-1

,

∴a1=3.



2n-1=

96=32,∴n=6.
3

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

(2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得

1 + 12 = 10,

13

+

1 5

=

5 4

,



1(1 + 2) = 13(1 + 2)

10,①

=

5 4

.②

∵a1≠0,1+q2≠0,∴由② ①,得

q3=1,
8

即 q=12,∴a1=8.

∴a4=a1q3=8×

1 2

3
=1,

S5=

1

(1- 1-

5

)

=



1-

1 2

1-12

5

= 31.
2

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

(3)方法一:设首项为 a1,

∵q=2,S4=1,

∴ 1 (1-24 )=1,

1-2

即 a1=115,

∴S8=

1

(1- 1-

8

)

=

1 15

(1-28 )
=17.
1-2

方法二:∵S4=

1

(1- 1-

4)=1,且

q=2,

∴S8=

1

(1- 1-

8

)

=

1 (1- 1-

4)(1+q4)=S4(1+q4)=1×(1+24)=17.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

等比数列前n项和性质的应用

【例2】 在各项均为正数的等比数列{an}中,若S10=10,S20=30,求

S30. 分析:可以利用解方程组解决,也可以利用等比数列的前n项和的

性质来解决.

10 = 1(1- 10) ,①

由已知条件可列出方程组

1-
30 = 1(1- 20) ,②

1-

由② ①,得 1+q10=3,所以 q10=2.

所以

S30=

1

(1- 1-

30

)

=1(1- 10 )(1+q10+q20)

1-

=10×(1+2+4)=70.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
方法二:由性质Sm+n=Sn+qn·Sm, 得S20=S10+q10S10, 即30=10+10q10,
所以q10=2.
所以S30=S20+q20S10=30+40=70. 方法三:运用性质Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等比数列. 因为S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,而S10=10,S20=30, 所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),
即(30-10)2=10×(S30-30).所以S30=70.
反思由于等比数列中,无论是通项公式还是前n项和公式,均与q的 若干次幂有关,所以在解决等比数列问题时,经常出现高次方程,为
达到降幂的目的,在解方程组时经常利用两式相除,达到整体消元
的目的.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

【变式训练2】 已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇

数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比q=

,

项数n=

.

解析:方法一:设该等比数列的公比为q,项数为2n,

则有S偶=q·S奇,

∴q=170=2.

85



S2n=S

偶+S



=

1

(1- 1-

2

)=85+170,

∴22n-1=255,

∴2n=8,
故这个数列的公比为2,项数为8.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

方法二:设该等比数列的公比为q,项数为2n,

则奇数项和偶数项也分别成等比数列,公比均为q2.



1

[1-( 2 1- 2

)

]=85,

1



[1-( 1- 2

2

)

]=170,

∴q=2,n=4,

∴这个数列的公比为2,项数为8.

答案:2 8

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

某些特殊数列的求和

【例3】 (1)已知数列{an}的通项公式an=2n+n,求该数列的前n项 和Sn;
(2)已知数列{an}的通项公式an=n·2n,求该数列的前n项和Sn. 分析:(1)所给数列虽然不是等差数列或等比数列,但在求该数列

的前n项和时可以把an看成一个等比数列和一个等差数列的和的形 式,分别求和,再相加.(2)写出数列的前n项和,注意其与等比数列形

式类似,考虑用推导等比数列求和公式的方法来求其前n项和.

解:(1)Sn=a1+a2+a3+…+an =(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n+n)

=(2+22+23+…+2n)+(1+2+3+…+n)

=2(11--22

)

+

(1+ 2

)

=2n+1-2+ ( +1) .

2

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
(2)∵Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n, 2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1, ∴-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1, ∴Sn=n·2n+1-(2+22+23+…+2n)
=n·2n+1-2(1-2 )
1-2
=n·2n+1-(2n+1-2)
=(n-1)·2n+1+2. 反思1.分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的 通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式. 2.错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成 的新数列的前n项和.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

【变式训练3】 已知Sn=1+a+a2+…+an,求Sn.

解: (1)当 a=0 时,Sn=1+0+0+…+0=1. (2)当 a=1 时,Sn=1 + 1 + … + 1=n+1.

(3)当 a≠0,1 时,

+1 个

Sn=1+a+a2+…+an=1-1a-na+1.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
等比数列前n项和的实际应用 【例4】 为了保护某处珍贵文物古迹,政府决定建一堵大理石护 墙,设计时,为了与周边景观协调,对于同种规格的大理石用量须按 下述法则计算:第一层用全部大理石的一半多一块,第二层用剩下 的一半多一块,依此类推,到第十层恰好将大理石用完.已知大理石 有偶数块,问共需大理石多少块?每层各用大理石多少块? 分析:设共用大理石的块数,即可列出各层大理石的使用块数,通 过观察,此为一等比数列,通过等比数列求和,求出总块数,再求出每 层用的块数.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

解:设共用大理石x块,x为偶数,则各层用大理石块数分别为

第一层:2 +1= +2 2;

第二层:-

+2
2 +1=

+2;

2

4

第三层:-

+2 2-

+2
4 +1=

+2;

2

8

……

第十层:-+2 2-+422-…-2+92+1=2+102.

所以从第一层到第十层所用大理石的块数构成首项为+2,

2

公比为1,项数为 10 的等比数列,

2



x= +2
2

+

+4 2+…+2+102,解得

x=2

046.

答:共用去大理石2 046块,各层分别为1

024,512,256,128,64,32,16,8,4,2块.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
反思对于实际问题,可以采用设出未知量的方法使之具体化.通过 对前几项的探求,寻找其为等比数列的本质,再通过等比数列求和 公式来求解.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

【变式训练4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行

生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,

以后每年的投入将比上年减少

1 5

,本年度当地旅游业收入估计为

400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后旅游业收入

每年会比上年增加

1 4

.设n年内(本年度为第1年)总投入Sn万元,旅游

业总收入为Tn万元,写出Sn,Tn的表达式.

分析:根据题意可知投入资金及收入资金分别成等比数列,列出

投入资金和收入资金的通项公式,再利用等比数列的求和公式求解.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

解:第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入 800× 1- 1 万元,…,第 n 年

5

投入 800×

1- 1
5

-1
万元.所以,n 年内的总投入 Sn=800+800×

1-

1 +…+800× 1- 1

-1
=4 000× 1-

4 .

5

5

5

第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400× 1 +

1

万元,…,第 n 年旅游业收入为 400×

1+1

-1
万元.所以,n 年内的

4

4

总收入 Tn=400+400×

1+1
4

+…+400×

1+1
4

-1
=1 600×

5


-1

.

4

综上所述,Sn=4 000× 1-

4 5



,Tn=1 600×

5 4


-1

.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

易错辨析 易错点:忽视对项数的分类讨论而致误

2 ,为奇数, 【例5】 已知数列{an}满足 an= ,为偶数, 试求其前n项和. 错解:Sn=a1+a2+a3+…+an

=(a1+a3+a5+…+an-1)+(a2+a4+a6+…+an)





=2(1-42 ) + ×2+2

2

-1

×2

1-4
=1·2n+1+

2
2

+



?

2
2.

3

4 23

错因分析:这里数列的通项an是关于n的分段函数,当n为奇数或为 偶数时对应不同的法则,因此求和时必须对项数n进行分类讨论.

题型一 题型二 题型三 题型四 题型五

正解:(1)当 n 为奇数时,

Sn=(a1+a3+a5+…+an)+(a2+a4+a6+…+an-1)

+1

-1

=2(1-4 2 ) + -1×2+ 2

2-1-1

×2

=13·21n-+42+4 2

2
? 1112.

2

(2)当 n 为偶数时,

Sn=(a1+a3+a5+…+an-1)+(a2+a4+a6+…+an)





=2(1-4 2 ) + ×2+2

2

-1

×2

=13·12-n4+1+4 22 +

2

?

2
2.
3

12345

1已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-

4 3

,则数列{an}的前10项和等于

()

A.-6(1-3-10) C.3(1-3-10)

B.

1 9

(1-310)

D.3(1+3-10)

解析:因为 3an+1+an=0?an+1=-13an,

所以数列{an}是以-13为公比的等比数列.

又 a2=-43,所以 a1=4.

所以

4
S10=

1- -13 1+13

10

=3(1-3-10).

答案:C

k·3 -1=2k·3 -1

12345

12345

3某人为了观看2018年世界杯,从2011年起,每年5月10日到银行存 入a元定期储蓄,若年利率为p,且保持不变,并约定每年到期存款均

自动转为新的一年定期,到2018年将所有的存款及利息全部取回,

则可取回的总钱数为( )元.

A.a(1+p)7

B.a(1+p)8

C. [(1+p)7-(1+p)]

D. [(1+p)8-(1+p)]

解析:2011年存入的a元到2018年所得的本息和为a(1+p)7,2012年存

入的a元到2018年所得的本息和为a(1+p)6,依此类推,则2017年存入

的a元到2018年的本息和为a(1+p),每年所得的本息和构成一个以

a(1+p)为首项,1+p为公比的等比数列,则到2018年取回的总额为

a(1+p)+a(1+p)2+…+a(1+p)7= (1+)[1-(1+)7] = [(1+p)8-(1+p)].

1-(1+)



答案:D

12345

4在等比数列{an}中,已知Sn=65,n=4,q=

2 3

,则a1=

.

解析:S4=1

(1- 1-

4

)

=

1

1-

2 3

1-23

4

=65,解得

a1=27.

答案:27

12345

5设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+.

(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn;

(2)已知{bn}是等差数列,Tn为其前n项和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求T20.

解:(1)由题设,知数列{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,故 an=3n-

1,Sn=11--33

=

1(3n-1).
2

(2)b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d,

则公差 d=5,

故 T20=20×3+20×219×5=1 010.

2.3.2 等比数列的前n项和 -34-


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com