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2010届高三第一轮复习课件--导数及其应用


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信 心 比 什 么 都 更 重 要 !

导数及其应用
y y=f(x) Q P O β △y △x M x

北大附中深圳南山分校 北大附中深圳南山分校 高三数学组 倪 杰
2011年7月23日星期六

一、本章的知识点: 1.网络体系总览 本章的知识点 网络体系总览 导数实 导数几何意义 导数定义 际背景 导函数 基本导数公式 导数运算法则 判断函数的 单调性 判断函数的 极大(小 值 极大 小)值 判断函数的 最大(小 值 最大 小)值

求简单函数的导数 导数的应用 每个人都已经具备了使自己 成功快乐的资源,无需外求。 成功快乐的资源,无需外求。

f(x 0 + ?x) ? f(x 0 ) ?y = lim ; 1.定义:f ′(x 0 ) = lim ?x →0 ?x ?x →0 ?x f(x + ?x) ? f(x) (导函数) 一般地:f ′(x) = lim ?x →0 ?x

(x (x) (x 注:f ′ 0 ) = f ′ |x=x0 ,但f ′ 0 ) ≠ [f(x0 ]′,

处的导数f' 的实质是“ 即:f(x)在x=x0处的导数 (x0)的实质是“函数增量与 在 的实质是 自变量增量比的极限 的极限” 自变量增量比的极限”,但在计算中取它的应用 含义: 是函数f(x)的导函数 的导函数f' 含义 f' (x0)是函数 的导函数 (x0)当x=x0时的函 是函数 当 数值. 数值
f(x 0 + ?x) ? f(x 0 ) ?y f ′(x 0 ) = lim = lim 的几种等价形式: 的几种等价形式 ?x →0 ?x ?x →0 ?x
f ′(x 0 ) = lim f(x) ? f(x 0 ) f(x 0 + h) ? f(x 0 ) f(x 0 ) ? f(x 0 ? h) . = lim = lim x →x0 h →0 h →0 x ? x0 h h

2.导数的几何意义: 导数的几何意义 导数的几何意义 y y=f(x) 是曲线y=f(x)上点 0,f(x0)处 上点(x 是曲线 上点 处 Q 的切线的斜率因此 如果y=f(x) 因此, 的切线的斜率因此,如果 在点x 可导,则曲线y=f(x)在点 在点 0可导,则曲线 在点 △y Pβ (x0,f(x0)处的切线方程为 处的切线方程为: 处的切线方程为 △x M y-f(x0)= f' (x0)(x-x0). x O 直线与曲线相切,并不一定只有一个公共点, 直线与曲线相切,并不一定只有一个公共点,当 曲线是二次曲线时,由解析几何知, 曲线是二次曲线时,由解析几何知,直线与曲线 相切,有且只有一个公共点,即切点. 相切,有且只有一个公共点,即切点 导数的物理意义 若物体运动方程是s=s(t),在点 物理意义:若物体运动方程是 导数的物理意义 若物体运动方程是 在点 P(t0,s(t0))处导数的意义是 0处的瞬时速度 处导数的意义是t=t 处导数的意义是 处的瞬时速度. 例如:如果质点 按规律s=2t3运动,则在 如果质点A按规律 运动,则在t=3 s时的 例如 如果质点 按规律 时的 ( C ) 瞬时速度为 A.6 B.18 C.54 D.81

3. 常见函数的导数公式 常见函数的导数公式: ①C'=0(C是常数 是常数), ②(xn)'=nxn-1(n∈R), 是常数 ③(sinx) ' =cosx, ④(cosx) '=-sinx, ⑤ (tanx) '= sec2x , ⑥ (cotx) '= -csc2x.
1 1 1 (log = log a e. 4.对数函数的导数 (lnx)' = ; a x)' = 对数函数的导数: 对数函数的导数 x ? lna x x
1 1 1 . 常用的结论: 常用的结论 ( )′ = ? 2 ; ( x)′ = x x 2 x

5.指数函数的导数 x)′=ex ,(ax)′=ax lna. 指数函数的导数:(e 指数函数的导数 6. 法则 ①[(f(x)±g(x)] ' =(f(x) ' ±g(x) ' ; ② [(f(x) g(x)] ' =(f(x) ' g(x) + (f(x) g(x) ' ; ① (u±v) '= u '±v';② y '=(uv)'=u 'v+u v';
f(x) f ′(x)g(x) ? f(x)g′(x) u u′v ? uv′ ]= (g(x) ≠ 0). ③ ( )′ = . ③[ 2 2 g(x) [g(x)] v v

7.函数单调性的概念 函数单调性的概念 定义:设函数 在区间(a,b)上有定义,如果对于 上有定义, 定义 设函数 f(x)在区间 在区间 上有定义 区间(a,b)内的任意两点 x1 , x2 ,满足 区间 内的任意两点 满足 ①当 x1 < x2 时,恒有 f(x1)≤ f(x2)(或 f(x1)<f(x2)), 当 或 在开区间(a,b)内单调递增 内单调递增. 则称函数 f(x)在开区间 在开区间 内单调递增 ②当 x1 < x2时,恒有 f(x1)≥ f(x2)(或 f(x1)>f(x2)), 当 或 在开区间(a,b)内单调递减 内单调递减. 则称函数 f(x)在开区间 在开区间 内单调递减 一般情况下, 一般情况下,单调增函数的图形是一条沿 x 轴 正向逐渐上升的曲线.单调减函数的图形是一条沿 单调减函数的图形是一条沿x 正向逐渐上升的曲线 单调减函数的图形是一条沿 轴正向逐渐下降的曲线. 轴正向逐渐下降的曲线 如果函数在其定义域内的某些子区间上是单 调增的,而另一些子区间上是单调减的, 调增的,而另一些子区间上是单调减的,则称函 数为分段单调函数. 数为分段单调函数

8. 函数的导数与函数的单调性的关系 函数的导数与函数的单调性的关系: 设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这 在某个区间内有导数, 设函数 个区间内y'>0,那么函数 个区间内 ,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 增函数;如果在这个区间内y'<0,那么函数 那么函数y=f(x) 增函数;如果在这个区间内 那么函数 在为这个区间内的减函数 . 9.求可导函数单调区间的一般步骤和方法 求可导函数单调区间的一般步骤和方法. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 确定函数f(x)的定义区间; 的定义区间; ①确定函数 的定义区间 ②求f' (x),令f' (x) =0,解此方程,求出它在定义 , ,解此方程, 区间内的一切实根; 区间内的一切实根; 把函数f(x)的间断点〔即包括 的无定义点〕 的间断点〔 的无定义点〕 ③把函数 的间断点 即包括f(x)的无定义点 的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列 起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若 起来,然后用这些点把函数 的定义区间分成若 干个小区间; 干个小区间;

在各小开区间内的符号, ④确定f' (x)在各小开区间内的符号,根据 '(x)的符 确定 在各小开区间内的符号 根据f 的符 号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性 在每个相应小开区间内的增减性. 号判定函数 在每个相应小开区间内的增减性 即令f 解不等式, 的范围就是递增区间 的范围就是递增区间. 即令 '(x)>0解不等式,得x的范围就是递增区间 解不等式 解不等式, 的范围就是递减区间 的范围就是递减区间. 令f '(x)<0解不等式,得x的范围就是递减区间 解不等式 10.极大值 一般地,设函数 极大值: 在点x 极大值 一般地,设函数f(x)在点 0附近有定义 在点 如果对x 附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),就 ,如果对 0附近的所有的点,都有 , 是函数f(x)的一个极大值 说f(x0)是函数 的一个极大值,记作 极大值 是函数 的一个极大值,记作y极大值 =f(x0),x0是极大值点 , 是极大值点. 11.极小值 一般地,设函数 在x0附近有定义,如 极小值:一般地 极小值 一般地,设函数f(x)在 附近有定义, 果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0). 就说f(x0) 果对 附近的所有的点,都有 就说 是函数f(x)的一个极小值,记作 极小值=f(x0),x0是 的一个极小值, 是函数 的一个极小值 记作y 极小值点. 极小值点

12.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点 极大值与极小值统称为极值, 注意以下几点: 极大值与极小值统称为极值 ①极值是一个局部概念,由定义极值只是某个点 极值是一个局部概念, 极值是一个局部概念 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最 小. ②函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上 或定义域内极大值或极小值可以不止一个. 或定义域内极大值或极小值可以不止一个. ③极大值与极小值之间无确定 的大小关系, 的大小关系,即一个函数的极大 值未必大于极小值,如图所示. 值未必大于极小值,如图所示
y 2 -1 1 O -2 x

④函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的 函数的极值点一定出现在区间的内部, 端点不能成为极值点而使函数取得最大值、 端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小 值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点

13.判别 0)是极大、极小值的方法 判别f(x 是极大 极小值的方法: 是极大、 判别 满足f 且在x 的导数异号, 若x0满足 '(x)=0,且在 0的两侧 的导数异号, 且在 的两侧f(x)的导数异号 的极值点, 是极值, 则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 '(x) 的极值点 是极值 并且如果f 两侧满足“左正右负” 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值 的极大值 点,f(x0)是极大值 是极大值. 是极大值 如果f 如果 '(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x) 在 两侧满足“左负右正” 的极小值点,f(x0)是极小值 的极小值点, 是极小值. 是极小值 我 14.求可导函数 的极值的步骤 求可导函数f(x)的极值的步骤 求可导函数 的极值的步骤: 能 行 ①确定函数的定义区间,求导数f '(x); 确定函数的定义区间,求导数 确定函数的定义区间 ②求方程 '(x)=0的根; 求方程f 的根; 求方程 的根 的点, 函数的导数 0的点, 的点 函数的定义区 区间, . f '(x)在方 间 若 小 区间,并 在方 程根左右的值的 号 ,

“左正右负”,那么函数y=f(x)在这个根处取得极 左正右负” 那么函数 左正右负 在这个根处取得极 大值; “左负右正”,那么函数y=f(x)在这个根 大值; 左负右正” 那么函数 在这个根 处取得极小值. 处取得极小值 如果左右不改变符号即都为正或都 为负, 在这个根处无极值. 为负,则f(x)在这个根处无极值 在这个根处无极值 15.函数的最大值和最小值 在闭区间 函数的最大值和最小值:在闭区间 函数的最大值和最小值 在闭区间[a,b]上连续 上连续 的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. 上必有最大值与最小值. 的函数 在 上必有最大值与最小值 ①在开区间 在开区间(a,b)内连续的函数 不一定有最大 内连续的函数f(x)不一定有最大 在开区间 内连续的函数 值与最小值. 值与最小值. ②函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出 函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. 的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的 ③函数 在闭区间 函数f(x)在闭区间 在闭区间[a,b]上连续,是f(x)在闭区间 上连续, 函数 上连续 在闭区间 [a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条 件.

④函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各 函数在其定义区间上的最大值、 函数在其定义区间上的最大值 有一个,而函数的极值可能不止一个, 有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没 有一个. 有一个 16.利用导数求函数的最值步骤 利用导数求函数的最值步骤: 利用导数求函数的最值步骤 ①求y=f(x)在(a,b)内的极值; 内的极值; 求 在 内的极值 ②将y=f(x)的各极值与 的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的 比较, 将 的各极值与 比较 一个为最大值,最小的一个为最小值.这样就得出 一个为最大值,最小的一个为最小值.这样就得出 函数y=f(x)在 [a,b]上的最值 上的最值. 函数 在 上的最值 ③若函数 若函数y=f(x)在[a,b]上单调增加,则f(a) 为函数 上单调增加, 若函数 在 上单调增加 的最小值, f(b)为函数的最大值 若函数f(a)在[a,b] 的最小值, 为函数的最大值;若函数 在 为函数的最大值 若函数 上单调递减,则 为函数的最大值 为函数的最大值, 上单调递减 则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的 为函数的 最小值. 最小值 我们把使导函数f 取值为0的点称为函数 我们把使导函数 '(x)取值为 的点称为函数 的驻 取值为 的点称为函数f(x)的驻 点 ,那么

①可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句 可导函数的极值点一定是它的驻点, 话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数 例如函数y=|x| 话中的“可导”两字是必不可少的 例如函数 在点x=0处有极小值 处有极小值f(0)=0,可是我们在前面已说 在点 处有极小值 可是我们在前面已说 明过, 根本不存在, 不是f(x)的驻 明过, f '(0)根本不存在,所以点 根本不存在 所以点x=0不是 的驻 不是 点. 可导函数的驻点可能是极值点, ②可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极 值点.例如函数 例如函数f(x)=x 的导数是f 在点x=0 值点.例如函数f(x)=x3的导数是f '(x) =3x2,在点x=0 处有f 的驻点,但从f(x) 处有 '(0) =0,即点 ,即点x=0是f(x)=x3的驻点,但从 是 上为增函数可知, 不是f(x)的极 在(-∞, +∞)上为增函数可知,点x=0不是 的极 上为增函数可知 不是 点击双基 值点. 值点 1.(2005年海淀区高三第一学期期末模拟 年海淀区高三第一学期期末模拟) 年海淀区高三第一学期期末模拟 函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数 C ) 在下面哪个区间内是增函数( 函数 在下面哪个区间内是增函数 π 3π 3π 5π , D. (2π,3π) A.( , ) B.(π,2π) C.( )
2 2
2 2

2.函数 函数y=1+3x-x3有 ( D ) 函数 A.极小值 极小值-2,极大值 B.极小值 极大值2 极小值-2,极大值 极大值3 极小值 极大值 极小值 极大值 C.极小值 极小值-1,极大值 D.极小值 极大值1 极小值-1,极大值 极大值3 极小值 极大值 极小值 极大值 解析:y'=3-3x2=3(1+x)(1-x). 解析 令y'=0得x1=-1,x2=1. 得 函数y=1+3x-x3是减函数 是减函数; 当x<-1时,y'<0, 函数 时 1 x 1时 y' 0 函数 函数y=1+3x-x 当-1<x<1时, y'>0,函数y=1+3x x3是增函 函数y=1+3x-x3是减函数 是减函数. 数;当x>1时,y'<0,函数 当 时 函数 ∴当x=-1时,函数 函数y=1+3x-x3有极小值 有极小值-1; 当 时 函数 函数y=1+3x-x3有极大值 有极大值3. 当x=1时,函数 时 函数 3.设f(x)在(a,b)内有定义 0∈(a,b),当x<x0时, 设 在 内有定义,x 当 内有定义 f '(x)>0,当x>x0时,f '(x)<0.则x0是 ( ) D 当 则
A.间断点 B.极小值点 C.极大值点 D.不一定是极值点 间断点 极小值点 极大值点 不一定是极值点

解析: 解析 f(x)在x0处不一定连续 在 处不一定连续.

4.若函数 若函数y'=f(x)在区间 在区间(a,b)有且只有一个驻点 0 , 有且只有一个驻点x 若函数 在区间 有且只有一个驻点 ( D ) 则f(x0) A.一定不是函数的最大值 一定不是函数的最小值 一定不是函数的最大值B.一定不是函数的最小值 一定不是函数的最大值 C.一定是函数的最小值 一定是函数的最小值 D.若是函数的极大值,则一定是函数的最大值 若是函数的极大值, 若是函数的极大值 5.“若函数 可导,则f(x)有驻点”是“f(x)有极大 若函数f(x)可导 有驻点” 若函数 可导, 有驻点 有极大 值的” 值的” B ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 充分非必要条件 必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 充要条件 既非充分又非必要条件 导数为0的点不一定是极值点 解:导数为 的点不一定是极值点,例如,对于函数 导数为 的点不一定是极值点,例如, f(x)=x3,x=0点处导数为 ,但它不是极值点 点处导数为0,但它不是极值点. 点处导数为 6.函数 函数y=x2(x-3)的减区间是 ( C) 函数 的减区间是 A.(-∞,0) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(-2,2)

7.已知 已知f(x)=(x-1)2+2,g(x)=x2-1,则f[g(x)] ( C ) 已知 则 A.在(-2,0)上递增 B.在(0,2)上递增 在 上递增 在 上递增 C.在(- 2 ,0)上递增 D.在(0, 2 )上递增 在 上递增 在 上递增 8.下列各组曲线中,在交点处切线互相垂直的一组 下列各组曲线中, 下列各组曲线中 ( C ) 曲线是 A.y=lnx与 y=0.5x2 B.y=sinx与y=cosx 与 与 1 2-y2=1与xy=4 3与y=1- C.x D.y=x 与 3x 9. 设f(x)、g(x)分别是定义在 上的奇函数和偶函数 分别是定义在R上的奇函数和偶函数 分别是定义在 ,当x<0时 f(x) 'g(x)+ f(x) g(x) '>0,且g(-3)=0,则 时 且 则 不等式f(x) g(x)<0的解集是 ( D ) 不等式 的解集是 A. (-3,0) ∪(3,+∞) B. (-3,0)∪ (0 , 3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D. (-∞,-3)∪(0,3 ) f(x) g(x) 是R上的奇函数且是增函数 又g(-3)=0 上的奇函数且是增函数,又 上的奇函数且是增函数 ,则不等式 则不等式f(x) g(x)<0的解集 的解集(-∞,-3)∪(0,3 ) 则不等式 的解集

10.设f(x)、g(x)是定义为 的恒大于零的可导函数 设 是定义为R的恒大于零的可导函数 是定义为 的恒大于零的可导函数, 则当a<x <b时有 ( C ) 且f(x) 'g(x)- f(x) g(x) '<0,则当 则当 时有 A. f(x) g(x)> f(b) g(b) B. f(x) g(a)> f(a) g(x) C. f(x) g(b)> f(b) g(x) D. f(x) g(x)> f(a) g(a)
f(x) 设F(x) = ,则F(x)在R上减函数, g(x) f(a) f(x) f(b) 则当a<x <b时有,g(a) > g(x) > g(b) , f(x) g(b)> f(b) g(x). 时有, 则当 时有 即
f(x) ]?< 0 解: 由f(x) 'g(x)- f(x) g(x) '<0 ? [ g(x)

k的取值范围是 的取值范围是 ( A ) A.[2,+∞) B. [1,+∞) C. (0.5,+∞) D. (e,+∞)
ln n kn ≤ ln ? ln k ≥ ln 2 ? k ≥ 2. 1+ n 1+ n

ln n kn 11.当n∈N+时,不等式 1+ n ≤ ln 1+ n 恒成立,则常数 当 恒成立,

12.已知 为R上的可导函数, = e 已知f(x)为 上的可导函数 y 上的可导函数, 已知 的图象如图 所示, 的递增区间是__________; f(x)的递 所示,则f(x)的递增区间是 (-∞,2) 的递增区间是 的递 减区间是__________ 减区间是 [2 ,+∞ ) . 解: 当x<2时,y≥1,即 时 , y f ?(x ) e ≥ 1 ? f ? ≥ 0. (x) 2 的单调递增. 则f(x)的单调递增 的单调递增 当x≥2时, f '(x)≤0, 时 1 x O 1 2 的单调递减. 则f(x)的单调递减 的单调递减 13.函数 函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象大致如图所示,则 的图象大致如图所示, 函数 的图象大致如图所示 2+ x 2等于 16 x1 解:由f(-1)=f(0)=f(2)=0,得 由 得 2 等于___. 9 y b=-1,c=-2,d=0, x2 则 f '(x)=3x2-2x-2 x 2x
f ?(x )

-1

1O

16 2 2 2+ x 2= . x 1 + x 2 = , x1 x 2 = ? , ∴x1 2 9 3 3

14.已知函数 已知函数y=xf '(x) 的图象如图 已知函数 所示,(其中 '(x)是f(x)的导函数 所示, 其中f 是 的导函数) 其中 的导函数 下面四个图象中, 下面四个图象中 y=f(x)的图象大 的图象大 ( C ) 致是 y y
y 4 2 -1 O 2 A x -1 O 1 2x -2 -1 O1 -1 C B

y
1 -1 O -1 1 x

4

y

x

-1 O 2 D

x

的图象可知, 解:由y=xf '(x) 的图象可知, 由 从而f 当-1<x<0时,xf '(x) >0,从而 ' (x)<0; 时 从而 从而f 当0<x<1时,xf '(x) <0,从而 ' (x)<0; 时 从而 因此, 内单调递减, 因此, f(x) 在(-1,1 )内单调递减,故选 内单调递减 故选C.

15.函数 函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数 函数 在下面哪个区间内是增函数 ( B ) 3π 5π π 3π A.( 2 ,2 ) B. (π,2π) C. ( 2 ,2 ) D.(2π,3π)
y

y′= x(-sinx)
3 -5 O

y′=cosx+ x(-sinx)-cosx = x(-sinx) y′>0, x(-sinx) >0
5 6 x

16.函数 函数y=xcosx-sinx在[0,2π]上的最大值是 函数 在 上的最大值是 ____;最小值是 π 最小值是____. 2π 最小值是

17.函数 函数f(x)=ex+e-x在(0,+∞)上的单调性是 函数 上的单调性是 增函数 ________. 解析: 解析 x >0,f '(x)=ex-e-x =e-x (e2x-1) >0 . 18.若函数 若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数 上的单调递增函数, 若函数 是 上的单调递增函数 1 的取值范围是_____. 则m的取值范围是 m > 的取值范围是 3 解析:f 解析 '(x)=3x2+2x+m.∵f(x)在R上是单调递增函数 在 是单调递增函数 ∴f ' (x)>0在R上恒成立,即 3x2+2x+m>0. 上恒成立, 在 上恒成立 1 由?=4-4×3m<0,得 m > 得 3 19.可导函数 可导函数y=f(x) 是具有下列 个性质 是具有下列3个性质 个性质: 可导函数 对于x∈R,都有 ①对于 ,都有f(1+x) =f(1-x); ② f '(1)=0; ③当x<1时, f '(x)<0;当x>1时, f '(x)>0. 时 当 时 请写出一个这样的函数__________. 请写出一个这样的函数 f(x)=(x-1)2

确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 的单调区间. 例1.确定函数 确定函数 的单调区间 该函数的定义域为(- (-∞ ),由于 解: 该函数的定义域为(-∞,∞),由于 f '(x)=6x2-18x+12-3=6(x-1) (x-2) ①当 x∈(-∞,1)时,有 f ′(x) > 0,所以,函数 f(x) 时 ,所以, 在这个区间内为严格单调增加. 在这个区间内为严格单调增加 所以, ②当 x∈(1,2)时,有 f ′(x) < 0,所以,函数 f(x)在 时 所以 在 该区间内为严格单调减少. 该区间内为严格单调减少 ③当 x∈(2,∞)时,有 f ′(x) > 0,所以,函数 f(x)在 时 所以, 在 所以 这个区间内为严格单调增加. 这个区间内为严格单调增加 函数的单调增区间和单调减区间统称为函数的单 调区间.显然 显然, 调区间 显然,x=1 和 x=2是函数 f(x)单调区间的分 是函数 单调区间的分 界点, 界点,且有 f ′(x) =0.

1 已知函数y=x + x ,试讨论出此函数的单调区间 试讨论出此函数的单调区间. 例2.已知函数 已知函数 试讨论出此函数的单调区间 1 x 2 ? 1 (x +1)(x ? 1) 1 解: y'= (x+ x )'=1- x 2 = 2 = x x2

(x +1)(x ? 1) > 0 ,解得 解得x>1或x<-1. 令 或 2 x 1 ∴y=x+ x 的单调增区间是 的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). 和 (x +1)(x ? 1) < 0 ,解得 解得-1< x<0或0<x<1. 令 或 2 x y 1 ∴y=x+ 的单调增区间 x

是(-1,0)和(0,1). 和
-1 0 1

2 -1 1 O -2

x

求函数y=x2(1-x)3的单调区间 的单调区间. 例3.求函数 求函数 解: y'=[x2(1-x)3]'=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 解得0<x<0.4, 令x(1-x)2(2-5x)>0,解得 解得 ∴y=x2(1-x)3的单调增区间是 的单调增区间是:(0,0.4). 令x(1-x)2(2-5x)<0,解得 ,解得x<0或x>0.4且x≠1. ∵x=1为拐点,∴y=x2(1-x)3的单调减区间是 为拐点, 的单调减区间是: 为拐点 (-∞,0),(0.4,+ ∞).
y

y=x2(1-x)3
O 0.4 1 x

求函数y=x3-4x2+3x+1的图象过横坐标为 和1 的图象过横坐标为0和 例4.求函数 求函数 的图象过横坐标为 的点处的切线间的夹角. 的点处的切线间的夹角 解: y' =( x3-4x2+3x+1)′=3x2-8x+3 y' |x=0=3,y′|x=1=3-8+3=-2 设x=0和x=1处的切线的倾斜角分别为 和 处的切线的倾斜角分别为α、β. 处的切线的倾斜角分别为 ∴tanα=3>1=tan45°,45°<α<90° tanβ= 2 90 <β<180 tanβ=-2,90°<β<180° tan(β-α)=
tanβ ? tanα ?2 ? 3 = = 1. 1+ tanβtanα 1+ (?2)?

∴β-α=450 (∵00<β-α<900) ∴切线间的夹角为 0 . 切线间的夹角为45 切线间的夹角为

k 2 ? k1 直接〗利用夹角公式 或〖直接〗利用夹角公式 tanα =| | 1+ k 2 ? k1

证明: 例5. 证明 1+ xln(x + 1+ x 2 ) > 1+ x 2 (x > 0). 证明:令 证明 令 f(x) = 1+ xln(x + 1+ x 2 ) ? 1+ x 2 .
f (x ) = ln (x +
'

1 + x ) > 0, > 0 ) (x
2

从而,当 x∈(0, ∞ )时,函数 f(x)为严格单调增加 从而, 时 为严格单调增加. 为严格单调增加 又由于f(0) = 0,∴ f(x)> f(0)=0,即不等式成立 即不等式成立. 又由于 ∴ 即不等式成立 证明方程sinx = x 只有一个实根 例6. 证明方程 证明:令 证明 令f(x)=sinx-x ,则f '(x)= =cosx-1≤0 , 且仅存在孤立点 x =2nπ时,有f ′(x)=0. 时 为严格单调递减, 从而当 x∈(-∞,∞)时,函数 f(x)为严格单调递减 时 为严格单调递减 又由于在 x→-∞ 时,f(x) →+∞,而在 x→+∞ 时 而在 f(x) →-∞,因此函数 有且仅有一个零点. ,因此函数f(x) 有且仅有一个零点 即证明了方程sin 只有一个实根, 即证明了方程 x=x只有一个实根 它就是 x=0. 只有一个实根

课堂练习: 课堂练习: 1.①函数 函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为 ( D ) 函数 是减函数的区间为 A.(2,+∞) B.(-∞,2) C .(-∞,0) D.(0,2) - , - , 函数f(x)=2x3-3x2 -12x +5在上的最大值和最小 ②函数 在上的最大值和最小 -15 值分别是_____;______. 值分别是 5 2.f(x)=ax3+3x2+2,若f ' (- 1)=4,则a的值为 ( D ) 若 则 的值为 D. 3.设y=8x2-lnx,则此函数在区间 则此函数在区间(0,0.25)和 设 则此函数在区间 和 (0.5,1)内分别为 ( C ) 内分别为 A.单调递增,单调递减 B.单调递增,单调递增 单调递增, 单调递增, 单调递增 单调递增 C.单调递减,单调递增 D.单调递减,单调递减 单调递减, 单调递减, 单调递减 单调递减 4.设y=tanx,则y' = (A) 设 则 1 1 A. sec2x B.secx·tanx C.1 + x 2 D. ? 1 + x 2
19 A. 3 16 B. 3 13 C. 3 10 3

5.曲线 曲线y=x3+x-2 在点 0处的切线平行于直线 在点P 曲线 ( B ) y=4x-1,则点 0点的坐标是 则点P 则点 A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4) 6.给出下列命题 给出下列命题: 给出下列命题 若函数f(x)=|x|,则f'(0)=0; ①若函数 则 若函数f(x)=2x2+1图象上 图象上P(1,3)及邻近上点 ②若函数 图象上 及邻近上点 ?y Q(1+?x,3+?y),则 ?x 则 =4+2?x 加速度是动点位移函数S(t)对时间 的导数; 对时间t的导数 ③加速度是动点位移函数 对时间 的导数; 1 cosx+lgx,则y′=-2cosx·sinx+ ④y=2 则 ,其中正确 x ( B ) 的命题有 A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 个 个 个 个 7.y=x2ex的单调递增区间是 (-∞,-2) (0,+ ∞) 的单调递增区间是_____________________.
π 8.函数 函数y=x+2cosx在区间 2 在区间[0, 函数 在区间

]上的最大值是 上的最大值是

π + 3. ______. 6

范围是_____. 范围是 b>0 解析:y′=-4x2+b,若y′值有正、有负,则b>0. 值有正、 解析 若 值有正 有负, 10.已知曲线 已知曲线y=x2-1与y=3-x3在x=x0处的切线互相 已知曲线 与 1 垂直, 垂直,则x0=____. 3 . 6 处曲线y=x2-1的切线斜率为 0,曲线 的切线斜率为2x 曲线 解:在x=x0处曲线 在 的切线斜率为 y=3-x3的切线斜率为 的切线斜率为-3x02. 1 ∵2x0·(-3x02)=-1,∴x0= 3 6 . 3-x+ 2 上移动,设点 处切线的 11.点P在曲线 在曲线y=x 上移动,设点P处切线的 点 在曲线 3 π 3π 倾斜角为α, 的范围为_______. [0, ) ∪ [ ,π) 倾斜角为 , 则α的范围为 的范围为 2 4 解:∵tanα=3x2-1,∴tanα∈[-1,+∞). π 当tanα∈[0,+∞)时,α∈ [0, ) 2, 时 3π ,π) . 当tanα∈[-1,0)时,α∈[ 4 时

4 3 9.若函数 若函数y=- 3 x +bx有三个单调区间,则b的取值 有三个单调区间, 的取值 若函数 有三个单调区间

12. 求函数 求函数f(x)=xlnx的单调区间 的单调区间. 的单调区间 函数的定义域为x>0, f '(x)=x' lnx+x(lnx)'=lnx+1. 解:函数的定义域为 函数的定义域为 当lnx+1>0时,解得 时 解得x>e,则f(x)的单增区间是 则 的单增区间是 (e-1,+∞) ; 当lnx+1<0时,解得 时 解得0<x< e-1,则f(x)的单减区间是 的单减区间是 (0, e-1). 13.判定函数 判定函数y=ex-x+1的单调区间 的单调区间. 判定函数 的单调区间 解: f '(x)= ex-1,当ex-1>0时,解得 x>0,则函数 当 时 则函数 的单增区间为(0,+∞) ;当ex-1<0时,解得 的单增区间为 当 时 解得x<0. 即函数的单减区间为(-∞,0). 即函数的单减区间为 14.讨论函数 y = 2x ? x 2 的单调性 1 ? x 的单调性. 讨论函数 函数的定义域为(0,2), y?= 解:函数的定义域为 函数的定义域为 2 则函数的单增区间为(0,1). 由y '>0得0<x<1,则函数的单增区间为 得 则函数的单增区间为 则函数的单减区间为(1,2). 由y '<0得1<x<2,则函数的单减区间为 得 则函数的单减区间为
2x ? x

15.设函数 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与 轴交点为 的图象与y轴交点为 设函数 的图象与 轴交点为P 且曲线在P点处的切线方程为 点处的切线方程为12x-y-4=0.若 点,且曲线在 点处的切线方程为 若 函数在x=2处取得极值 ,试确定函数的解析式 处取得极值0,试确定函数的解析式. 函数在 处取得极值 的图象与y轴的交点为 解:∵y=ax3+bx2+cx+d的图象与 轴的交点为 的图象与 轴的交点为P, ∴P的坐标为 的坐标为P(0,d). 的坐标为 又曲线在点P处的切线方程为 处的切线方程为y=12x-4,P点坐标 又曲线在点 处的切线方程为 点坐标 适合方程,从而d=-4. . 适合方程,从而d= 又切线斜率k=12,故在 处的导数y'| 又切线斜率 ,故在x=0处的导数 x=0=12, 处的导数 , 而y'=3ax2+2bx+c,y'|x=0=c,从而 c=12. 从而 又函数在x=2处取得极值 ,所以 处取得极值0,所以y'|x=2=0 , f(2)=0 又函数在 处取得极值 12a+4b+12=0 即 8a+4b+20=0 解得 a=2,b=-9. ∴所求函数解析式为y=2x3-9x2+12x-4. 所求函数解析式为

16.设f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值 ,试 设 处有极小值-1, 在 处有极小值 的值, 的单调区间. 求a、b的值,并求出 的单调区间 的值 并求出f(x)的单调区间 剖析:由已知 由已知x=1处有极小值 ,点(1,-1)在函 处有极小值-1, 剖析 由已知 处有极小值 在函 数f(x)上,得方程组解之可得 上 得方程组解之可得a、b. 2 解:
2-6ax+2b,由题意知 ? f(x)=3x 由题意知

? 1 ?a = 3 ?3 ? 6a +2b = 0 ? ?? 此时 ,f(x)=x3-x2-x. ? ?2 ? 3a +2b = 0 ?b = ? 1 ? ? 2 1 f(x)=3x2-2x-1=3(x+ )(x-1) 3 1 1 当f '(x)>0时,x>1或x<- ;当f '(x)<0时,- <x<1. 时 或 当 时 3 3 1 ∴函数 的单调增区间为 函数f(x)的单调增区间为 的单调增区间为(-∞,- 3)和 函数 和 1

?3×1 ? 6a ×1+2b = 0 ?3 2 ?1 ? 3a ×1 +2b ×1= ?1 ?

(1 ,∞),减区间为 减区间为(- 3 ,1). 减区间为

17.曲线 曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,求斜率最小的 的切线中, 曲线 的切线中 切线方程. 切线方程 解: y'|=3x2+6x+6=3(x+1)2+3,∴x=-1时,切线最 时 切线最 小斜率为3,此时 此时,y=(-1)3+3· (-1)2+6(-1)-10=-14. 小斜率为 此时 ∴切线方程为 切线方程为:y+14=3(x+1),即3x-y-11=0. 切线方程为 即 18.曲线 曲线y=x2+1上过点 的切线与曲线 上过点P的切线与曲线 曲线 上过点 的切线与曲线y=-2x2-1相 相 求点P的坐标 的坐标. 切,求点P的坐标. 由题意知曲线y=x2+1在P点的切线 解:设P(x0,y0),由题意知曲线 设 由题意知曲线 在 点的切线 斜率为k=2x0,切线方程为 切线方程为y=2x0x+1-x02, 斜率为 切线方程为 而此直线与曲线y=-2x2-1相切,∴切线与曲线只 而此直线与曲线 相切, 相切 有一个交点,即方程2x 有一个交点,即方程 2+2x0x+2-x02=0的判别式 的判别式 7 2-2×4×(2-x 2)=0. 解得 =± 2 3 ,y = ?=4x0 解得x0 0 0 3
2 7 2 7 . ∴P点的坐标为( 3, )或(- 3, ) 点的坐标为 3 3 3 3
3

1 19 已知函数 f(x) = lnx + x + ax ,(x>0, a为实常数 为实常数). 为实常数

①当a=0时,求f(x)的最小值; 当 的最小值; 时 的最小值 ②若f (x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围 上是单调函数, 的取值范围 的取值范围. 若 在 上是单调函数
x ?1 1 1 ax 2 + x ? 1 a=0时,′(x) = 2 时 f 解:(Ⅰ) f ′(x) = ? 2 + a = x x x x2

当0<x<1时,f '(x)<0,当x>1时, f '(x)>0, 时 当 时 ∴ f(x)min=f(1)=1 (Ⅱ)当a≥0时,ax2+x-1在[2,+∞)上恒大于零, 上恒大于零, 当 时 在 上恒大于零 即f '(x)> 0,符合要求 ,符合要求; a<0 时,令g(x) = ax2+x-1,g(x)在[2,+∞)上只 在 上只 能恒小于或等于零 ?1+ 4a > 0 故△=1+4a≤0 或
? 1 ? ?? ≤ 2 ? 2a ?g(2) ≤ 0 ?

1 ,解得 a ≤ ? 1 4 a ∈ (?∞, ] ∪ [0, ∞). ? + 4

思悟小结: 思悟小结 1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解 理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解 题的关键. 题的关键 2.非多项式函数要化成多项式函数求导 非多项式函数要化成多项式函数求导. 非多项式函数要化成多项式函数求导 3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在 要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在 不定点处切线问题时切点的设法. 不定点处切线问题时切点的设法


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