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高二数学等比数列前n项和5


等比数列的前n 等比数列的前n项和

无为襄安中学

谢业建

复习
1.等比数列的定义是什么? 等比数列的定义是什么?
an = q ( n ≥ 2) an 1

通项公式是什么? an = a1q n 1 通项公式是什么? 2.等比数列{ a n 的各项为: 等比数列{ }的各项为:

a1 , a1q , a1q , L , a1q

2

n 1

,L

思考
一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不 一个穷人到富人那里去借钱, 愿意,哪知富人一口答应了下来, 愿意,哪知富人一口答应了下来,但提出了如下 条件: 30天中 富人第一天借给穷人1万元, 天中, 条件:在30天中,富人第一天借给穷人1万元,第 二天借给穷人2万元, 二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上 一天多一万;但借钱第一天,穷人还1分钱, 一天多一万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二 天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍, 天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍, 30天后互不相欠 天后互不相欠. 30天后互不相欠. 穷人听后觉得挺划算,但怕上当受骗, 穷人听后觉得挺划算,但怕上当受骗,所以很 为难.请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意吧! 为难.请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意吧!

探究一
设穷人所借的钱共为S30 ,则
S30
(1 + 30) 30 × = 1 + 2 + 3 + L + 30 = =465(万元 =465(万元) 万元) 2
,则

若穷人所还的钱共为T 若穷人所还的钱共为T30
2 3

T30 = 1 + 2 + 2 + 2 + L + 2 + 2
28 2

29

2T30 + 2 +L 2 + 2 2T30 = 2 + 2 + 2 + 2 + L + 2 + 2 + 2
23 3
28

28 29

29 30

30

T30 = (2 1)分
30

探究二
如何求等比数列{ an}的前n项和Sn 的前n项和S 如何求等比数列{

S n = a1 + a1q + a1q + L + a1q
2

n 1

错位 相减

公式的应用
n

考虑欠周啊!
a1 (1 q n ) 1 q Sn = na 1 q ≠1 q =1

a1 (1 q ) Sn = (q ≠ 1) 1 q

求和: 求和:

1 1 1 1. 求等比数列1, , , , L 前10项的和. 2 4 8 an 2. = 5 + 5 + L + 5(100个5的和) S100

= a1q

n 1

注意:1.上面的公式中 注意:1.上面的公式中 q ≠ 1. n n 1 2.S n中含有的是q , 而an中是q .

公式的应用

a1 (1 q n ) Sn = 1 q na 1

q ≠1 q =1

3,判断正误:

1× (1 2 20 ) 1 + 2 + 2 2 + 23 + 2 4 + L + 2 20 = 1 2

注意: 注意: 公式S n中的n指的是求和的项数!
4, 等比数列{an }中, a1 = 6, q = 2, an = 192,

求前n项和S n .

知三求二

a1 (1 q n ) a1 qan q ≠1 = 1 q 1 q Sn = q =1 na1

试一试
对于 T30 = 1 + 2 + 2 2 + 23 + L + 2 28 + 2 29
= 1 + 2(1 + 2 + 2
29

2

+ 23 + L + 2 28 )

= 1 + 2(T30 2 )

T30 = 2 1
30

这种证法能否用来证明等比数列前n项和公式? 这种证法能否用来证明等比数列前n项和公式?

S n = a1 + a1q + L + a1q

n2

+ a1q

n 1

a1 (1 q n ) = 1 q

q ≠1

证明: 证明:

S n = a1 + a1q + a1q + L + a1q
2

n2

+ a1q

n 1

= a1 + q (a1 + a1q + a1q 2 + L + a1q n 2 )

∴ (1 q) S n = a1 a1q

= a1 + q( S n a1q

n 1

)
n

例题 五洲电扇厂去年实现利税300万 五洲电扇厂去年实现利税300万 300 计划在以后5 元,计划在以后5年每年比上年利税增 10%, %,问从今年起第五年的利税是 长10%,问从今年起第五年的利税是 多少? 年利税总和是多少?( ?(精确 多少?这5年利税总和是多少?(精确 到万元) 到万元)

机动练习
1 1 1 1 求和 : S n = 1 + 2 + 3 + L + ( n + n ) 2 4 8 2 1 1 1 1 = (1 + ) + (2 + ) + (3 + ) + L + (n + n ) 4 8 2 2
(1 n ) n(n + 1) 2 2 = + 1 2 1 2

1 1 1 1 = (1 + 2 + 3 + L + n) + ( + + + L + n ) 2 4 8 2 1 1

n(n + 1) 1 = n +1 2 2

小结
特殊等比数列求和
T30 = 1 + 2 + 2 2 + 23 + L + 2 28 + 2 29

错位相减法
一般情况下 等比数列求和
a1 (1 q n ) q ≠1 1 q Sn = na q =1 1

方程( 方程(组)思想 公式应用: 公式应用:知三求二

作业
1,书本30页: 第8题的偶数题; 第10题 2,探求:等比数列前n项和公式的其它证明方法.

谢谢大家! 谢谢大家!


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