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四川省绵阳市2018届高三第三次诊断性考试数学理试题原卷

绵阳市高中 2015 级第三次诊断性考试 数学(理工类)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1. 若复数 满足 A. 1 B. -1 C. , C. 3 D. 4 ( 是虚数单位) ,则 =( D. ,集合 ,则集合 的子集个数是( ) )

2. 已知集合 A. 1 B. 2

3. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量 (吨)与相应的生产能耗 (吨标准煤) 的几组对照数据,用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程 ,则 ( )

A. 0.25 4. 已知实数 A. 4

B. 0.35 满足 C. 6

C. 0.45 ,则 D. 7

D. 0.55 的最小值是( )

B. 5

5. 执行如图所示的程序框图,若输入

,则输出 的取值范围是( )

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A.

B.

C.

D.

6. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车,汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们 三人各买的什么品牌的车,丁说:“甲买的是奇瑞,乙买的不是奇瑞,丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对 了一个,则甲、乙所买汽车的品牌分别是( ) A. 吉利,奇瑞 7. 如图 1, 四棱锥 B. 吉利,传祺 中, C. 奇瑞,吉利 底面 , 底面 D. 奇瑞,传祺 是直角梯形, 是侧棱 上靠近点 的四等分点,

.该四棱锥的俯视图如图 2 所示,则

的大小是( )

A. 8. 在区间 A.

B.

C.

D. ”发生的概率是( )

上随机取一个实数 ,则事件“ B. C. D.

9. 双曲线

的离心率是 ,过右焦点 作渐近线 的垂线,垂足为 ,若

的面积

是 1,则双曲线 的实轴长是( ) A. B. C. 1 ,圆 ;② B. 1 中, C. 2 , D. 3 , , 点 是 内 (包括边界) 的一动点, 且 , ;③ D. 2 交于不同的 , , 两点,给出下列结论:

10. 已知圆 ① A. 0 11. 则 A.

.其中正确结论的个数是( )

的最大值是( ) B. C. D. ,总存在三个不同的实数 ,使得 成立,则实数 的取值

12. 对于任意的实数 范围是( )

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 14. 奇函数 的展开式中, 的系数是__________. 的图象关于点 对称, ,则 __________.

15. 已知圆锥的高为 3,侧面积为 16. 如图,在 中, ,

,若此圆锥内有一个体积为 的球,则 的最大值为__________. , 的垂直平分线 与 分别交于 两点,且 ,则

__________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若 的前 项和 满足: 的通项公式; ,数列 的前 项和为 ,试问当 为何值时, 最小?并求出最小值. .

18. 十九大提出,加快水污染防治,建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量 (单位:吨) 的历史统计数据,得到如下频率分布表:

将污水排放量落入各组的频率作为概率,并假设每年该河流的污水排放量相互独立. (Ⅰ)求在未来 3 年里,至多 1 年污水排放量 (Ⅱ)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下:当 损失为 10 万元;当 的概率; 时,没有影响;当 时,经济

时,经济损失为 60 万元.为减少损失,现有三种应对方案:

方案一:防治 350 吨的污水排放,每年需要防治费 3.8 万元; 方案二:防治 310 吨的污水排放,每年需要防治费 2 万元; 方案三:不采取措施.

试比较上述三种文案,哪种方案好,并请说明理由. 19. 如图,在五面体 中,棱 底面 , .底面 是菱形, .

(Ⅰ)求证: (Ⅱ)求二面角 20. 如图, 椭圆 为椭圆 上的动点,

; 的余弦值. 的左、 右焦点分别为 的面积的最大值为 1. , 轴, 直线 交 轴于 点, ,

(Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)过点 作两条直线与椭圆 分别交于 ,且使 轴,如图,问四边形 的两条对

角线的交点是否为定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由. 21. 已知函数 的两个极值点 满足 ,且 ,其中 为自然对数的底数.

(Ⅰ)求实数 的取值范围; (Ⅱ)求 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位. 曲线 的极坐标方程是 (Ⅰ)求曲线 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 与 轴正半轴及 轴正半轴交于点 ,在第一象限内曲线 上任取一点 ,求四边形 面 .

积的最大值. 23. 选修 4-5: 设函数 (Ⅰ)若 . 的最小值是 4,求 的值; ,总存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.

(Ⅱ)若对于任意的实数


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