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配套K12内蒙古包头市第四中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文

小学+初中+高中+努力=大学
包头四中 2018-2019 学年度第一学期期中考试 高二年级文科数学试题

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的。)

1. 已知 i 为虚数单位,则复数

()

A. 1

B.1 + i

C. i

D. i

2..用反证法证明命题“若,则 、 全为 0(

)”,其假设正确的( )

A.a、b 至少有一个为 0 B.a、b 至少有一个不为 0

C.a、b 全不为 0

D.a、b 只有一个为 0

3.总体有编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 6 个个体,

选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选

出来的第 6 个个体的编号为( )

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

A. 14 B. 07

C. 01

D. 04

4.一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行,则它在离三个顶点距离都大于 2 的区域

内的概率为 (

)

A.

B.

C.

D.

5.已知圆 C 过点 A(2, 0), B(0, 2 2) ,且圆心 C 在直线 y ? 0 上,则圆 C 的方程为( )

A . (x ?1)2 ? y2 ? 9

B . (x ? 2)2 ? y2 ? 16

C . (x ?1)2 ? y2 ? 9

D. (x ? 2)2 ? y2 ? 16 6 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示.为了解该地区中小学生近视 形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人 数分别为( ) A. 100,10 B. 200,10 C. 100,20 D. 200,20
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

7..执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为

()

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

8. 下列说法中正确的是

()

①两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数 r 的绝对值越接近于 1

②回归直线方程

必过点

③已知一个回归直线方程为

,则变量 x 每增加 1 个单位时,

平均增加 3 个单位

A. ③

B. ①③

C. ①②

D. ②③

9.在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说:“主要

责任在乙”;乙说:“丙应负主要责任”;丙说“甲说的对”;丁说:“反正我没有责任”,

四人中只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是( )

A.甲

B. 乙

C. 丙

D.丁

10. 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%,现部门通过设计模拟实验

的方法研究三天中恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,

用 1,2,3,4 表示下雨,其余 6 个数字表示不下雨:产生了 20 组随机数:

907

966

191

925

271

932

812

458

569

683

431

257

393

027

556

488

730

113

537

989

则这三天中恰有两天降雨的概率约为

(

A.20%

B.25%

C.30%

) D.40%

11. 已 知 点 P(x, y) 是 直 线 k x? y?4 ?0 ( k ? 0上 )一 动 点 , PA 是 圆

C : x2 ? y2 ? 2 y ? 0 的一条切线,A 为切点,若 PA 长度的最小值为 2 ,则 k 的值为( )

A.3

B. 21

C. 2

D.2

2

12. 曲线 y ? 4 ? x2 ?1(?2 ? x ? 2) 与直线 y ? kx ? 2k ? 4 有两个不同的交点时,实

数 k 的取值范围是 ( )

A. ( 5 , 3] 12 4

B. ( 5 , ??) 12

C. (1 , 3) 34

D. (??, 5 ) ? (3 , ??) 12 4

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)

13.有 100 件产品编号从 00 到 99,用系统抽样方法从中抽取 5 件产品进行检验,分组后每

组按照相同的间隔抽取产品,若第 5 组抽取的产品编号为 91,则第 2 组抽取的产品编号为

___________.

14.在空间直角坐标系 O-XY 中,若点 A(1,2,1),B(-3, -1,4),点 C 是点 A 关于 XOY 平面

的对称点,则

.

15.

观察下列式子:

1?

1 22

?

3, 2

1?

1 22

1 ? 32

?

5, 3

1?

1 22

1 ? 32

?

1 42

?

7 ,…,根据以 4

上式子可以猜想:

1

?

1 22

?

1 32

?

?

??

?

1 20182

? __________.

16.在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形

ABCD 的面积为

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分)

17.(本小题 12 分)茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书馆 A 学习

的次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书馆 B 学习的次数,乙组记录中有

一个数据模糊,无法确认,在图中以 x 表示.

(1)如果 x ? 6 ,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差;

(2)如果 x ? 7 ,从学习次数大于 7 的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰好分别在不

同组且这两名同学学习的次数之和不小于 20 的概率.

18.(本小题 12 分)已知圆 C:

,点 P(6,0).

(1)求过点 P 且与圆 C 相切的直线方程 l;

(2)若圆 M 与圆 C 外切,且与 x 轴切于点 P,求圆 M 的方程.

19.(本小题 12 分)为了鼓励市民节约用电,某市实行“阶梯式” 电价,将每户居民的月用电量分为二档,月用电量不超过 200 度的 部分按 0.5 元/度收费,超过 200 度的部分按 0.8 元/度收费.某小 区共有居民 1000 户,为了解居民的用电情况,通过抽样,获得了 今年 7 月份 100 户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的 频率分布直方图.
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
(1)求的值; (2)试估计该小区今年 7 月份用电费用不超过 260 元的户数; (3)估计 7 月份该市居民用户的平均用电费用(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表).

20.(本小题 12 分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大 气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院 随机的对入院 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表:

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计



5



10

合计

50

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; 下面的临界值表供参考:

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式

其中



21.(本小题 12 分)如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量( x 吨)与相应的生产能耗 y (吨)标准煤的几组对照数据:

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

(1)请根据表中提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y? ? b?x ? a? ;

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

(2)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤,试根据(1)求出的线性回归

方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?

?? (参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b? ?

x n
i?1 i

yi

? nxy



a? ? y ? b?x )

x n 2
i?1 i

?

nx

2

22.(本小题 12 分)如图,已知圆 C 与 y 轴相切于点T ?0, 2? ,与 x 轴的正半轴交于 M , N
两点(点 M 在点 N 的左侧),且 MN ? 3. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M 任作一条直线与圆 O : x2 ? y2 ? 4 相交于 A, B 两点,连接 AN , BN , 求证: kAN ? kBN 为定值.

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

一、选择题 1-5 C B D A C 二、填空题

高二年级文科数学试题答案 6-10 D B C A B 11 D 12 A

13.

31

14.

15.

4035

16.

2018

三、解答题 17.试题解析:(1)当 x=6 时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习次数是:6,7,8,11,

∴平均数为 x ? 6 ? 7 ? 8 ?11 ? 8 ,方差为 s2= 1 [(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(11-8)2]

4

4

=7 . 2
(2)甲组中学习次数大于 7 的同学有 3 名,记为 A1,A2,A3,他们去图书馆学习次数依次为 9, 11,12; 乙组中学习次数大于 7 的同学有 2 名,记为 B1,B2,他们去图书馆学习次数依次为 8,11; 从学习次数大于 7 的学生中选两名学生,所有可能的结果有 10 个,它们是: A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2 用事件 C 表示:“选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于 20”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它们是:A1B2,A2B2,A3B1,A3B2, 故根据古典概型,选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于

20 的概率为 P(C)= 4 ? 2 . 10 5

18.试题解析:(1)圆 C 化为标准方程是

故圆心坐标为 C(3,2)半径 .设切线的方程为





由点到直线的距离公式得

小学+初中+高中+努力=大学

解得

小学+初中+高中+努力=大学

所以



又 也是切线方程

所以切线的方程为



(2)





19. 详解:(1)





.

(2)当用电量为 400 度时,用电费用为

(元),

所以此 100 户居民中用电费用超过 260 元的户数为 所以此 100 户居民中用电费用不超过 260 元的户数为 90 户, 所以该小区 1000 户居民中用电费用不超过 260 元的户数为 900 户. (3)该市居民平均用电费用为

(户),

20. (1)补充列联表如下图:

(元).

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计



20

5

25



10

15

25

合计

30

20

50

(2)因为

,所以 K2≈8.333

又 P(k2≥7.789)=0.005=0.5%.那么,我们有 99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关

4

4

? ? 21. 解析:(1) X iYi ? 66.5 , X i2 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 86 , X ? 4.5 , Y ? 3.5 ,

i ?1

i ?1

b? ? 66.5 ? 4? 4.5?3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 ; a? ? Y ? b?X ? 3.5 ? 0.7? 4.5 ? 0.35 ,

86 ? 4? 4.5

86 ? 81

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
所求的回归方程为 y ? 0.7x ? 0.35. (2) x ?100 时, y ? 70.35 (吨),预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 70.35 ?19.65(吨).

22.【答案】(1)

? ??

x

?

5 ?2 2 ??

? ? y ? 2?2

?

25 4

(2)

k

AN

? kBN

?0

【解析】试题分析:(1)设圆的圆心为 ?m, 2? ,则半径为 m ,根据 MN ? 3,圆心 C 到

2

弦 MN 的距离为 2 ,得 m2

? d2

? ??
?

MN 2

? ? ?

? 4 ? 9 ? 25 ,求得 r ? m ? 5 ,从而可以写

44

2

出圆的标准方程;(2)直线 AB 的斜率为 0 时,易知 kAN ? kBN ? 0 即 kAN ? kBN ? 0 设直线

? ? AB: x ? 1? ty 将 x ? 1? ty 代入 x2 ? y2 ? 4 ? 0, ,并整理得 t2 ?1 y2 ? 2ty ? 3 ? 0 ,根据

韦达定理及斜率公式化简可得结果.

试题解析:(1)因为圆 C 与轴相切于点T ?0, 2? ,可设圆心的坐标为 ?m, 2??m ? 0? ,则圆C

的半径为 m

,又

MN

? 3 ,所以 m2

?

4

?

? ??

3 2

2
? ? ?

?

25 4

,解得 m ?

5 2

,所以圆的方程为

? ??

x

?

5 2

?2 ??

?

?

y

?

2?2

?

25 4

(2)由(1) M ?1,0?, N ?4,0?, 知,当直线 AB 的斜率为 0 时,易知 kAN ? k BN ? 0 即

kAN ? kBN ? 0

当直线 AB 的斜率不为 0 时,设直线 AB: x ? 1? ty 将 x ? 1? ty 代入 x2 ? y2 ? 4 ? 0, ,并整

2t

? ? 理得

t2 ?1

y2

?

2ty

?

3

?

0

,设

A?

x1,

y1

?

,

B

?

x2

,

y2

?

,所以

{

y1

? y1

y2 y2

? ?

? t2 ? ?3 t2 ?1

1



k AN

? kBN

?

y1 x1 ? 4

?

y2 x2 ? 4

?

y1 ? ty1 ? 3

y2 ty2 ? 3

?

2ty1 y2 ? 3? y1 ? y2 ? ?ty1 ? 3??ty2 ? 3?

?

?6t t2 ?1

?

t

6t 2?

1

?ty1 ? 3??ty2 ? 3?

?0

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
综上可得 kAN ? kBN ? 0 。
小学+初中+高中+努力=大学


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