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2008矩阵论试卷及答案


哈尔滨工程大学研究生试卷 ( 2008 年 秋 季学期) 课程编号: 30003 课程名称: 一.填空(每空 3 分,共 45 分)
T T

? 0 1 0 ?2 ? ? ? ? 1 0 ?2 0 ? ? 0 ?1 0 3 ? ? ? ?1 0 3 0 ? ? ? ?



矩阵论
T T

1.若 ?1 ? ?1, 2,1, 0? , ? 2 ? ? ?1,1,1,1? , ? 1 ? ? 2, ?1, 0,1? , ? 2 ? ?1, ?1, 3, 7 ? ,则

dim( span{?1 , ? 2 } ? span{ ? 1 , ? 2 }) ?

? 0.1 7.设 A ? ? ? 0.7

3 1

, 。

? 8 ? 3 0.3 ? k ? ,则 A ? ? 0.6 ? ? k 0 ? 14 ? ? ? 3
?

? 2? ? ? 6? ?



姓名:

dim( span{?1 , ? 2 } ? span{ ? 1 , ? 2 }) ?

2 2 8 .设有二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ? x 1 2 ? x 2 ? 5 x3 ? 2 ? x 1 x 2 ? 2 x 1 x 3 ? 4 x 2 x 3 ,则

?1 2 ? ? 1 1? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 0 ? 2.在 R 2?2 中,矩阵 ? ? ,? ? ,? ? ,? ? 在线性无关矩阵组 ? ? 下的 ? 3 4? ? 1 1? ? 0 1? ? 1 0 ? ? 1 1 ?
坐标为

(7, ? 2, ? 3, ? 1) 。
2 2

? 1 ? 其对应的 Hermite 矩阵 A ? ? ? ? ?1 ?

?
1 ?2

?1 ? ? ? 2 ? ,且若该二次型正定,则 ? 的 5 ? ?

装 订 线

3. 设 R 2?2 中的内积定义为 ( A, B ) ? ? ? aij bij ( A ? (aij )2?2 , B ? (bij )2?2 ) ,若取
i ?1 j ?1

取值范围为 ?

5 ? ? ? 0。 4
On?n
。 。

?1 1 ? A1 ? ? ?, ? 0 0?

? 0 1? A2 ? ? ?, ?1 1 ?

? 1 ? 1? A3 ? ? ? 则子空间 W ? L( A1 , A2 , A3 ) 的正交 ?1 0 ?

9.设对给定的常值矩阵 A ? R n?n , || A ||? 1, ,则 lim Am ?
m ??

补空间的一组基为

? 1 ? 1? A4 ? ? ? ? ?2 3 ?

10.已知 A ? C n?n ,且 A3 ? A ,则 A 的特征值为

0,1,-1

4.在欧氏空间 V n 中,满足条件 ( xi , xi ) ? i 的正交基 x1 , x2 ,? , xn 下的矩阵为

diag{1, 2,..., n} 。
?|| A ||1 ? ? ?2 i ? ? i ,则 , 1 ? 5.已知 A ? ? ? ?|| A ||m? ? ? ? 3 5? ? ? ?|| A ||m2 ?

学号:

6,10, 39



1 1 ? ? ? 1? k ? 1 0? 2k ? ? ,则 lim Ak ? ? 。 11.设 Ak ? ? ? k ?? ? 2k ? 1 (1 ? 1 )k ? ?2 e? ? ? k ? ? k?3 ? 3 ?1 0 ? ? ? 二. (10 分)已知矩阵 A ? ? ?1 2 ?1 ? ,求 A 的谱分解表达式。 ? 0 ?1 3 ? ? ?

6







? 1 ?2 ? A?? ? ? ?1 3 ?



? 0 1? B?? ? ? 1 0?





A? B ?

??3 1 0 解答: ? I ? A ? 1 ? ? 2 1 ? (? ? 1)(? ? 3)(? ? 4) 0 1 ? ?3 则 A 的特征值为 ?1 ? 1, ?2 ? 3, ?3 ? 4

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第2页 共4页

?1 ? ? ? 当 ?1 =1 时,由 ( ?1I-A)x=0 ,得 x ? C1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 其特征向量为 ? 1 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 当 ?2 =3 时,由 ( ?2 I-A)x=0 ,得 x ? C 2 ? 0 ? ? ?1 ? ? ?

?1 ? ? ? 其特征向量为 ? 2 ? ? 0 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 当 ?3 =4 时,由( ( ?3 I-A)x=0 ,得 x ? C 3 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 其特征向量为 ? 3 ? ? ?1 ? ?1 ? ? ? ?1 1 1 ? ? ? 于是 p ? ? ?? 1 , ? 2 , ? 3 ? ? ? ? 2 0 ?1 ? ? 1 ?1 1 ? ? ?
?1 ?6 ? 1 ?1 p ?? ?2 ? ?1 ?3 ? 1 3 0 ? 1 3 1 ? 6 ? ? 1? ? ? 2 ? 1 ? 3 ? ? 1 3 2 3 1 3 1? 6? ? 1? 3? ? 1? 6? ?
第3页 共4页

1? ? 1 0 ? ? ? ?1 ? 2 2 ? 1? ? ? ?? 1 E2 ? ? 0 ? ? , 0, ? ? ? ? 0 0 0 ? 2? ? ? ?? 2 1 1 ? ? ?1 ? 0 ?? ? 2 ? ? 2 1 1 ? ? 1 ? 3 ?3 3 ? ?1 ? ? ? 1? ? ?? 1 1 1 ? ? 1 1 E 3 ? ? ?1 ? ? , ? , ? ? ? ? 3 3 ? 3? 3 3 3 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ?1 1 ? ? 3 3 3 ? ? ? 则 A ? E1 ? 3 E 2 ? 4 E 3
三. (8 分)设 ? 是 C n?n 上的算子范数,

(1) 证明 I ? 1 ; (2) 设 A 为 n 阶可逆矩阵, ? 是 A 的特征值,证明 || A?1 ||?1 ?| ? |?|| A || 。 解答: || Ix || || x || (1) I ? max ? max ? 1。 x ? 0 || x || x ? 0 || x || (2) ?A ? C n?n , ? 为其特征值,存在 x ? 0 ,有 Ax ? ? x , 则 Ax ? A ? x ,所以 ? ? A ,
又由于 ? ?1 是 A?1 的特征值,同样有 ? ?1 ? A?1 ,此即 ?
A ?1
?1
?1

装 订

? A?1 ,故

线

? ? 。
?1

从而, A?1

? ? ? A 。
dtr ( BX ) 。 dX

四. (8 分)设 X ? ( xi j )n?n ? R n?n , B ? (bi j )n? n ? R n?n 为常值矩阵,求 解答: tr ( BX ) ? b11 x11 ? b12 x21 ? ? ? b1n xn1 由于

?1 ?6 ?1 ? ? ? ?? 1 1 1 ? ? 1 E1 ? ? 2 ? ? , , ? ? ? ?1 ?? 6 3 6 ? ? 3 ? ? ?1 ?6 ?

? b21 x12 ? b22 x22 ? ? bn1 x1n ?? ? bn1 x1n ? ? ? bnn xnn ?tr ( BX ) ? b ji , i ? 1, 2,? n, j ? 1, 2,? , n ?xij

所以

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于是

d ?tr ( BX ) tr ( BX ) ? ( ) ? (b ji )n?n ? BT 。 ?xij dx

解答: (1) ? I ? A ? ? ? ? 2 ?? ? ? 1? ,则矩阵 A 的特征值为 ?1 ? 2, ?2 ? ?3 ? 1 ,则其
2

五 . (10 分 ) 已 知 多 项 式 空 间 P2 [t ] 的 一 个 基 为 f1 ( t ) ? 1 ? t , f 3 ( t ) ? t ? 2t 2 ,

f 2 ( t ) ? 1 ? t ,线性变换 T 满足 Tf1 ( t ) ? 2 ? t , Tf 2 ( t ) ? t , Tf 3 ( t ) ? 1 ? t ? t ,
2 2 2

1.求 T 在已知基 f1 ( t ), f 2 ( t ), f 3 ( t ) 下的矩阵。 2.设 f ( t ) ? 1 ? 2t ? 3t 2 ,求 Tf ( t ) 。
解答:

? 2 0 0? ? ? 若当矩阵为 J ? ? 0 1 1 ? , ? 0 0 1? ? ? ?1 设可逆矩阵 P ? ? ? ,使得 A ? PJP ,即 AP=PJ,得 ??1 , ? 2 , ? 3 ? ? A?1 ? 2?1 ?(2 I ? A)?1 ? 0 ? ? 此即求解方程组 ?( I ? A)? 2 ? 0 ? A? 2 ? ? 2 ? A? ? ? ? ? ?( ? I ? A)? ? ? 2 3 3 2 ? 3 ? ? 0? ?1 ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? 则 ?1 ? 0 , ? 2 ? 2 , ? 3 ? 1 , ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?
因此

? 1 1 0? ? ? 1. ( f1 , f 2 , f 3 ) ? (1, t , t ) ? ?1 0 1 ? = 1, t , t 2 B1 。 ? 0 1 2? ? ? ? 2 0 1? ? ? (Tf1 , Tf 2 , Tf 3 ) ? (1, t , t 2 ) ? 0 1 1 ? ? 1 0 1? ? ?
2

姓名:

?

?

? (1, t , t ) B2
2

由此可得, (Tf1 , Tf 2 , Tf 3 ) ? ( f1 , f 2 , f 3 ) B1?1 B2 , 订 线

? ?2 ? ? ? ? ( f1 , f 2 , f 3 ) ? 3 ? ? 0? ? ? ? ?4 ? ? ?2 ? ? ? ? ? Tf ? ( f1 , f 2 , f 3 ) A ? 3 ? ? ( f1 , f 2 , f 3 ) ? 0 ? ? ?4 ? 3t ? 2t 2 。 ? ?1 ? ? 0? ? ? ? ? ? ?1 1 0 ? ? ? 六. (12 分)已知 A ? ? ?4 3 0 ? ,求 A 的若当标准型 J,且求相似变换矩阵 P ? 1 0 2? ? ?
使得 A ? PJP ?1 ,并计算 e
A

2.

? ? 1 ?2 ?2 ? ? ? 故 T 在已知基 f1 ( t ), f 2 ( t ), f 3 ( t ) 下的矩阵为 A ? B B2 ? ? 3 2 3?。 ? ? 1 ?1 ?1 ? ? ? ? 1? ? 1? 2 ? ? ?1 ? ? f ( t ) ? (1, t , t ) ? 2 ? ? ( f1 , f 2 , f 3 ) B1 ? 2 ? ? 3? ? 3? ? ? ? ?
?1 1

?0 1 0 ? ? ?1 1 1 ? ? ? ? ? p ? ? 0 2 1 ? , p ?1 ? ? 1 0 0 ? 。 ? 1 ? 1 ?1 ? ? ?2 1 0 ? ? ? ? ? (2)由(1)可知 0 0 ? ? ?1 1 1 ? ? 0 1 0 ? ? f (2) ? ?? ?? ? ?1 ' f ( A) ? pf ? J ? P ? ? 0 2 1 ? ? 0 f (1) f (1) ? ? 1 0 0 ? ? 1 ?1 ?1 ? ? 0 ? ? 0 f (1) ? ? ?? ? ? ?2 1 0 ? ? f (1) ? 2 f ' (1) f ' (1) 0 ? ? ? ' ?4 f (1) 2 f '(1) ? f (1) 0 ? =? ? f (1) ? f (2) ? 2 f ' (1) f (2) ? f (1) ? f ' (1) f (2) ? ? ?
当 f ( x ) ? e x 时, f (1) ? e , f (2) ? e 2 , f ' (1) ? e e 0? ? ?e ? ? A 3e 0? 故 e ? ? ?4e ? 3e ? e 2 e 2 ? 2e e 2 ? ? ?
八 . 设 A1 , A2 是 两 个 同 阶 非 零 的 复 方 阵 , C1 , C2 是 两 个 非 零 的 复 数 , 且



学号:

A12 ? A1 , A22 ? A2 , A1 A2 ? A2 A1 , A1 ? A2 。


第5页 共4页 第6页 共4页

?Is 0 0 0 ? ?0 0 0 0 ? ? I r 0 ? ?1 t ? ? P ?1 , 其 中 , ? P A P 1. 证 明 存 在 可 逆 阵 P 使 得 A1 ? P ? 2 ? ? ? 0 0 0 I 0 0 ? ? u ? ? ? 0 0 0 0v ? s ? t ? r , rankA1 ? r , rankA2 ? s ? u , I m , 0q 分别表示 m 阶单位阵和 q 阶零矩阵。
2. 证明 (C1 A1 ? C2 A2 ) ? C1 A1 ? C2 A2 当且仅当下列之一成立:
2

(i) C1 ? C2 ? 1 , A1 A2 ? 0 ; (ii) C1 ? 1, C2 ? ?1 , A1 A2 ? A2 ; (iii) C1 ? ?1, C2 ? 1 , A1 A2 ? A1 。

证明 A1 ? A1 ? A1 ? P 1?
2

? Ir ?0

0 ? ?1 ? B1 P 1? 1 , 设 A2 ? P ? 0? ? B3

B2 ? ?1 P 1 ,由 B4 ? ?

0 ? ?1 P 1 ,。 B4 ? ? ? I s 0 ? ?1 ?I 2 Q1 , B4 ? Q2 ? u 由 A2 ? A2 ? 存 在 可 逆 阵 Q1 , Q2 使 得 B1 ? Q1 ? ? ? 0 0t ? ?0 ?Q1 ? P?P 1? ? 即得证。 Q2 ? ?
由 A1 ? P ?

? B1 A1 A2 ? A2 A1 ? B2 ? 0, B3 ? 0 ,即 A2 ? P 1? ?0



0 ? ?1 Q2 , 则 令 0v ? ?



? Ir ?0

?Is ?0 0 ? ?1 P , A2 ? P ? ?0 0? ? ? ?0 0 C1 I t 0 0 0 0 C2 I u 0

0 0t 0 0

0 0 Iu 0

0? 0? ? P ?1 0? ? 0v ? 0 C I 0 0
2 1 t

线

(C1 A1 ? C2 A2 ) 2 ? C1 A1 ? C2 A2 ?

? (C1 ? C2 ) I s ? 0 ? ? 0 ? 0 ?

0 ? ?(C1 ? C2 ) 2 I s ? 0? 0 ??? 0? ? 0 ? ? 0v ? ? 0 ?

0 0 C2 2 I u 0

0? ? 0? 即可得证。 0? ? 0v ? ?

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