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2014-2015河南省八市重点高中高三联考数学试题及答案


数学(理科) ·答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 D 6 B 7 B 8 C 9 A 10 B 11 D 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 54 ? 121 ? 123 ? 125 ? 127 ? 129 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。 17. (本小题满分 10 分) 解:(1)由 f(﹣1)=﹣2 知,lgb﹣lga+1=0①,所以 ②. 14. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

15.

16.

5 3 2

又 f(x)≥2x 恒成立,f(x)﹣2x≥0 恒成立,则有 x2+x ? lga+lgb≥0 恒成立, 故△=(lga)2﹣4lgb≤0, ………………………………………………………………2 分 将①式代入上式得: (lgb)2﹣2lgb+1≤0,即(lgb﹣1)2≤0,………………………4 分 故 lgb=1 即 b=10,代入②得, a=100 ……………………………………………………5 分 (2)由(1)知 f(x)=x2+4x+1,则可得 f(x)<x+5,即 x2+4x+1<x+5, 所以 x2+3x﹣4< 0,…………………………………………………………………………7 分

解得﹣4<x<1, 因此不等式的解集为{x|﹣4<x<1}. 分 18. (本小题满分 12 分) 解: (1) 在△BCD 中, B= 解得 , BC=1, DC=

……………………………10

, 由正弦定理得到:



, ……………………………………………………………3 分

则∠BDC=

? 2? ? 或 .又由 DA=DC,则∠A= 或 3 3 6

? . 3

…………………………………6 分 (2)由于 B= 则 ,BC=1,△BCD 面积为 , ,解得

. …………………………………………………8 分 再由余弦定理得到 故 ,…………………………………………………………………………………10 分 又由 AB=AD+BD=CD+BD= .……………………………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (I)f′(x)=2(x﹣2) ,由 an?1 ? an ﹣ ,故边 AB 的长为 = ,

f ( an ) , f ?( an )

可得

, ,∴{an﹣2}是以 a1﹣2=1 为首项,公

比为 的等比数列, ……………………………………………3 分

n ?1 ∴ an ? 2 ? (a1 ? 2) ? ( ) , ∴

1 2

. ……………………………………………

5分 (Ⅱ)由题意 ,则 ……………7 分 令 ① ①× 得: ②

①﹣②得:

=

=2(1﹣

)﹣

,………10

分 即 ……12 分 20. (本小题满分 12 分) (1)证明:∵点 A1 在底面 ABC 的射影是线段 BC 的中点 O,∴A1O⊥面 ABC, 而 BC?面 ABC,∴A1O⊥BC,……………………………………………………………………… 1分 又∵AC=AB=5,线段 BC 的中点 O,∴BC⊥AO,∵A1O∩AO=O,……………………………3 分 ∴BC⊥面 A1OA,EO?面 A1OA,EO⊥BC,又∵OE⊥B1C,B1C∩BC=C, B1C?面 BB1C1C,BC?面 BB1C1C∴OE⊥面 BB1C1C;………………………………………… 5分 ,所以

(2)由(1)知,在 AOB 中, AO2 ? BO2 ? AB2 ,则 AO=4,
2 2 2 在 A1 AO 中, A ,则 AO ?4 3 1 A ? AO ? AO 1 1

分别以 OC、OA、OA1 为 x、y、z 轴建立空间坐标系, C(3,0,0) ,A1(0,0,4 ) , , ) ,

A(0,4,0) ,B(﹣3,0,0) ,∵ ∴B1(﹣3,﹣4,4 ) ,∵ ) , ) , =(0,﹣4,4 ,∴C1(3,﹣4,4

=(﹣3,0,4 =(﹣6,﹣4,4

) ,

设面 A1B1C 的法向量 m =(x,y,z) , 取 m =(1,﹣ , 分 设面 C1B1C 的法向量 = (x, y, z) ,



) ,……………………………………………………………………8

, 取 = (0,

, 1) , …………………

9分 cos ,……11 分

所以平面 A1B1C 与平面 B1C1 C 所成锐二面角的余弦值为

………………………12 分 21. (本小题满分 12 分)

解: (1) 依题意, 得 a=2,

, ∴c=

, b=

=1, 故椭圆 C 的方程为



3分 (2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1) ,N(x1,﹣y1) ,不妨设 y1>0.

由于点 M 在椭圆 C 上, 所以 4分 由已知 T(﹣2,0) ,则 ∴



(*) …………………………………

, =(x1+2)2﹣



= 由于﹣2<x1<2,故当 由 (*) 式, 6分 又点 M 在圆 T 上, 代入圆的方程得到 7分 , 故 时,

= 取得最小值为 .



, …………………………………………………………

. 故圆 T 的方程为:

. …

方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M(2cosθ,sinθ) ,N(2cosθ,﹣sinθ) ,…… 4分 不妨设 sinθ>0,由已知 T(﹣2,0) , 则 =(2cosθ+2)2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3

= 此时 ,

.故当

时,

取得最小值为



…………………………………………………………………………6 分 . 故圆 T 的方程为: . …

又点 M 在圆 T 上, 代入圆的方程得到 7分

(3)方法一:设 P(x0,y0) ,则直线 MP 的方程为:



令 y=0, 得

, 同理:



………………………………

9分 故 故 , ,又点 M 与点 P 在椭圆上, ,代入(**)式,得:

………

……11 分 所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值. ……………………………………………… 12 分 方法二:设 M(2cosθ,sinθ) ,N(2cosθ,﹣sinθ) , 不妨设 sinθ>0,P(2cosα,sinα) ,其中 sinα≠±sinθ. 则直线 MP 的方程为: ,

令 y=0,得 同理: 9分 故

, , …………………………… ………………



11 分 所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4 为定值.……12 分 22. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:因为 f′(x)=(2x﹣3)ex+(x2﹣3x+3)ex= ( x2 ? x)e x , 由 f′(x)>0?x>1 或 x<0,由 f′(x)<0?0<x<1, …………………………………2 分 ∴函数 f(x)在(﹣∞,0) , (1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减, ∵函数 f(x)在[﹣2,t]上为单调函数,∴﹣2<t≤0, ……………………………………4 分 (Ⅱ)证:因为

f ?( x0 ) f ?( x ) 2 2 ? x0 2 ? x0 ,∴ x0 0 ? (t ? 1) 2 ,即为 x02﹣x0= (t ? 1) 2 , x0 e e 3 3 2 2 令 g(x)=x2﹣x﹣ (t ? 1) , ………………………………………………………………… 3

5分

2 (t ? 1) 2 =0 在(﹣2,t)上 3 2 2 有解并讨论解的个数,因为 g(﹣2)=6﹣ (t ? 1)2 =﹣ (t ? 4)(t ? 2) , 3 3 2 2 1 g(t)=t(t﹣1)﹣ (t ?1) = (t ? 2)(t ? 1) ,………………………………………………7 3 3
从而问题转化为证明方程 g(x)= x2﹣x﹣ 分 1)当 t>4 或﹣2<t<1 时,g(﹣2)?g(t)<0, 此时 g(x)=0 在(﹣2,t)上有解,且只有一解, 2)当 1<t<4 时,g(﹣2)>0 且 g(t)>0,但由于 g(0)=﹣ ? 此时 g(x)=0 在(﹣2,t)上有解,且有两解,

4 (t ? 1) 2 <0, 3

3)当 t=1 时,g(x)=x2﹣x=0,解得 x=0 或 1(舍) , 此时 g(x)=0 在(﹣2,t)上有且只有一解, 4)当 t=4 时,g(x)=x2﹣x﹣6=0,解得 x=3 或-2(舍) 此时 g(x)=0 在(﹣2,t)上也有且只有一解,………………………………………… 11 分 综上所述,对于任意的 t>﹣2,总存在 x0∈(﹣2,t) ,满足

f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 , e x0 3

且当 t≥4 或﹣2<t≤1 时,有唯一的 x0 适合题意,当 1<t<4 时, 有两个 x0 适合题意.…………12 分


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