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选修1-1椭圆及其标准方程(公开课获奖课件)


引言
1、“圆锥曲线”名称的来 历
我们通常把圆、椭圆、抛物线、 双曲线统称为圆锥曲线。

2、生活中常见的圆锥曲线

数学实验 椭圆的画法
[1]取一条细绳, [2]把它的两端固定在板上 的两点F1、F2 [3]用铅笔尖(M)把细绳 拉紧,在板上慢慢移动观察 画出的图形 观察做图过程:
M F1 F2

[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。
[2]由于绳长固定,所以 M 到两个定点 的距离和也固定。

一、椭圆定义
F1

M

F2

|MF1|+|MF2|=2a > |F1F2|

平面内与两个定点F1,F2的距离之 和等于常数(大于 F F )的点的轨迹 1 2 叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦 点间的距离叫做椭圆的焦距.

概念辨析

当 MF1 ? MF2 ? F1F2 时,
M F1 F2

动点M的轨迹:线段F1F2 .
当 MF1 ? MF2 ? F1F2 时,

动点M的轨迹: 不存在.

概念辨析 用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6 的点的轨迹. 是 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4 的点的轨迹. 不是

(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3 的点的轨迹. 是

新知探究

(二)椭圆方程的推导
M

基本步骤:
(1)建系 (2)设动点坐标
F1

F2

(3)列等式 (4)代坐标
(5)化简方程、证明

二、椭圆方程的推导
建式 系 列 化 设 简 点

椭圆上的点M(x,y)属于集合 P={M︱|MF1|+ | MF2 |=2a}
y 则: ? x + c ? + y 2 + ? x - c ?2 + y 2 = 2a
2

M( x , y )

?

? x + c?
2

2

, 0? ?2c + ca , 0-? O ? x -F + y 2F= c2? y2 1? -2

x
2

? ? x + c ? + y 2 = 4a 2 - 4a
2

? x - c?

2

+ y2 ? ? x - c ? + y2

x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 轴,建立直角坐标系. |F1F2| ),则有 F1(-c,0)、F2(c,0) 2=2c(c>0y 2 x y 又设M与? F1,F2的距离之和等于 2a. ?1

以 2 F 2 2所在直线为 ? ?a - c21?、 x2 F +a y2 = a2 ?a2 - c2 ?

?设 a 2 -M cx ( =x a, c是椭圆上任意一点 ? xy- ) ? + y2

a

2

a ?c
2

2

二、椭圆方程的推导

x y ? 2 2 ?1 2 a a ?c
2 2

2

2

PF PO ? c, a - c 由椭圆的定义可知 2a 2?? 2c,即 a? 1 ? PF 2 ? a OF 1 ? ,OF
2 2 2 2 a -c 令b? ?a PO ? ?c ? 0

x y 那么原方程可化为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) y a b P
F1
o F2

2

2

x

你能从图中找出表示a ,c, a2 ? c2 的线段吗?

三、结论

x y ? ? 1 2 2 a b
其中,a ? b ? 0 .
它的焦点坐标在x轴上, 分别是F1 (?c,0), F2 (c,0)

2

2

这里:c

2

? a ?b
2

2

四、思考
y

如图, 如果焦点F1 , F2在y轴上, 且F1 , F2的坐标分别为 (0,?c), (0, c)a, b的意义同上, 那么 椭圆的方程是什么 ?

F2

o
M

x

F1

y

y x ? ? 1 2 2 a b
(a ? b ? 0)
这里:c
2

2

2

F2

o
M

x

F1

它的焦点坐标在y轴上, 分别是F1 (0,?c), F2 (0, c)

? a ?b
2

2

(1)椭圆的标准方程的结构有什么特 点?

观察 与 思考

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(2) 给出椭圆的标准方程后如何分辨 焦点所在的位置?
看分母的大小,焦点在分母大的那一项对 应的坐标轴上.

(3)三个字母a,b,c之间是什么关系?

c ? a ?b
2 2

2

牛刀小试
1.下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在哪条坐标轴? x2 y2 (1) ? ?1 16 16
x2 y2 ( 2) ? ?1 25 16

(3)9 x 2 ? 25y 2 ? 225 ? 0
x2 y2 (4) 2 ? 2 ? 1(m ? 0) m m ?1

牛刀小试

x2 y 2 2. 2 ? 2 ? 1,则a= 5 ,b= 3 , 5 3 8 焦点坐标为 , 焦距等于___. (-___________ 4 , 0)(4 , 0)
x y 3. ? ? 1 ,则a= 3 ,b= 2 , 4 9 2 5 (0, ? 5)、 (0, 5) , 焦距等于______. 焦点坐标为_____________
.

2

2

3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)a = 4 , b = 1, 焦点在x轴上.

(2)a = 4 , c = 15 ,焦点在y轴上. (3)a + b = 10 , c = 2 5 .

例1:已知椭圆的两个焦点坐标分别是 (-2,0),
5 3 (2,0), 并且经过点 ( ,? ) , 求它的标准方程. 2 2

解 : 因为椭圆的焦点在 x轴上,

x2 y2 所以设它的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b 由椭圆定义得: 2a ? ( 5 ? 2) 2 ? (? 3 ) 2 ? ( 5 ? 2) 2 ? (? 3 ) 2 ? 2 10
2 2 2 2

所以a ? 10
2 2 2 所以 b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 又因为c ? 2 x2 y2 ? ?1 因此, 所求椭圆的标准方程为 10 6

例2 如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P做x 轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时, 线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?

解 : 设点M的坐标为 ( x, y),点P的坐标为 ( x0 , y0 ), y0 则 : x ? x0 , y ? 可得 : x0 ? x, y0 ? 2 y ① 2 y 2 2 ?点 P( x0 , y0 )在圆x ? y ? 4上, 你能发现圆 P 和椭圆之间 2 2 ② ? x ? y ? 4 , 0 0 M 的关系吗 2 2 把①代入②得 : x ? 4 y ? 4, O D x 2 x 即 : ? y 2 ? 1, 4

所以点M的轨迹是一个椭圆.

例3 如图,设点A、B的坐标分别为(-5,0),(5,0) 4 直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ? y 9 求点M的轨迹方程. M 解 : 设点M的坐标为 ( x, y), 则直线AM的斜率为: B A

k AM

同理, 直线BM的斜率为: k BM

y ? ( x ? ?5) x?5

y y 4 由已知得 : ? ?? x ?5 x ?5 9 ( x ? ?5)

y ? ( x ? 5) x?5

x y 化简得: ? 100 ? 1 ( x ? ?5) 25 9

2

2

y

B2 M

焦点在 x轴上
焦点坐标
其中

x y ? 2 ?1 2 a b
F1 ? ?c,0?

2

2

A1

a bc c F F o
1

2

A2x

F2 ? c, 0?
y

B1

c 2 ? a 2 ? b2 (a ? b ? 0, c ? 0)

A2
B2
M

焦点在 y轴上
焦点坐标
其中

y x ? 2 ?1 2 a b
F1 ? 0, ?c ?
F2 ? 0, c ?

2

2

F2

B1

F1

o

x

c 2 ? a 2 ? b2 (a ? b ? 0, c ? 0)

A1

1、椭圆的定义(强调2a>|F1F2|)和椭圆的标 准方程 2、椭圆的标准方程有两种,注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法


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