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江苏省启东中学08-09学年高一下学期第一次月考(数学)


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江苏省启东中学 2008~2009 学年度第二学期第一次月考 高一数学试卷
考试时间:120 分钟 试卷满分:160 分 友情提醒:将所有答案填在答题纸中。 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分;要求答案为最简结果。 ) 1.已知数列 2 , 5 ,2 2 , 11,? ? ?, 则 2 5 是该数列的第 2.在 ? ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,则角 A= 3.已知等差数列{ a n }中, a 3 ? 30 , a 9 ? 90 ,则该数列的首项为 4.在 ? ABC 中,已知 B= 45 0 ,c= 2 2 ,b= 项

4 3 ,则 A 的值是 3

5.已知数列{an}满足 a1=2, an+1-an+1=0,则 an= 6.等差数列{an}中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a 4 ? 4 .记 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,则 S13 等 于 7.在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ? c cosC, 则△ABC 的形状是 8. 一个等差数列共有 10 项,其中奇数项的和为 25 ,偶数项的和为 15,则这个数列的第 6 项 2 是 9.在△ABC 中,已知 ?C ? 60 ? ,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,则 值等于 .

a b 的 ? b?c c?a

10.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是 11. 若等比数列的各项均为正数, n 项之和为 S , n 项之积为 P , n 项倒数之和为 M , 前 前 前 则下列关系成立的是

S ①P= M

S ②P> M

? S ? ③P ? ? ? ?M ?
2

n

? S ? ④ P >? ? ?M ?
2

n

12.若△ABC 的三边长分别是 3,7,9,则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三 角形的面积之比是 1: 13. 设数列{an}是首项为 50, 公差为 2 的等差数列; n}是首项为 10, {b 公差为 4 的等差数列, 以 ak、bk 为相邻两边的矩形内最大圆面积记为 Sk,则 Sk 等于

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14.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,令 Tn ?

S1 ? S2 ? ? ? Sn ,称 Tn 为数列 a1 , a2 ,??, n

,已知数列 a1 , a2 ,??, a500 的“理想数”为 2004,那么数列 2, a1 , an 的“理想数”

a2 ,??, a500 的“理想数”为
二、解答题: (本大题共 6 小题,第 15~16 题每小题 14 分,第 17~18 题每小题 16 分,第 19~20 题每小题 16 分,共 90 分;解答时需写出计算过程或证明步骤。 ) 15. (本小题满分 14 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和是 Sn= 2n2 ? 25n ,试求数列{|an|}的前 10 项的和。

16. (本小题满分 14 分) 设数列{an}前 n 的项和为 Sn,且 (3 ? m) S n ? 2ma n ? m ? 3(n ? N *). 其中 m 为常数,

m ? ?3且m ? 0
(1)求证:{an}是等比数列; (2)若数列{an}的公比满足 q=f(m)且 b1 ? a1 , bn ? 等差数列,并求 bn .

?1? 3 f (bn ?1 )(n ? N *, n ? 2), 求证 ? ? 为 2 ? bn ?

17. (本小题满分 15 分) 在 ?ABC 中, BC ? a, AC ? b ,且 a, b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,又
2

2 cos? A ? B ? ? 1 ,
(1)求角 C 的度数; (2)求 AB 的长; (3) ?ABC 的面积

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18. (本小题满分 15 分) 设数列 {a n }的前n项和为S n , a1 ? 10, a n ?1 ? 9S n ? 10. (1)求证: {lg a n } 是等差数列; (2)设 Tn 是数列{

3 1 }的前n项和, 求使Tn ? (m 2 ? 5m) 对所有的 (lg a n )(lg a n ?1 ) 4

n ? N * 都成立的最大正整数 m 的值.

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2a n ? ( ?1) , n ? 1 .
n

(1)写出数列 ?an ?的前三项 a1 , a 2 , a3 ; (2)求数列 ?an ?的通项公式;

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20. (本小题满分 16 分) 已知数列 {a n } 是由正数组成的等差数列, S n 是其前 n 项的和,并且 a3 ? 5, a 4 S 2 ? 28 . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求使不等式 (1 ? 实数 a ; (3)对每一个 k ? N * ,在 a k 与 a k ?1 之间插入 2 k ?1 个 2 ,得到新数列 {bn } ,设 Tn 是数 列 {bn } 的前 n 项和,试问是否存在正整数 m ,使 Tm ? 2008 ?若存在求出 m 的 值;若不存在,请说明理由.

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ? a 2n ? 1 对一切 n ? N * 均成立的最大 a1 a2 an

江苏省启东中学高一数学月考试卷答案 1、7 2、

2? 3

3、10

4、 15 0 或75 0

5、 -n+3

6、156

7、直角三角形

8、3 9、1 10、 15.86

8 ? d ? 3 11、 ③ 12、 3 3

13、 ?

?( 2k ? 3) 2 ? ( k ? 21) ? ?( k ? 24 ) 2 ? ( k ? 21) ?

14、2002

16.解(1)由 (3 ? m) Sn ? 2 man ? m ? 3 ,得

(3 ? m) Sn?1 ? 2man?1 ? m ? 3,
两式相减,得 (3 ? m)an ?1 ? 2man , (m ? ?3)

?

an ?1 2m ? , an m?3

?{an } 是等比数列.

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(2)由b1 ? a1 ? 1, q ? f (m) ? bn ?

2m , n ? N 且n ? 2时, m?3

3 3 2bn ?1 f (bn ?1 ) ? ? ,得 2 2 bn ?1 ? 3 1 1 1 ? ? . bn bn ?1 3

bnbn ?1 ? 3bn ? 3bn ?1 ?

1 1 ?{ }是1为首项 为公差的等差数列, bn 3 ? 1 n ?1 n ? 2 ? 1? ? , bn 3 3 3 . n?2
3 2

故有bn ?

17. (1) 120 0 ; (2) 10 ; (3)

18.解: (1)依题意, a 2 ? 9a1 ? 10 ? 100 , 故 当 n ? 2时, a n ? 9S n ?1 ? 10 又 a n ?1 ? 9S n ? 10 ②-①整理得:

a2 ? 10 ,??????????2 分 a1

① ②?????????????4 分

a n ?1 ? 10, 故{a n } 为等比数列, an

且 a n ? a1 q n ?1 ? 10 n ,? log a n ? n

? lg a n ?1 ? lg a n ? (n ? 1) ? n ? 1,即{lg a n }n ? N * 是等差数列.???????6 分
(2)由(1)知, Tn ? 3(

1 1 1 ????????????8 分 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 3 ??????????????10 分 ? ? ?? ? ? ) ? 3? 2 2 3 n n ?1 n ?1 3 3 1 ? Tn ? , 依题意有 ? (m 2 ? 5m), 解得 ? 1 ? m ? 6, 2 2 4 ? 3(1 ?
故所求最大正整数 m 的值为 5.????????????????????15 分 19.解:(1)为了计算前三项 a1 , a 2 , a3 的值,只要在递推式 S n ? 2a n ? ( ?1) , n ? 1 中,
n

对 n 取特殊值 n ? 1, 2,3 ,就可以消除解题目标与题设条件之间的差异.

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由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1, 得a1 ? 1; 由 a1 ? a2 ? S2 ? 2a2 ? (?1) 2 , 得a2 ? 0; 由 a1 ? a2 ? a3 ? S3 ? 2a3 ? (?1)3 , 得a3 ? 2. ???????????6 分 (2)为了求出通项公式,应先消除条件式中的 S n .事实上 当 n ? 2 时,有

a n ? S n ? S n ?1 ? 2(a n ? a n ?1 ) ? 2 ? (?1) n ,
即有 从而

a n ? 2a n ?1 ? 2 ? (?1) n ?1 , a n?1 ? 2a n?2 ? 2 ? (?1) n?2 , an ?2 ? 2an ?3 ? 2 ? (?1)n ?3 ,
??

a2 ? 2a1 ? 2.
接下来,逐步迭代就有 a n ? 2 n ?1 a1 ? 2 n ?1 ? (?1) ? 2 n ?2 ? (?1) 2 ? ? ? 2 ? (?1) n ?1

? 2 n ?1 ? (?1) n [( ?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
经验证 a1 也满足上式,故知 a n ?

2 n?2 [2 ? (?1) n?1 ], n ? 1. 3

其实,将关系式 an ? 2an ?1 ? 2 ? (?1) n ?1 和课本习题 an ? can ?1 ? d 作联系,容易想到: 这种差异的消除,只要对 an ? 2an ?1 ? 2 ? (?1) n ?1 的两边同除以 ( ?1) ,便得
n

an a 1 ? ?2 ? n?n?1 ? 2 . n (?1) (?1)
令 bn ?

an 2 2 , 就有 bn ? ?2bn ?1 ? 2 ,于是 bn ? ? ?2(bn ?1 ? ) , n (?1) 3 3
? ? 2? 3?
首项 b1 ? ?1 ,从而,得

这说明数列 ?bn ? ? 是等比数列,公比 q ? ?2,

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bn ?


2 2 1 ? (b1 ? ) ? (?2)n?1 ? (? ) ? (?2) n?1 , 3 3 3

an 2 1 2 ? ? (? ) ? (?2) n ?1 ,故有 an ? [2 n?2 ? (?1) n?1 ], n ? 1. n (?1) 3 3 3

20.解: (1)设 {a n } 的公差为 d ,由题意 d ? 0 ,且 ?

?a1 ? 2d ? 5 ?(a1 ? 3d )( 2a1 ? d ) ? 28

2分

a1 ? 1, d ? 2 ,
数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 2n ? 1 (2)由题意 a ? ??????4 分

1 (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ?(1 ? 1 ) 对 n ? N * 均成立 ?5 分 a1 a2 an 2n ? 1 1 (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ?(1 ? 1 ) 记 F ( n) ? a1 a2 an 2n ? 1 F (n ? 1) 2(n ? 1) 2(n ? 1) 2n ? 2 则 ? ? ? ?1 2 F ( n) (2n ? 1)( 2n ? 3) 4(n ? 1) ? 1 2(n ? 1) ? F ( n) ? 0 , ∴ F (n ? 1) ? F (n) ,∴ F (n) 随 n 增大而增大 ??8 分
∴ F (n) 的最小值为 F (1) ? ∴a ?

2 3 3
???????9 分

2 3 2 3 ,即 a 的最大值为 3 3 (3)? a n ? 2n ? 1
∴在数列 {bn } 中, a m 及其前面所有项之和为

[1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2m ? 1)] ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 m?1 ) ? m 2 ? 2 m ? 2 ?11 分 ?10 2 ? 210 ? 2 ? 1122 ? 2008 ? 112 ? 211 ? 2 ? 2156 ,即 a10 ? 2008 ? a11
又 a10 在数列 {bn } 中的项数为: 10 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 521
8

?

12 分 14 分

且 2008 ? 1122 ? 886 ? 443 ? 2 , 所以存在正整数 m ? 521 ? 443 ? 964 使得 S m ? 2008

??16 分

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