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中国石油大学 物理2-1 作业习题解答第9章习题解答


习题 9 9-3.一轻弹簧在 60N 的拉力下伸长 30cm。现把质量为 4kg 物体悬挂在该弹簧的下端,并 使之静止,再把物体向下拉 10cm,然后释放并开始计时。求:(1) 物体的振动方程;(2) 物 体在平衡位置上方 5cm 时弹簧对物体的拉力;(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起,到它 运动到上方 5cm 处所需要的最短时间。 [解] (1)取平衡位置为坐标原点,竖直向下为正方向,建立坐标系
k ? 60 30 ? 10 k m ?
?2

? 200 N/m 200 4

A ? 0 .1m

? ?

? 7 . 07 rad/s

设振动方程为
t ? 0时 x ? 0 .1

x ? cos ?7 . 07 t ? ? ?

0 .1 ? 0 .1 c o s ?
x ? 0 . 1 cos ?7 . 07 t ?m

? ?0

故振动方程为

(2)设此时弹簧对物体作用力为 F,则
F ? k ?? x ? ? k ? x 0 ? x ?

其中 因而有

x0 ?

mg k

?

40 200

? 0 .2 m

F ? 200 ? ?0 . 2 ? 0 . 05 ? ? 30 N

(3)设第一次越过平衡位置时刻为 t 1 ,则
0 ? 0 . 1 cos ?7 . 07 t 1 ? t 1 ? 0 . 5? 7 . 07

第一次运动到上方 5cm 处时刻为 t 2 ,则
? 0 . 05 ? 0 . 1 cos ?7 . 07 t 2 ? t 2 ? 2?

?3 ? 7 . 07 ?

故所需最短时间为:
? t ? t 2 ? t 1 ? 0 . 074 s

9-4.一质量为 M 的物体在光滑水平面上作谐振动,振幅 12cm,在距平衡位置 6cm 处, 速度为 24 cm?s-1,求:(1) 周期 T;(2) 速度为 12 cm?s-1 时的位移。 [解] (1) 设振动方程为 x ? A cos ?? t ? ? ?cm 以 A ? 12 cm 、 x ? 6 cm 、 v ? 24 cm ? s ? 1 代入,得:
6 ? 12 cos ?? t ? ?

? ?

24 ? ? 12 ? sin ?? t ? ?

利用 sin 2 ?? t ? ? ? ? cos 2 ?? t ? ? ? ? 1 则

? 6 ? ? ? ? 12 ?

2

? 24 ? ? ? ? ? ? 12 ? ?
T ? 2?

2

?1

解得

? ?

4 3

3

?

?

3 2

? ? 2 . 72 s

(2) 以 v ? 24 cm ? s ? 1 代入,得:
12 ? ? 12 ? sin ?? t ? ? ? ? ? 16 3 sin ?? t ? ?

?

解得: 所以

sin ?? t ? ?

?? ??

? ?

3 4

cos ?? t ? ?

13 4



? x ? 12 cos ?? t ? ? ? ? 12 ? ? ? ? ?

13 ? ? ? ? 10 . 8 cm 4 ? ?

9-5. 一谐振动的振动曲线如图 9-5 所示, 求振动方程。 [ 解 ] 设 振 动 方 程 为 :
10 0 -5 -10

x (cm)

x ? A cos ?? t ? ?

?
? ? 2? 3

根据振动曲线可画出旋转矢量图 由图可得:
??

2

t/ s

习题9-5图
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?t 2 ? ? 3
2 ? 5? 12
-A -A /2 ? ?
?

x

故振动方程为

2? ? ? 5? t x ? 10 cos ? ? ? cm 12 3 ? ?

9-6.一质点沿 x 轴作简谐振动,其角频率?=10 rad?s-1,试分别写出以下两种初始状态的 振动方程: 其初始位移 x0=7.5 cm, (1) 初始速度 v0=75.0 cm?s-1; 其初始位移 x0=7.5 cm, (2) -1 初速度 v0=?75.0cm?s 。 [解] 设振动方程为 (1) 由题意得:
x ? A cos ?10 t ? ? ?

7 . 5 ? A cos ? 75 ? ? 10 A sin ?

解得: ? ? ? ? 4 故振动方程为:

A=10.6cm

x ? 10 . 6 cos ?10 t ? ? 4 ?cm

(2) 同法可得:

x ? 10 . 6 cos ?10 t ? ? 4 ?cm

9-7.一轻弹簧在 60 N 的拉力作用下可伸长 30cm,现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它 上面放一小物体,它们的总质量为 4kg。待其静止后再把物体向下拉 10cm,然后释放。问: (1) 此小物体是停止在振动物体上面还是离开它;(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振 动物体分离,则振幅 A 需满足何条件?二者在何位置开始分离? [解] (1)小物体停止在振动物体上不分离。 (2) 设在平衡位置弹簧伸长 l 0 ,则 kl 0 ? Mg 又 故 当小物体与振动物体分离时
l0 ? k ? Mg k N l ? ? 60 0 .3 4 ? 9 .8 200 ? 0 . 196 m ? 200 N m

kA ? kl 0 ? ? Mg

? ,即

A ? l0 ,

故在平衡位置上方 0.196m 处开始分离。 9-8. 一木板在水平面上作简谐振动, 振幅是 12cm, 在距平衡位置 6cm 处, 速度是 24 cm?s-1。 如果一小物块置于振动木板上,由于静摩擦力的作用,小物块和木板一起运动(振动频率不 变),当木板运动到最大位移处时,物块正好开始在木板上滑动,问物块与木板之间的静摩 擦系数?是多大? [解] 设振动方程为 则: 以 x=6cm v=24cm/s 代入得:
6 ? 12 cos ?? t ? ? x ? 12 cos ?? t ? ?

?

v ? ? 12 ? sin ?? t ? ? ?

? ?

24 ? ? 12 ? sin ?? t ? ?

解得 最大位移处: a ? A ?
2

? ?

4 3

3

rad s

F ? ma ? mA ?

2

由题意,知

? mg ? mA ?

2

? ? A?

2

g ? 0 . 0653

9-9.两根倔强系数分别为 k1 和 k2 的轻弹簧串接后,上端固定,下端与质量为 m 的物体相 连结,组成振动系统。当物体被拉离平衡位置而释放时,物体是否作谐振动? 若作谐振动, 其周期是多少? 若将两弹簧并联,其周期是多少? [解] (1) 串接:物体处平衡位置时,两弹簧分别伸长 x 10 、 x 20

mg ? k 2 x 20 k 1 x 10 ? k 2 x 20

(1) (2)

取平衡位置为坐标原点,坐标向下为正,令物体位移为 x,两弹簧再次伸长 ? x 1 、 ? x 2 ,则
F ? mg ? k 2 ? x 20 ? ? x 2 ?

由(1)知 又

F ? ? k 2 ?x 2 k 1 ? x1 ? k 2 ? x 2 ? x1 ? ? x 2 ? x
k1 k1 ? k 2

(3) (4) (5)

由(4)、(5)得

?x2 ?

x

(6)

将(6) 代入(3)得 看作一个弹簧 所以

F ? ?

k1k 2 k1 ? k 2

x

F ? ? kx
k ? k1k 2 k1 ? k 2

因此物体做简谐振动,角频率
? ?
k m 2? ? k1k 2 m ?k 1 ? k 2

? ?

周期

T ?

?

? 2?

m ?k 1 ? k 2 k1k 2

(2) 并接:物体处于平衡位置时, mg ? k 1 x 0 ? k 2 x 0 取平衡位置为坐标原点,向下为正,令物体有位移 x 则
F ? mg ? k 1 x 1 ? k 2 x 2

(7)

k

k
1

2

式中 x 1 、 x 2 分别为两弹簧伸长
x1 ? x 0 ? x x2 ? x0 ? x

x

0

m

O

x

所以 将(7)代入得

F ? mg ? k 1 ? x 0 ? x ? ? k 2 ? x 0 ? x ? F ? ? ?k 1 ? k 2 ?x

看作一个弹簧 所以

F ? ? kx
k ? k1 ? k 2

因此该系统的运动是简谐振动。 其角频率
? ?
k m ? k1 ? k 2 m

因此周期

T ?

2?

?

? 2?

m k1 ? k 2

9-10.如图 9-10 所示,半径为 R 的圆环静止于刀口点 O 上,令其在自身平面内作微小的 摆动。(1) 求其振动的周期;(2) 求与其振动周期相等的单摆的长度。 [解] (1) 设圆环偏离角度为 ?
M ? ? Rmg sin ?
M ? J? ? J d ?
2

dt

2

J ? mR
d ?
2

2

? md

2

? 2 mR

2

2 mR

2

dt d ?
2

2

? ? Rm g sin ? ? Rm g ?

dt

2

?

g 2R

? ? 0

所作振动为简谐振动

? ?

g 2R

所以

T ? 2?

2R g

(2) 等效单摆周期为 T ? 2 ?

2R g

的摆长为 2 R 。

9-11.如图 9-11 所示,有一水平弹簧振子,弹簧的倔强系数 k=24N?m-1,重物的质量为 m=6kg,重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力 F ? 10 N 向左作用于物体(无摩擦),使之 由平衡位置向左运动了 0.05 m,此时撤去力 F。当重物运动到左方最大位置时开始计时,求 物体的振动方程。
K m F

[解] 以平衡位置为坐标原点,向右为正方向建立 坐标系, 设振幅为 A,由功能原理可得
O 习题 9-11 图

FS ? kA

2

2
1 2

因此

A ? ? 2 FS k ?

1 2

? ? 2 ? 10 ? 0 . 05 24 ?
1 2

? 0 . 204 m

? ? ?k m ?

? 2 rad s

又因物体运动到左边最大位移处开始计时,故初相为 ? 故得运动方程为

? x ? 0 . 2 0 4c o s 2 t ? ? ?m

9-12.两个同方向、同频率的谐振动,其合振动的振幅为 20cm,合振动与第一个谐振动 的相位差为 ? 。若第一个谐振动的振幅为 1 0
6
3

cm,求第二个谐振动的振幅及第一、二两谐振

动的相位差。 [解] 由题意可画出两简谐振动合成的矢量图,由图知
A2 ?
2 A1

? A

2

? 2 A 1 A cos

?
6

A
? 10 cm

2

A

易证

A1 ? A 2 ? A
?? ? ?

2

2

? ??

A

1

故第一、二两振动的相位差为

?
2

9-13.质量为 0.4kg 的质点同时参与两个互相垂直的振动
x ? 8.0 ? 10
?2

cos ? ? t 3 ? ? 6 ?

y ? 6.0 ? 10

?2

cos ? ? ? t 3 ? ? 3 ?

(S1)

求:(1) 质点的轨迹方程;(2) 质点在任一位置所受的作用力。 [解] (1) y 方向的振动可化为
y ? 6 . 0 ? 10
?2

sin ?? t 3 ? ? 6 ?

消去三角函数部分可得质点的轨迹方程为
x
2 2

?

y

2 2

?1

0 . 08

0 . 06
?2

(2) 由 可得 同理 因此

x ? 8 . 0 ? 10
a x ? ? 0 . 08 a y ? ? 0 . 06

cos ?? t 3 ? ? 6 ?

?
?

2

? c o s? t 3 ? ? 6 ?
cos ? ? ? t 3 ? ? 3 ?

9
2

9

F ? ma ? m a x i ? a y j

?

?

? ?

?

2

m [ 0 . 08 cos(

?
3

t ?

? ?

) i ? 0 . 06 cos( ?

?
3

t ?

?
6

) j ] ? ? 0 . 483 ? x i ? y j ?

9

9-14.一简谐波的周期 T ? 0.5s ,波长 ? ? 10 cm ,振幅 A ? 0.1m 。当 t ? 0 时刻,波源振动的位移 恰好为正方向的最大值。若坐标原点与波源重合,且波沿 Ox 轴正向传播;求:(1)此波的波 函数;(2)
t1 ?

T 4

时刻, x

1

?

?
4

处质点的位移;(3) t
1 T ? 2

2

?

T 2

时刻, x

1

?

?
4

处质点的振动速度。

[解] (1)由已知条件?

?

,可设波函数为:
x ) ? ? ] ? 0 . 1 cos[ 2 ? ( 2 t ? x / 10 ) ? ? ]

y ? A cos[ 2 ? (? t ?

?

由已知 t=0,x=0 时,y=0.1m 故 由此得 0 .1 ? 0 .1 c o s ?
? ?0

因而波函数为
y ? 0 . 1 cos[ 4? ( t ? x / 20 )] ( SI )

(2)

t1 ? T 4 , x1 ? ? 4

处:
y ? 0 . 1 cos 4? (1 / 8 ? 10 / 80 ) ? 0 . 1m

(3)

t2 ? T 2

, x 2 ? ? 4 处,振动速度为
v 2 ? ? 0 . 4? sin 4? ( t ? x / 20 )

? ? 0 . 4? sin 4? (1 / 4 ? 10 / 80 ) ? ? 1 . 26 m/s

9-15.一平面简谐波沿 Ox 轴正向传播,其振幅为 A, 频率为 f,波速为 u。设 t=t?时刻的波形曲线如图 9-15 所示。求:(1) x=0 处质点的振动方程;(2) 该波的波函 数。 [解] (1) 设 x=0 处该质点的振动方程为:
y ? A cos( 2?? t ? ? )

由 t ? t ? 时波形和波速方向知, v ? 0, x = 0 ;
t ? t' 时
2?? t ? ? ? ? ? 2
?



? ? ? 2?? t ? ? ? 2
2 ? ? t'+ ? y

所以 x=0 处的振动方程为:
y ? A cos[ 2?? ( t ? t ? ) ? ? / 2 ] ( SI )

(2) 该波的波函数为:
y ? A cos[ 2 ?? ( t ? t ? ? x / u ) ? ? / 2 ] ( SI )

9-16.根据如图 9-16 所示的平面简谐波在 t=0 时刻的波形图,试求:(1) 该波的波函数; (2) 点 P 处的振动方程。 [解] 由已知,得 u ? 0 . 08 m s , ? ? 0 . 4 m
T ? ? u ? 0 . 4 0 . 08 ? 5 s

(1) 设波函数为
y ? 0 . 04 cos[ 2? ( t / 5 ? x / 0 . 4 ) ? ? ]

当 t=0,x=0 时,由图知 x ? 0 , v ? 0 因此 则波函数为
y ? 0 . 04 cos[ 2? ( t / 5 ? x / 0 . 4 ) ? ? / 2 ] (SI)

? ? ?

?
2

(或 ?

?

3 2

? )

(2) 将 P 点坐标代入上式,得
y p ? 0 . 04 cos( 0 . 4? t ? 3? / 2 ) (SI)

?

y

?

9-17.一平面简谐波沿 Ox 轴正向传播,其振幅和角频率分别为 A 和 ? ,波速为 u,设 t=0 时的波形曲线如图 9-17 所示, 写出该波的波函数; 求距点 O 分别为 ? 和 3 ? 两处质点 (1) (2)
8 8

的振动方程;(3) 求距点 O 分别为 ? 和 3 ? 两处质点在 t=0 时的振动速度。
8 8

[解] (1)由图知 ?

?

?
2

,故 波函数

? ? x? ? ? y ? A cos ? ? ? t ? ? ? ? u ? 2? ? ?

(2)

x ?

?
8 3? 8



? ? ? y ? A cos ? ? t ? ? 4? ?
? ? ? y ? A cos ? ? t ? ? 4? ?

x ?



(3)

v ?

?y

? ? x? ? ? ? ? A ? sin ? ? ? t ? ? ? ? ?t u ? 2? ? ?

v1

t?0 x?

?
8

? 8 ? ? ? 2 ? ? ? A ? s i n? ? 2 ? ? A? ? ? ? A? s i n ? ? ? 2? 4 2 ?
3? 8 ? ? ? ? ? ? ? ? A ? sin ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? A ? sin ? ? ? 2? ? 4 ? ? 2 2

v1

t?0 3? x? 8

A?

y(m) 0.02 O P ? 20 Q ?

u=20m?s-1
2 A 2

y(m) 100m O ?P x(m)

40

x(m)

-A

习题 9-18 图

习题 9-19 图

9-18.如图 9-18 所示为一平面简谐波在 t ? 0 时 刻的波形图, 试画出点 P 处质点与点 Q 处质点的 振动曲线,然后写出相应的振动方程。 [ 解 ]
T ?

y (m )
0 .2 0

u ? 20 m s



? ? 40 m


0 1 2

t(s )

?
u

?

40 20

? 2s

P 处振动曲线 振动方程
? ? ? y P ? 0 . 20 c o s ? t ? ? ? 2 ? ?
0 .2 0

y (m )

(2) Q 处的振动曲线 振动方程 y Q ? 0 . 20 cos ?? t ? ? ?

0

1 /2

3 /2

5 /2

7 /2

t(s )

9-19.如图 9-19 所示为一平面简谐波在 t=0 时刻的波形图。设简谐波的频率为 250 Hz, 且此时质点 P 的运动方向向下,求:(1) 该波的波函数;(2) 在距点 O 为 1 0 0 m 处质点的振动 方程与振动速度表达式。 [解] (1) ? ? 250 Hz , ? ? 200 m ,又因 P 点运动方向向下,则波向左传播,设波函数 为
? ? x ? ? y ? A cos ? 2 ? ? 250 t ? ???? 200 ? ? ? ?

t=0,x=0 时

y ?

2 2

A ? Acos ?

,则 ?

? ?

?
4

因 v 0 ? 0 ,所以取 ?

?

?
4

(或由旋转矢量图知 ?
? ? x ? ? ? ?? ? 200 ? 4?

?

?
4



故波函数为 y ? A cos ? 2 ? ? 250 t ?
?

?

(2) x=100m 时,
? 5? ? 100 ? ? ? ? ? y ? A cos ? 2 ? ? 250 t ? ?? ? ? A cos ? 500 ? t ? ? 4 ? 200 ? 4? ? ? ?

v ?

?y

? x ? ? ? ? ? ? 500 ? A sin ? 2 ? ? 250 t ? ?? ? ?t 200 ? 4? ? ?

当 x=100m 时,
5? ? ? v ? ? 500 ? A sin ? 500 ? t ? ? 4 ? ?

9-20.如图 9-20 所示,两列波长均为?的相干简谐波 分别通过图中的点 O1 和 O2,通过点 O1 的简谐波在 M1M2 平面反射后,与通过点 O2 简谐波在点 P 相遇。 假定波在 M1M2 平面反射时有半波损失,O1 和 O2 两点 的振动方程分别为
O 1 m ? m P ? 8, O 2 P ? 3 ? ?
y 10 ? A cos ? t

M1 ? m O2 ? O1 ? P ?

M2



y 2 0 ? A co s ? t

,且

,求:(1) 两列波分别在点 P 引

习题 9-20 图

起的振动方程; 点 P 的合振动方程(假定波在传播过 (2) 程中无吸收)。 [解] (1) y 1P ? A cos ? ? t ?
? ? 2? x 1 ? ?? ? ?

?

2? ? 8 ? ? ? ? A cos ? ? t ? ? ? ? ? A cos ?? t ? ? ? ? ? 2? ? 3 ? ? ? y 2P ? A cos ? ? t ? ? ? A cos ? t ? ? ?

?

(2) y 合 ? y 1P ? y 2P ? A cos ?? t ? ? ? ? A cos ? t ? 0 9-21.如图 9-21 所示,两相干波源 S1 和 S2 之间的距离为 d=30m,且波沿 Ox 轴传播时不 衰减, 1=9m 和 x2=12m 处的两点是相邻的两个因干涉而 x 静止的点,求两波的波长和两波源间的最小相位差。 S1 S2 [解] 由题意得 ? ? 2 (12 ? 9 ) ? 6 m ? ?
?? ? ? 2 ? ?1 ? 2?

O
( r 2 ? r1 ) ? ( 2 k ? 1 )?

d 习题 9-21 图

x

?

对x ?9m处 所以 ? 2 因此

r2 ? r1 ? 12 m
2 ? ( r 2 ? r1 ) ? ( 2 k ? 1 )? ? 4 ? ( k ? 0 , ? 1, ? 2 ? )

? ? 1 ? ( 2 k ? 1 )? ?

?

(? 2 ? ? 1 ) min ? ? ?
? A cos

9-22. 在均匀介质中, 有两列余弦波沿 Ox 轴传播, 波函数分别为 y

1

x ? ? 2 ? ? ft ? ? ? ? ?

?? ?? ??



y 2 ? 2 A cos

x ?? ? ? 2 ? ? ft ? ?? ? ? ?? ? ?

,试求 Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置。

[解] 合振幅最大点满足的条件是
2? ?? t ? x ? ? ? 2? ?? t ? x ? ? ? ? 2 k ?

可得

x ? ?

1 2

k?

?k

? 0 ,1, 2 , ? ?

合振幅最小点满足的条件是
2? ?? t ? x ? ? ? 2? ?? t ? x ? ? ? ? ? 2 k ? 1 ??

可得

x ? ?

2k ? 1 4

?

?k

? 0 ,1, 2 , ? ?

9-23. 一汽笛发出频率为 1000Hz 的声波, 汽笛以 10 m ? s -1 的速率离开你而向着一悬崖运动, 空气中的声速为 330 m ? s -1 ,(1) 你听到直接从汽笛传来的声波的频率为多大;(2) 你听到从 悬崖反射回来的声波的频率是多大? [解] (1) ? 1 (2) ? 2
?? ?? u
0

u ? ?u u u ? ?u

? 1000 ? ? 1000 ?

330 330 ? 10 330 330 ? 10

? 970 Hz ? 1031 Hz

0


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