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2008高考福建数学文科试卷含详细解答(word版)


年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 文科) 数 学(文科)
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)若集合 A={x|x2-x<0},B={x|0<x<3},则 A∩B 等于 A.{x|0<x<1} B.{x|0<x<3} C.{x|1<x<3} D. ? 解:A={x|0<x<1}∴ A∩B={x|0<x<1} (2) “a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:若 x + y = 0与x ? ay = 0 互相垂直,则 x ? ay = 0 的斜率必定为 1, a = 1 ,反之显然 (3) :设 {an } 是等差数列,若 a2 = 3, a7 = 13 ,则数列 {an } 前 8 项的和为 A.128 B.80 C.64 D.56

解:因为 {an } 是等差数列,∴S 8 =

a 2 + a7 3 + 13 ×8 = × 8 = 64 2 2

(4)函数 f ( x ) = x 3 + sin x + 1( x ∈ R ) ,若 f ( a ) = 2 ,则 f ( ? a ) 的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2

解: f ( x ) ? 1 = x 3 + sin x 为奇函数,又 f ( a ) = 2 ∴ f ( a ) ? 1 = 1 , 故 f ( ? a ) ? 1 = ?1 即 f ( ? a ) = 0 . (5)某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 是 A.

12 125

B.

16 125

4 ,那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率 5 48 96 C. D. 125 125
2 1

4 48 2?4? ?1? 解:独立重复实验服从二项分布 B (3, ) , P ( X = 2) = C3 ? ? ? ? = 5 ? 5 ? ? 5 ? 125
(6)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=2,AA1=1,则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成 角的正弦值为

D1

C1

A.

2 2 3

B.

2 3

C.

2 4

D.

1 3

A1 D A

B1 C B

第 1 页

共 10 页

解:连 A1C1 ,则 ∠AC1 A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角
.

D1 A1 D B1

C1

AB = BC = 2 ? A1C1 = AC = 2 2 ,又 AA1 = 1
AA1 1 = AC1 3

C B

∴ AC1 = 3 ? sin ∠AC1 A1 =

A

(7)函数 y = cos x ( x ∈ R ) 的图象向左平移

π
2

个单位后,得到函数 y = g ( x ) 的图象,则

g ( x) 的解析式为
A. ? sin x 解: y = g ( x ) = cos( x + B. sin x

π

C. ? cos x

D. cos x

2

) = ? sin x
2 2 2

(8)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a + c ? b = 为 A.

3ac ,则角 B 的值 2π 3

π
6
2 2

B.

π
3

C.

π
6



5π 6

D.

π
3



(a 2 +c 2 -b 2 ) 3 解:由 a +c -b = 3ac 得 = 2ac 2
2

即 cos B =

3 π ,? B = 2 6

(9)某班级要从 4 名男士、 名女生中选派 4 人参加某次社区服务, 2 如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 解:6 人中选 4 人的方案 C6 = 15 种,没有女生的方案只有一种,
4

所以满足要求的方案总数有 14 种

? x ? y + 1 ≤ 0, y ? 则 的取值范围是 (10)若实数 x、y 满足 ? x > 0, x ? y ≤ 2, ?
A.(0,2) B.(0,2) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 解:由题设 y ≥ x + 1 ,所以 又

y 1 y ≥ 1 + ,又 0 < x ≤ y ? 1 ≤ 2 ? 1 = 1 ,因此 ≥ 2 x x x

y 可看做可行域中的点与原点构成直线的斜率,画出可行域也可得出答案。 x

(11)如果函数 y=f(x)的图象如右图,那么导函数 y=f(x)的图象可能是

第 2 页

共 10 页

解:由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案 A 满足. (12) 双曲线

x2 y2 ? =1 (a>0,b>0) 的两个焦点为 F1、 2, P 为其上一点, F 若 且|PF1|=2|PE2|, a2 b2
B. (1,3] C.(3,+ ∞ ) D. [3, +∞ )

则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)

当 解: 如图, PF2 = m ,∠F1 PF2 = θ (0 < θ ≤ π ) , P 在右顶点处 θ = π , 设

m 2 + (2m) 2 ? 4m 2 cos θ 2c e= = = 5 ? 4 cos θ 2a m
∵ ?1 < cos θ ≤ 1 ,∴ e ∈ (1,3] 另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前 者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定 a 与 c 的关系。

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (13) (x+

1 9 ) 展开式中 x2 的系数是 x
r 9?r

.(用数字作答)

解: C x

r 9

?1? 3 r 9?2 r ? ? = C9 x ,令 9 ? 2r = 3得r = 3 ,∴ C9 = 84 x? ?

(14)若直线 3 x + 4 y + m = 0 =0 与圆 x 2 + y 2 ? 2 x + 4 y + 4 = 0 没有公共点,则实数 m 的 取值范围是 .

解:圆心为 (1, ?2) ,要没有公共点,根据圆心到直线的距离大于半径可得

d=

3 × 1 + 2 × (?4) + m 32 + 42

> r = 1 ,即 m ? 5 > 5 , m ∈ ∞,0)(10,+∞) (U
.

(15)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 解:依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.

2r = 3 + 3 + 3 = 3 , S = 4π r 2 = 9π
(16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有 a+b、a-b、ab、 P(除数 b≠0)则称 P 是一个数域,例如有理数集 Q 是数域,有下列命题: ①数域必含有 0,1 两个数; ②整数集是数域;

a ∈ b

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共 10 页

③若有理数集 Q ? M,则 M 必为数域; ④数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上)

解:①数集 P 有两个元素 a, b , ,则一定有 a ? a = 0, ②整数集不是数域, 1 ∈ Z , 2 ∈ Z , 但是

a = 1 (设 a ≠ 0 ) ,正确; a

1 ?Z ; 2

③令数集 M = Q U { 2} ,则 1 + 2 ? M ④数域有 1,一定有 1+1=2,1+2=3,推下去必然包含整数集,因而为无限集。 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题: (本小题满分 (17) 本小题满分 12 分) ) ( 已知向量 m = (sin A, cos A), n = (1, ?2) ,且 m n = 0. (Ⅰ)求 tanA 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) = cos 2 x + tan A sin x ( x ∈ R)的值域. 解:本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元 二次函数的最值等基本知识,考查运算能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ)由题意得 m·n=sinA-2cosA=0, 因为 cosA≠0,所以 tanA=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 tanA=2 得

1 3 f ( x) = cos 2 x + 2sin x = 1 ? 2sin 2 x + 2 sin x = ?2(sin x ? ) 2 + . 2 2
因为 x ∈ R,所以 sin x ∈ [ ?1,1] . 当 sin x =

1 3 时,f(x)有最大值 , 2 2

当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3, 所以所求函数 f(x)的值域是 ? ?3, ? . 2

? ?

3? ?

(本小题满分 (18) 本小题满分 12 分) ) ( 三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为 , , , 且他们是否破译 出密码互不影响. (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率; (Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由. 解: 本小题考查概率的基本知识与分类思想, 考查运用数学知识分析问题、 解决问题的能力.. 记“第 i 个人破译出密码”为事件 A1(i=1,2,3),依题意有

1 1 1 5 4 3

1 1 1 P ( A1 ) = , P ( A2 ) = , P ( A3 ) = , 且 A1,A2,A3 相互独立. 5 4 .3
第 4 页 共 10 页

(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件 B,则有 B=A1·A2· A3 ·A1· A2 ·A3+ A1 ·A2·A3 且 A1·A2· A3 ,A1· A2 ·A3, A1 ·A2·A3 彼此互斥 于是 P(B)=P(A1·A2· A3 )+P(A1· A2 ·A3)+P( A1 ·A2·A3)

1 1 2 1 3 1 4 1 1 × × + × × + × × 5 4 3 5 4 3 5 4 3 3 . = 20 3 答:恰好二人破译出密码的概率为 . 20
= (Ⅱ)设“密码被破译”为事件 C, “密码未被破译”为事件 D. D= A1 · A2 · A3 ,且 A1 , A2 , A3 互相独立,则有 P(D)=P( A1 ) ·P( A2 ) ·P( A3 )= 而 P(C)=1-P(D)=

4 3 2 2 × × = . 5 4 3 5

3 ,故 P(C)>P(D). 5

答:密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. (本小题满分 (19) 本小题满分 12 分) ) ( 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯 形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 A 到平面 PCD 的距离. 解: 本小题主要考查直线与平面的位置关系、 异面直线所成角、 点到平面的距离等基本知识, 考查空间想象能力,逻辑思维能力和运算能力.. 解法一: (Ⅰ)证明:在△PAD 卡中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD. 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PO ? 平面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 BO,在直角梯形 ABCD 中,BC∥AD,AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形, 所以 OB∥DC. 由(Ⅰ)知 PO⊥OB,∠PBO 为锐角, 所以∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1,AO=1,所以 OB= 2 , 在 Rt△POA 中,因为 AP= 2 ,AO=1,所以 OP=1,
第 5 页 共 10 页

在 Rt△PBO 中,PB= OP + OB =
2 2

3,

cos∠PBO=

OB = PB

2 3

=

6 , 3
6 . 3

所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为

(Ⅲ)由(Ⅱ)得 CD=OB= 2 , 在 Rt△POC 中,PC= OC + OP =
2 2

2,

所以 PC=CD=DP,S△PCD= 又 S△=

3 3 ·2= . 4 2

1 AD ? AB = 1, 2

设点 A 到平面 PCD 的距离 h, 由 VP-ACD=VA-PCD, 得

1 1 S△ACD·OP= S△PCD·h, 3 3 1 1 3 ×1×1= × ×h, 3 3 2 2 3 . 3



解得 h=

解法二: (Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)以 O 为坐标原点, OC、 、 的方向分别 OD OP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A(0,-1,0) ,B(1,-1,0) ,C(1,0,0) , D(0,1,0) ,P(0,0,1). 所以 CD = ( ?1,1, 0) PB = (1, ?1, ?1) ,

uuu r

uuu r

uuu uuu r r uuu uuu r r PB ? CD ?1 ? 1 6 cos < PB, CD >= uuu uuu = =? , r r 3 3? 2 PB CD
所以异面直线 PB 与 CD 所成的角的余弦值为

6 , 3

, (Ⅲ)设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,x0)
第 6 页 共 10 页

由(Ⅱ)知 CP =(-1,0,1) CD =(-1,1,0) , , 则 n· CP =0,所以 n· CD =0, -x0+ x0=0, -x0+ y0=0,

即 x0=y0=x0, 取 x0=1,得平面的一个法向量为 n=(1,1,1). 又 AC =(1,1,0).

从而点 A 到平面 PCD 的距离 d=

AC ? n n

=

2 3

=

2 3 . 3

(本小题满分 (20) 本小题满分 12 分) ) ( 已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an , an +1 ) ∈ N*)在函数 y=x2+1 的图象上. (n (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若列数{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+ 2 n ,求证:bn ·bn+2<b2n+1. 解:本小题考查等差数列、等比数列等基本知识,考查转化与化归思想,推理与运算能力. 解法一: (Ⅰ)由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1,又 a1=1, 所以数列{an}是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列. 故 an=1+(a-1)×1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:an=n 从而 bn+1-bn=2n. · bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+··+(b2-b1)+b1 =2n-1+2n-2+··+2+1 · =
a

1 ? 2n n =2 -1. 1? 2
2

因为 bn·bn+2-b n +1 =(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2 =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1) =-5·2n+4·2n =-2n<0, 所以 bn·bn+2<b n +1 , 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 b2=1, bn·bn+2- b n +1 =(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b n +1 =2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
第 7 页 共 10 页
2 2 2

=2n(bn+1-2n+1) =2n(bn+2n-2n+1) =2n(bn-2n) =… =2n(b1-2) =-2n〈0, 所以 bn-bn+2<b2n+1 (21)(本小题满分 12 分) ( ,且函数 g ( x ) = f ′( x ) + 6 x 的图象 已知函数 f ( x) = x + mx + nx ? 2 的图象过点(-1,-6)
3 2

关于 y 轴对称. (Ⅰ)求 m、n 的值及函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a>0,求函数 y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. 解: (21)本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识,考查 运用导数研究函数性质的方法,以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问 题和解决问题的能力.满分 12 分. 解: (1)由函数 f(x)图象过点(-1,-6) ,得 m-n=-3, ……① 3 2 2 由 f(x)=x +mx +nx-2,得 f′(x)=3x +2mx+n, 则 g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n; 而 g(x)图象关于 y 轴对称,所以-

2m + 6 =0,所以 m=-3, 2×3

代入①得 n=0. 于是 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由 f′(x)>得 x>2 或 x<0, 故 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)(2,+∞) , ; 由 f′(x)<0 得 0<x<2, 故 f(x)的单调递减区间是(0,2). (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f′(x)=3x(x-2), 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: X f′(x) f(x) (-∞.0) + 0 0 极大值 (0,2) - 2 0 极小值 (2,+ ∞) +

由此可得: 当 0<a<1 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(O)=-2,无极小值; 当 a=1 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当 1<a<3 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值 f(2)=-6,无极大值; 当 a≥3 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得:当 0<a<1 时,f(x)有极大值-2,无极小值,当 1<a<3 时,f(x)有极小值-6,无极大 值;当 a=1 或 a≥3 时,f(x)无极值.

第 8 页

共 10 页

(22)(本小题满分 14 分) ( 如图,椭圆 C :

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的一个焦 a2 b2

点为 F(1,0),且过点(2,0). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 AB 为垂直于 x 轴的动弦,直线 l:x=4 与 x 轴交于点 N,直线 AF 与 BN 交于点 M. (ⅰ)求证:点 M 恒在椭圆 C 上; (ⅱ)求△AMN 面积的最大值. 解:)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识,考查运算能 力和综合解题能力。 解法一: (Ⅰ)由题设 a=2,c=1,从而 b2=a2-c2=3,

x2 y2 + = 1. 所以椭圆 C 前方程为 4 3
(Ⅱ)(i)由题意得 F(1,0),N(4,0). 设 A(m,n),则 B(m,-n)(n≠0),

m2 n2 =1. ……① + 4 3

AF 与 BN 的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0, n(x-4)-(m-4)y=0. 设 M(x0,y0),则有 n(x0-1)-(m-1)y0=0, ……② n(x0-4)+(m-4)y0=0, ……③ 由②,③得 x0=

5m ? 8 3n , y0 = . 2m ? 5 2m ? 5

2 2 x0 y0 (5 m ? 8 ) 2 3n 2 由于 + = + 4 3 4 ( 2 m ? 5) 2 ( 2 m ? 5) 2

(5 m ? 8 ) 2 3n 2 = + 4 ( 2 m ? 5) 2 ( 2 m ? 5) 2 ( 5 m ? 8 ) 2 + 12 n 2 = 4 ( 2 m ? 5) 2 ( 5 m ? 8 ) 2 + 36 ? 9 m 2 4 ( 2 m ? 5) 2 =1 =
所以点 M 恒在椭圆 G 上.

x2 y2 =1 得(3t2+4)y2+6ty-9=0. (ⅱ)设 AM 的方程为 x=xy+1,代入 + 4 3
第 9 页 共 10 页

设 A(x1,y1),M(x2,y2) ,则有:y1+y2= |y1-y2|= ( y1 + y 2 ) ? 4 y1 y 2 =
2

? 6x ?9 , y1 y 2 = 2 . 2 3x + 4 3t + 4

4 3· 3t 2 + 3 . 3t 2 + 4

令 3t2+4=λ(λ≥4),则 |y1-y2|=

4 3·  λ-1

λ
1

1 2 1 1 1 3 1 =4 3 -( )+ =4 3 -( - ) + , λ λ λ 2 4

因为λ≥4,0<

1 1 1 ≤ , 所以当 = ,即λ=4,t = 0时, λ 4 λ 4 3 3 9 y1 ? y 2 = y1 ? y 2 有最大值 . 2 2 2

|y1-y2|有最大值 3,此时 AM 过点 F. △AMN 的面积 S△AMN= FN · y1 ? y 2 = 解法二: (Ⅰ)问解法一: (Ⅱ) (ⅰ)由题意得 F(1,0),N(4,0). 设 A(m,n),则 B(m,-n)(n≠0),

m2 n2 + = 1. 4 3

……① ……② ……③ ……④

AF 与 BN 的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0, n(x-4)-(m-4)y=0, 由②,③得:当≠ 时,m =

5 2

5x ? 8 3y ,n = . 2x ? 5 2x ? 5

由④代入①,得

x2 y2 =1(y≠0). + 4 3

?3 ? 2 n ? (m ? 1) y = 0 5 ? 当 x= 时,由②,③得: ? 2 ?? 3 n + (m + 4) y = 0, ? 2 ?
解得 ?

?n = 0, 与 a≠0 矛盾. ? y = 0,

x2 x2 所以点 M 的轨迹方程为 + = 1( y ≠ 0), 即点 M 恒在锥圆 C 上. 4 3
(Ⅱ)同解法一.

第 10 页

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