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(新课程)高中数学 1-1-3 三个正数的算术-几何平均不等式知能达标演练 新人教A版选修4-5


第一节

不等式第 3 课时 三个正数的算术—几何平均不等式

一、选择题

?1 ??1 ? ?1 ? 1.设 a,b,c∈(0,+∞)且 a+b+c=1,令 x=? -1?? -1?? -1?,则 x 的取值范围为 ?a ?? b ? ?c ?
( ).

? 1? A.?0, ? ? 8?
C.[1,8)

?1 ? B.? ,1? ?8 ?
D.[8,+∞)

?1 ??1 ??1 ? 解析 ∵x=? -1?? -1?? -1? ?a ?? b ??c ?
= = ? 1-a 1-b 1-c · ·

a

b

c

b+c? ? c+a? ? a+b? 2 bc·2 ca·2 ab ≥ =8, abc abc

当且仅当 a=b=c 时取等号,∴x≥8. 答案 D 1 4 2.已知 x,y 都为正数,且 + =1,则 xy 有

x y

(

).

A.最小值 16 1 C. 最小值 16 1 4 解析 ∵x,y∈(0,+∞)且 + =1,

B.最大值 16 1 D.最大值 16

x y

1 4 ∴1= + ≥2

4

x y

xy



4

xy

,∴ xy≥4,∴xy≥16,

?x y ? 当且仅当?1 4 + =1, x y ?x,y∈? 0,+∞? ?
1 4 = , 此时(xy)min=16. 答案 A

即? ,

? ?x=2, ?y=8 ?

时取等号,

3.已知圆柱的轴截面周长为 6,体积为 V,则下列关系式总 成立的是( A.V≥π B.V≤π

).

1

1 C.V≥ π 8 解析 设圆柱的底面半径为 r,高 为 h, 则由题意得:4r+2h=6,即 2r+h=3, 于是有 V=π r h≤π ·?
2

1 D.V≤ π 8

?r+r+h?3=π ?3?3=π , ? ?3? ? 3 ? ? ?

当且仅当 r=h 时取等号. 答案 B 4.如果圆柱的轴截面周长 l 为定值,那么圆柱的体积最大值是 A.? ? π ?6? C.? ? π ?4? 解析 l=4r+2h,即 2r+h= , 2 ( ).

?l?3 ?l?3

B.? ? π ?3? 1?l?3 D. ? ? π 4?4?

?l?3

l

V=π r2h≤?
答案 A 二、填空题

?r+r+h?3π =?l?3π . ? ?6? ? 3 ? ? ?

5.周长为 2+1 的直角三角形面积的最大值为________. 解析 设两直角边长为 a,b,斜边长为 c, 则 c = a +b ,且 a+b+ a +b = 2+1. ∴ 2+1=a+b+ a +b
2 2 2 2 2 2 2

≥2 ab+ 2ab=(2+ 2) ab, 即 ab≤ 2 ,当且仅当 a =b 时取等号. 2

1 1 1 ∴三角形的面积 S= ab≤ ,即 Smax= . 2 4 4 答案 1 4
2

6.用长为 16 cm 的铁丝围成一个矩形,则可围成的矩形的最大面积是________ cm . 解析 设矩形长为 x cm(0<x<8),则宽为(8-x) cm, 面积 S=x(8-x).由于 x>0,8-x>0, 可得 S≤?

?x+8-x?2=16,当且仅当 x=8-x 即 x=4 时,S =16. ? max ? 2 ?
2

所以矩形的最大面积是 16 cm .

2

答案 16 7.函数 y=

x2
4

x +9

(x≠0)有最大值___ ___,此时 x=______.
2

解析 ∵x≠0,∴x >0. ∴y=

x2
4

x +9



≤ x2+ 2 2 x 9

1

1

x2·

1 = , 9 6

x2

9 2 4 2 当且仅当 x = 2,即 x =9,x =3,x=± 3时取等号,

x

1 即当 x=± 3时,ymax= . 6 答案 1 6 ± 3

π 3 2 8.制造容积为 m 的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板的价格为 30 元/m ,做侧面的金 2 属板价格为 20 元/m ,要使用料成本最低,则圆柱形桶的底面半径 r=________,高 h= ________. π 1 2 解析 ∵π r h= ,∴rh= . 2 2r 20π 2 2 设用料成本为 S,则 S=30π r +40π rh=30π r +
2

r

10π 10π 3 2 =30π r + + ≥30π 3(元),

r

r

3 3 10π 9 9 当 30π r = ,即 r= 时,等号成立, 此时 h= . r 3 2
2

3 答案 三、解答题

9 m 3

3

9 m 2

3 2 9.求函数 y=2x + (x>0)的最小值.

x

3 2 解 由 x>0 知 2x >0, >0,则 2x

y=2x2+ =2x2+ + x 2x 2x
3 ≥3 3 9 3 3 2 2x · · =3 . 2x 2x 2

3

3

3

3

3 2 当且仅当 2x = , 2x 即 x= 3 3 时, 4 3 9 33 = 36. 2 2

ymin=3

10.某城建公司承包旧城拆建工程,按合同规定在 4 个月内完成.若提前完成,每提前一天 可获 2 千元奖金,但这要追加投入费用;若延期则每延期一天将被罚款 5 千元.追加投 入的费用按以下关系计算:6x+ 784

x+3

-118(千元),其中 x 表示提前完 工的天数,试问

提前多少天,才能使此公司获得最大附加效益 ?(附加效益=所获奖金-追加费用). 解 设该城建公司获得的附加效益为 y 千元,

则由题意,得 -118?=118-?4x+ y=2x-?6x+ x+3 x+3? ? ? ? ? =118-?4? =130-?4? ≤130-2

? ? ? ? ?

784

?

?

784 ?

x+3? + -12? ? x+3 ?
784 784

? x+3? + x+3? ?
4?

x+3? ·

784

x+3

=130-112=18,

当且仅当 4(x+3)=

784 ,即 x=11 时取等号. x+3

∴提前 11 天完 工,公司可获得最大附加效益. 11.设 a1,a2,…,an 为正数,证明

a1+a2+…+an n ≥ . n 1 1 1 + +…+ a1 a2 an a1+a2+…+an n ≥ 成立, n 1 1 1 + +…+ a1 a2 an

证明

因为 a1,a2 ,…,an 为正数,所以,要证

1? ?1 1 2 就是要证明(a1+a2+… +an)? + +…+ ?≥n .由算术—几何平均不等式,可得 a1+

?a1 a2

an?

n 1 1 1 1 n a2+…+an≥n a1a2…an, + +…+ ≥n ,两式相乘,即得(a1+a2+… a1 a2 an a1a2…an
1? ?1 1 2 +an)·? + +…+ ?≥n .所以,原不等式成立.

?a1 a2

an?

4

5


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