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2014届高三数学辅导精讲精练55


2014 届高三数学辅导精讲精练 55
1.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,E、F 分别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心,则 EF 和 CD 所成的角是 A.60° C.30° 答案 解析 B 连接 A1D,DC1,A1C1,∵E,F 为 A1D,A1C1 中点, B.45° D.90° ( )

∴EF∥C1D. ∴EF 和 CD 所成角即为∠C1DC=45° . → → 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,则 sin〈DB1,CM〉的 值等于 1 A.2 2 C. 3 答案 解析 B 分别以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴建系, 210 B. 15 11 D. 15 ( )

令 AD=1, → ∴DB1=(1,1,1), → 1 CM=(1,-2,0). 1 1-2 → 15 ∴cos〈DB1,CM〉= = 15 . 5 3·2 → → 210 ∴sin〈DB,CM〉= 15 .

3.(2012· 陕西)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC—A1B1C1,CA= CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 ( )

5 A. 5 2 5 C. 5 答案 解析 A

5 B. 3 3 D.5

不妨设 CB=1,则 CA=CC1=2.由题图知,A 点的坐标为(2,0,0),B

点的坐标为(0,0,1),B1 点的坐标为(0,2,1),C1 点的坐标为(0,2,0). → → 所以BC1=(0,2,-1),AB1=(-2,2,1). → → 0×?-2?+2×2+?-1?×1 5 所以 cos〈BC1,AB1〉= =5. 3 5 4.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 所有棱长都相等,D 是 A1C1 的中点,则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 1 A.2 3 C.5 答案 D 3 B. 2 4 D.5 ( )

解析

取 AC 中点 E,令 AB=2

分别以 EB,EC,ED 为 x,y,z 轴建系 → → B1( 3,0,2),C(0,1,0),A(0,-1,0),D(0,0,2),DB1=( 3,0,0),DC=(0,1, → -2),DA=(0,-1,-2),平面 B1DC 法向量为 n=(0,2,1)

→ 4 cos〈DA,n〉=-5 4 ∴AD 与面 B1DC 所成的角正弦值为5. 5.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=4,CC1=2,则直线 BC1 和 平面 DBB1D1 所成角的正弦值为 3 A. 2 10 C. 5 答案 解析 C 连接 A1C1 交 B1D1 于 O 点, 由已知条件得 C1O⊥B1D1, 且平面 BDD1B1 5 B. 2 10 D. 10 ( )

⊥平面 A1B1C1D1, 所以 C1O⊥平面 BDD1B1.连接 BO, BO 为 BC1 在平面 BDD1B1 则 1 1 上的射影,∠C1BO 即为所求,OC1=2A1C1=2AC=2 2,BC1= 42+22=2 5. OC1 10 通过计算得 sin∠C1BO= BC = 5 . 1 6.若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成二面角的余弦值 是 6 A. 3 2 C. 3 答案 解析 B 以正三棱锥 O-ABC 的顶点 O 为原点,OA,OB,OC 为 x,y,z 轴 3 B. 3 1 D.3 ( )

建系(图略),设侧棱长为 1, 则 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1). → 侧面 OAB 的法向量为OC=(0,0,1), 1 1 1 底面 ABC 的法向量为 n=(3,3,3). → → OC· n ∴cos〈OC,n〉= → |OC|· |n|



3 =3. 1 1 1 1· ?3?2+?3?2+?3?2

1 3

7.正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点, 且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是________. 答案 解析 30° 如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz.

设 OD=SO=OA=OB=OC=a,

a a 则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-2,2). → → a a → 则CA=(2a,0,0),AP=(-a,-2,2),CB=(a,a,0). 设平面 PAC 的法向量为 n,可求得 n=(0,1,1), → → CB· n a 1 则 cos〈CB,n〉= = =2. 2 → 2a · 2 |CB||n| → ∴〈CB,n〉=60° . ∴直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90° -60° =30° . 8. (2011· 大纲全国理)己知点 E、 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1、 F CC1 上,且 B1E=2EB,CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值 等于________. 答案 解析 2 3 设面 AEF 与面 ABC 所成的二面角为 θ,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的

棱长为 3,则△AEF 在面 ABC 上的射影是△ABC.在△AEF 中,AE= 32+12= 10, AF= ?3 2?2+22= 22,EF= ?2-1?2+32= 10.

1 △AEF 的面积等于2× 22×

1 3 11 ? 10?2-?2 22?2= 2 , 而△ABC 的面积等

S△ABC 1 9 3 2 sinθ 2 于2×32=2, 因此有 cosθ= = , sinθ= 1-cos2θ= , tanθ=cosθ= 3 , S△AEF 11 11 2 即面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值是 3 . 9.

如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 为 PB 的中点,cos → → 3 〈DP,AE〉= 3 ,若以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直 角坐标系,则点 E 的坐标为________. 答案 解析 (1,1,1) 连接 AC,BD 交于 O,连接 OE,

→ → 3 3 cos〈DP,AE〉= 3 ,∴cos∠AEO= 3 . 又∵OA= 2,∴OE=1,∴E 为(1,1,1). 10.(2012· 天津)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AD⊥ PD,BC=1,PC=2 3,PD=CD=2.

(1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (2)证明:平面 PDC⊥平面 ABCD; (3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 解析 (1)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,因为底面 ABCD 是矩形,所以 AD

=BC 且 AD∥BC.

故∠PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成的角. PD 又因为 AD⊥PD,在 Rt△PDA 中,tan∠PAD=AD=2. 所以,异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2. (2)证明:由于底面 ABCD 是矩形,故 AD⊥CD,又由于 AD⊥PD,CD∩PD =D,因此 AD⊥平面 PDC,而 AD?平面 ABCD,所以平面 PDC⊥平面 ABCD. (3)在平面 PDC 内,过点 P 作 PE⊥CD 交直线 CD 于点 E,连接 EB. 由于平面 PDC⊥平面 ABCD, 而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线. 故 PE⊥平面 ABCD,由此得∠PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. 在△PDC 中,由于 PD=CD=2,PC=2 3,可得∠PCD=30° . 在 Rt△PEC 中,PE=PCsin30° 3. = 由 AD∥BC,AD⊥平面 PDC,得 BC⊥平面 PDC. 因此 BC⊥PC. 在 Rt△PCB 中,PB= PC2+BC2= 13. PE 39 在 Rt△PEB 中,sin∠PBE=PB= 13 . 39 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 13 . 11.

如右图所示,ABCD 是直角梯形,∠ABC=90° ,SA⊥底面 ABCD,SA=AB 1 =BC=1,AD=2.求面 SCD 与面 SBA 所成二面角的余弦值. 解析 以 A 为坐标原点,BA、AD、AS 所在直线分别为 x、y、z 建立如图所

1 示的空间直角坐标系,则 S(0,0,1),C(-1,1,0),D(0,2,0). → → ? 1 ? ∴SC=(-1,1,-1),SD=?0,2,-1?. ? ? 设平面 SCD 的法向量为 n=(x,y,z). → → ∵n⊥SC,n⊥SD, → → ∴n· =0,n· =0. SC SD ?-x+y-z=0, ? 即?y ?2-z=0. ?

解得 x=z,y=2z.

令 z=1,则 n=(1,2,1). → ? 1 ? 又∵平面 SAB 的法向量为AD=?0,2,0?, ? ? → → n· AD 0+1+0 6 ∴cos〈n,AD〉= = 1=3. → 6×2 |n|· | |AD 由题意知,二面角为锐角,所以二面角的大小等于两法向量的夹角. 6 ∴所求二面角的余弦值为 arccos 3 . 12.

(2012· 山东)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD, ∠DAB=60° ,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (1)求证:BD⊥平面 AED; (2)求二面角 F-BD-C 的余弦值. 解析 (1)证明:因为四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60° ,

所以∠ADC=∠BCD=120° . 又 CB=CD,所以∠CDB=30° . 因此∠ADB=90° ,即 AD⊥BD.

又 AE⊥BD,且 AE∩AD=A,AE,AD?平面 AED, 所以 BD⊥平面 AED. (2)方法一 由(1)知 AD⊥BD,所以 AC⊥BC.

又 FC⊥平面 ABCD, 因此 CA,CB,CF 两两垂直. 以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CF 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建 立如图所示的空间直角坐标系,不妨设 CB=1,

3 1 则 C(0,0,0),B(0,1,0),D( 2 ,-2,0),F(0,0,1). → → 3 3 因此BD=( 2 ,-2,0),BF=(0,-1,1). 设平面 BDF 的一个法向量为 m=(x,y,z), → → 则 m· =0,m· =0. BD BF 所以 x= 3y= 3z. 取 z=1,则 m=( 3,1,1). → 由于CF=(0,0,1)是平面 BDC 的一个法向量, → → m· CF 1 5 则 cos〈m,CF〉= = =5. → 5 |m||CF| 5 所以二面角 F-BD-C 的余弦值为 5 . 方法二 取 BD 的中点 G,连接 CG,FG,由于 CB=CD,因此 CG⊥BD.

又 FC⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,所以 FC⊥BD. 由于 FC∩CG=C,FC,CG?平面 FCG,

所以 BD⊥平面 FCG.故 BD⊥FG. 所以∠FGC 为二面角 F-BD-C 的平面角. 在等腰三角形 BCD 中,由于∠BCD=120° , 1 因此 CG=2CB.又 CB=CF, 所以 GF= CG2+CF2= 5CG. 5 故 cos∠FGC= 5 . 因此二面角 F-BD-C 的余弦值为 5 . 5

13.正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长均为 2,P 是侧棱 AA1 上任意一点. (1)求正三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积; (2)判断直线 B1P 与平面 ACC1A1 是否垂直,请证明你的结论; (3)当 BC1⊥B1P 时,求二面角 C-B1P-C1 的余弦值.

解析

3 (1)VABC-A1B1C1=S△ABC· 1= 4 ×22×2=2 3. AA

(2)不垂直.建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,设 AP=a, 则 A,C,B1,P 的坐标分别为 (0,-1,0),(0,1,0),( 3,0,2),(0,-1,a). → AC=(0,2,0), → B1P=(- 3,-1,a-2), → → AC· 1P=-2≠0,∴B1P 不垂直 AC. B

∴直线 B1P 不可能与平面 ACC1A1 垂直.

→ (3)BC1=(- 3,1,2), → → 由 BC1⊥B1P,得BC1· 1P=0. B 即 2+2(a-2)=0,∴a=1. 又 BC1⊥B1C,∴BC1⊥平面 CB1P. → ∴BC1=(- 3,1,2)是平面 CB1P 的法向量. 设平面 C1B1P 的法向量为 n=(1,y,z), → ?B1P· n=0, 由? → ?B1C1· n=0,

则 n=(1, 3,-2 3).

设二面角 C-B1P-C1 的大小为 α, → |BC1· n| 6 则 cosα= =4. → |BC1|· |n| 6 ∴二面角 C-B1P-C1 的余弦值的大小为 4 .


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