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湖南省衡阳县第一中学2016


衡阳县一中 2016 年下学期高二学科竞赛数学试题
分值:150 分 时量:120 分钟 命题人: 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.在等差数列 A.12

?an ? 中, a1 ? 3, 2a2 ? a4 ,则 a 等于(
7

b )

B.21

C.15

D.18

2.已知公比为 2 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,则 A.

S3 等于( a ) a1 ? a4

7 9

B.

5 7

C.

2 3

D.

1 2

3.已知命题 p : 若 x ? ?3 ,则 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,则下列叙述正确的是( D ) A.命题 p 的逆命题是:若 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,则 x ? ?3 B.命题 p 的否命题是:若 x ? ?3 ,则 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 C.命题 p 的否命题是:若 x ? ?3 ,则 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 D.命题 p 的逆否命题是真命题

?x ? 2 y ? 4 ? 0 x ? y ?3 ? 4.若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 的最小值为( a ) x ?3 ?2x ? y ? 3 ? 0 ?
A. 0 B.

1 2

C.

4 3

D.-1

5.若 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别是 a、b、c ,已知 2b sin 2 A 则 a 等于( C ) A. 6 B. 2 2 C. 10 D.4

? a sin B ,且 b ? 2, c ? 3 ,

6.M 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点,且在 x 轴上方,F 是抛物线的焦点,以 终 边 构 成 的 角 为 60

x 轴的正半轴为始边,FM 为
° 则

FM ?

( c ) A.2 B.3 C.4 D.6

1

7.已知点 F1,F2 分别是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B 是以坐标原点 O(0,0)为圆心、|OF1|为

半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB 是正三角形,则 此椭圆的离心率为( d ) A. 8.已知数列 a1 , 项是( A.16 b ) B.64 C.32 D.128 B. C. -1 D. -1

a a2 a3 , ,? , n ,? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,同下列数中是数列 ?an ? 中的 a1 a2 an ?1

9.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 b sin B ? a sin A ? 积为 a 2 sin B ,则 cos B 等于( D A. ) D.

3 a sin C ,且 ?ABC 的面 2

2 3

B.

2 5

C.

1 3

1 4 2 1 ? 的最小值为( a ) a ?1 b

10.已知 a ? 2b ? 2 ,且 a ? 1, b ? 0 ,则 A.8 B.6 C.5 D.4

11.已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,当 n ? 2 时, ? an ? S n ?1 ? ? S n S n ?1 ,且 a1 ? 1 ,设
2

bn ? log 2
A.64

an ?1 ,则 b1 ? b2 ? ? ? b10 等于( c 6
B.72 C.80 D.90



12.若双曲线

=1(a>0,b>0)上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的中心)的对称 c )

点在 y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 ( A.( C.(1, ,+∞) ] B.[ D.(1,

,+∞) )

第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.在数列 ?an ? 中, a2 ?

4n ? 5 3 7 , a3 ? ,且数列 ?nan ? 1? 是等差数列,则 an ? ___ ______. n 2 3

14.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为

?? ? a、b、c ? a ? b ? ,sin ? ? A ? ? sin B, a sin C ? 3 sin A ,则 a ? b 的最大值为____2_________. ?3 ?

2

15. 椭圆

+

=1(a>b>0) 的离心率为

, 若直线 y=kx 与椭圆的一个交点的 横坐标为 b, 则 k=

?

2 2

.

16.已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且 a≠1)在 R 上单调递增,且 2a+b≤4,则 的取值范围为 [ , 2 ) 由 2x+b-1 在 R 上单调递增,f(x)=loga(2x+b-1)在 R 上单调递增,得 a>1.

?a ? 1, ? 由 2x+b-1>0,得 b-1≥0,即 b≥1,所以 ? b ? 1, 画出可行域,如图,由 ? 2a ? b ? 4, ?
= ,得 的取值范围可转化为(a,b),(0,0)两点所在直线的斜率范围 ,

由图可知 kOB 最大 ,kOA 最小 , 由 ?

?a ? 1, 得 B(1,2), 所以 kOB=2, 由 ?2a ? b ? 4,

?b ? 1, 得 A( ,1),所以 kOA= ,结合图形得 ∈[ ,2). ? ?2a ? b ? 4,
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)
2 设条件 p : 2 x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 ;条件 q : x ? ? 2a ? 1? x ? a ? a ? 1? ? 0 ,若 q 是 p 的必要不充分条件,

求实数 a 的取值范围. .解:设 A ? x | 2 x ? 3 x ? 1 ? 0 ,
2

?

?

B ? ? x | x 2 ? ? 2a ? 1? x ? a ? a ? 1? ? 0? ? ? x | ? x ? a ?? x ? a ? 1?? ? 0 ,
则 A ? ?x | 分

? ?

1 ? ? x ? 1? , B ? ? x | a ? x ? a ? 1? ,.........................4 2 ?

3

又当 a ? 0 或 a ?

1 时, A ? B , 2

故实数 a 的取值范围为 ? 0, ? .................................10 2 分 18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m =(cosx,-1),向量 n =( (1)求 f(x)的最小正周期 T. (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,A 为锐角,a=1,c= 最大值,求 A 和 b 的大小. 【解析】(1)f(x)=(m+n)?m=cos2x+ = = cos2x+ + sin2x+ sin2x+2 sinxcosx+ ,且 f(A)恰是 f(x)在[0, ]上的

? 1? ? ?

??

?

sinx, ?

?? ? ?? 1 ),函数 f(x)=( m + n ) m 2

=sin(2x+ )+2. 因为ω =2,所以 T= =π .

(2)由(1)知:f(A)=sin(2A + )+2, 当 A∈[0, ]时, ≤2A+ ≤ 由正弦函数图象可知, 当 2A+ = 时 f(A)取得最大值 3, 所以 2A+ = ,A= . 由余弦定理,得 a =b +c -2bccosA, 所以 1=b2+3-2?b? 解得 b=1 或 b=2. 19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 3S n ? an ?1 ? 1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
4
2 2 2

,

?cos .

(2)设等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , a2 ? b2 , T4 ? 1 ? S3 ,求

1 1 1 ? ?? ? 的值. b1 ? b2 b2 ? b3 b10b11

解: (1) ∵ 3S n ? an ?1 ? 1 ① , ∴当 n ? 1 时,3S n ?1 ? an ? 1 ②, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 分 ①—②得 3 ? S n ? S n ?1 ? ? 3an ? an ?1 ? an , 则 an ?1 ? 4an , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 分 又 a2 ? 3a1 ? 1 ? 4 ? 4a1 ,................................4 分 ∴数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 4 的等比数列, 则 an ? 4 分 (2)由(1)得 a2 ? 4, S3 ? 21 ...................................7 分 则? 分 设数列 ?bn ? 的公差为 d ,则 b1 ? 1, d ? 3 ,.. .... ... ... ... . .... ... ... .... 9 分 ∴ bn ? 3n ? 2 ,....................................10 分 ∴ 分 ∴ 分
n ?1

......................................6

b2 ? 4 ? , 得 b3 ? 7 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ?T4 ? 2 ? b2 ? b3 ? ? 22

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ?, bn ? bn ?1 ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

1 1 1 1? 1 1 1 1 ? 10 ? ?? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 b1 ? b2 b2 ? b3 b10b11 3 ? 4 4 7 31 ? 31

5

20.(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? b cos C ? 3c sin B . (1)若 a 2 sin C ? 4 3 sin A ,求 ?ABC 的面积; (2)若 a ? 2 3, b ?

7 ,且 c ? b, BC 边的中点为 D ,求 AD 的长.

.解:∵ a ? b cos C ? 3c sin B ,∴ sin A ? sin B cos C ? 3 sin C sin B ,.......1 分 则 sin ? B ? C ? ? sin B cosC? 3 sin C sin B , ∴ cos B sin C ? 3 sin C sin B ,又 sin C ? 0 ,..........................3 分 ∴ cos B ? 3 sin B ,即 tanB ? 分 (1)∵ a 2 sin C ? 4 3 sin A ,∴ ac ? 4 3 ,

? 3 ,∴ B ? .....................5 6 3

1 ?ABC 的面积 S ? ac sin B ? 3 ..........................7 分 2
(2)∵ a ? 2 3, b ? 分 即 c 2 ? 6c ? 5 ? 0 ,解得 c ? 5 或 c ? 1 (舍去),......................10 分 ∴ AD 2 ? 分 21.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)求数列 n an 的前 n 项和 Tn ;

7 ,∴ 12 ? c 2 ? 2 ? 2 3 ?

3 c ? 7 ,............ ...8 2

? 3?

2

? 25 ? 2 ? 3 ? 5 ?

3 ? 13 ,得 AD ? 13 .................12 2

n ?1 an ?1 ? n ? 1, n ? Z ? . 2

?

2

?

6

(3)若存在 n ? N * ,使关于 n 的不等式 an ? ? n ? 1? ? 成立,求常数 ? 的最小值. .解:(1)∵ a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? ∴ a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? n ? 1? an ?1 ? 两式相减得 nan ? ∴

n ?1 an ?1 ? n ? N * ? , 2

n ?1 n an ?1 ? an , 2 2

n an ? n ? 2 ? ..................1 分 2

? n ? 1? an?1 ? 3
nan

? n ? 2 ? ..........................2 分

∴数列 ?nan ? 从第二项起,是以 2 为首项,3 为公比的等比数列,

3 ∴ nan ? 2?

n?2

? n ? 2? ,

? 1, n ? 1 ? 故 an ? ? 2 n ? 2 ...............................4 分 ? 3 , n ? 2 ? ?n
3 (2)由(1)可知当 n ? 2 时, n an ? 2n?
2 0 1 n?2

, ,

3 ? 6? 3 ? ? ? 2n? 3 当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? 4?

n?2

3Tn ? 3 ? 4? 31 ? ? ? 2 ? n ? 1?? 3n ? 2 ? 2n? 3n ?1 ,
两式相减得 Tn ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 ? n ? 2 ? .....................6 分 2 ? 2?

又∵ T1 ? a1 ? 1 也满足上式, ∴ Tn ? 分 (3) an ? ? n ? 1? ? 等价于 ? ? 由(1)可知当 n ? 2 时,

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 ? n ? N ? ? ..................................8 2 ? 2?

an , n ?1

an 2? 3n ? 2 ? .......................9 分 n ? 1 n ? n ? 1?

设 f ?n? ?

n ? n ? 1? ? n ? 2, n ? N ? , 2? 3n ? 2

7

则 f ? n ? 1? ? f ? n ? ?

2 ? n ? 1??1 ? n ? ? 0, 2? 3n ?1



1 1 1 1 ? ? 及 a1 ? 1 , ? n ? 2, n ? N ? ,又 f ? n ? 1? f ? n ? f ? 2? 3 2 2
1 1 ,∴ ?min ? ..................................12 3 3

∴? ? 分

22.(12 分)(2015?滨州模拟)已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程.

+

=1(a>b>0)的右焦点为(

,0),离心率为

.

(2)若直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆经过原点 O,求证:点 O 到直线 AB 的距离 为定值. (3)在(2)的条件下,求△OAB 面积的最大值. 【解析】(1)因为椭圆的右焦点为( ,0),离心率为 ,

?c ? 2, ? 所以 ? c 6 , ?e= ? a 3 ?
所以 a= ,b=1, +y =1.
2

所以椭圆 C 的方程为

(2)直线 AB 斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程, 消元可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 x1+x2=x1x2= . ? =0, ,

因为以 AB 为直径的圆 D 经过坐标原点,所以 所以 x1x2+y1y2=0, 所以(1+k2) 所以 4m2=3( k2 +1), -km? +m2=0,

8

所以原点 O 到直线的距离为 d=

=

.

当直线 AB 斜率不存在时,由椭圆的对称性可知 x1=x2,y1=-y2, 因为以 AB 为直径的圆 D 经过坐标原点,所以 所以 x1x2+y1y2=0, 所以 因为 +3 =0. =3,所以|x1|=|y1|= , , ? =0,

所以原点 O 到直线的距离为 d=|x1|= 综上,点 O 到直线 AB 的距离为定值.

(3)直线 AB 斜率存在时,由弦长公式可得|AB|=

|x1-x2|

=

=



=2,

当且仅当 k=±

时,等号成立,所以|AB|≤2, <2, ,所以△OAB 面积的最大值为 .

直线 AB 斜率不存在时, |AB|=|y1-y2|= 所以△OAB 面积= |AB|d≤ ?2? =

9


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