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2011年全国高考理科数学试题及答案(含解析)-全国2


绝密★启用前

2011 年 6 月 7 日 15:00~17:00

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 ............

第I卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准 考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 ......... 3.第 I 卷选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 参考公式: 如果事件 A、 B 互斥,那么 球的表面积 公式
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

S ? 4? R

2

如果事件 A、 B 相 互独立,那么
P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ?B ?

其中 R 表示球的半径 球的体积公式
V ? 3 4

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

?R

3

其中 R 表示球的半径

Pn ( k ) ? C n p (1 ? p )
k k

n?k

( k ? 0,1, 2, … n )

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 注意:在试题卷上作答无效) ( ......... (1)复数 z =1+ i , z 为 z 的共轭复数,则 z z - z -1= (A)-2 i (B)- i (C) i (D)2 i

(2)函数 y = 2 x ( x ≥0)的反函数为
x 4
2

(A) y =

( x ∈R)

(B) y =

x 4

2

( x ≥0)

(C) y = 4 x ( x ∈R)

2

(D) y = 4 x ( x ≥0)

2

(3)下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a > b +1 (B) a > b -1 (C) a > b
2 2

(D) a > b

3

3

数学试卷第 1 页(共 4 页)

(4)设 S n 为等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d = 2, S k ? 2 ? S k ? 2 4 ,则 k = (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
?
3

(5) 设函数 f ? x ? ? cos ? x ? ? ? 0 ? ,将 y ? f ? x ? 的图像向右平移 得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 (A)
1 3

个单位长度后,所

(B)3

(C)6

(D)9
BD ? l , D 为

(6)已知直二面角 ? ? l ? ? , 点 A ? ? ,

AC ? l , C 为垂足, B ? ? ,

垂足,若 AB ? 2 , AC ? BD ? 1 ,则 D 到平面 ABC 的距离等于( (A)
2 3



(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

(7)某中学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每 位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( (A)4 种 (8)曲线 y ? e (A)
1 3
?2 x

) (D)20 种

(B) 10 种

(C) 18 种

? 1 在点(0,2)处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)1
5 2 )?

(9) 设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 2 x (1 ? x ) ,则 f ( ? (A) ?
1 2
2

(B) ?

1 4

(C)

1 4

(D)

1 2

(10)已知抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F ,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A、B 两点,则
COS ? AFB ? (

) (B)
3 5

(A)

4 5

(C) ?

3 5

(D) ?

4 5

(11)已知平面 ? 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 ? 成 60? 二面角的平面β 截该球面得 N。 若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为( (A) 7 ? (B)
9?



(C) 11 ?
1 2

(D)

13 ?
0

(12)设向量 a , b , c 满足 a ? b ? 1 , a ? b ? ? 值等于( (A)2 ) (B) 3 (C)

, ? a ? c , b ? c ? ? 60 ,则 c 的最大

2

(D)1

数学试卷第 2 页(共 4 页)

绝密★启用前

2011 年 6 月 7 日 15:00~17:00

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 ............

第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚, 然后贴好条形码。 认真核准条形码上的准考证号、 请 姓名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答,在试题卷上作答无效。 ......... 3. 第Ⅱ卷, 共 l0 小题,共 90 分. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上。 注意: (

在试题卷上作答无效) .........
9 (13) (1- x ) 的二项展开式中,x 的系数与 x 的系数之差为_________________.
20

(14) 已知 ? ? ( , ? ) ,sin ? =
2

?

5 5

,则 tan2 ? =______________
2

(15) 已知 F1、F2 分别为双曲线 C:

x

?

y

2

? 1 的左、右焦点,点 A ? C

,点 M 的坐标

9

27

为(2,0) ,AM 为∠F1AF2 的平分线,则 A F 2 ______________ (16)已知 E、F 分别在正方形 ABCD-A1B1C1D1 棱 BB1、CC1 上,且 B1F=2EB,CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于_______________。 三. 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... △ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A-C=90°,a+c= 2b ,求 C. (18) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购 买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种概率; (Ⅱ)X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求 X 的期望. (19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

数学试卷第 3 页(共 4 页)

如图,四棱锥 S ? A B C D 中, A B ∥ C D , B C ⊥ C D ,侧面 S A B 为等边三角形,
A B = B C =2, C D = S D =1。

(I)证明: S D ⊥平面 S A B ; (II)求 A B 与平面 SB C 所成的角的大小。

(20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 设数列 { a n } 满足 a 1 ? 0 且
1 1 ? an ? 1 ? 1 1 ? an ? 1。

(I)求 { a n } 的通项公式;
1? a n ?1 n

(II)设 b n ?

,记 S n ?

?b
k ?1

n

k

,证明: S n ? 1 。

(21) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上答无效) ........ 已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C: x ?
2

y

2

? 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过

2

F 且斜率为- 2 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,
点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0 . (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上。

(22) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上答无效) ........ (Ⅰ)设函数 f ( x ) ? ln (1 ? x ) ?
2x x?2

,证明:当 x >0 时, f ( x ) >0;

(Ⅱ) 从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连 续抽取 20 次, 设抽得的 20 个号码互补相同的概率为 p .证明: p ? (
9 10 )
19

?

1 e
2

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修 II)

数学试卷第 4 页(共 4 页)

参考答案与详解
一、选择题 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分

1. 答案 B
命题意图 本题主要考查复数的运算. 解析 z z ? z ? 1 ? |z| ? z ? 1 ? 2-(1+i)-1= ? i .
2

2. 答案 B 命题意图 本题主要考查反函数的求法. 解析 由原函数反解得 x ?
y
2

4

,又原函数的值域为 y ? 0 ,所以函数 y ? 2 x ( x ? 0 ) 的

反函数为 y ? 3. 答案 A

x

2

4

( x ? 0) .

命题意图 本题主要考查充要条件及不等式的性质. 解析 即寻找命题 P ,使 P ? a ? b ,且 a ? b 推不出 P ,逐项验证知可选 A. 4. 答案 D 命题意图 本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 解析 解法一
S k ? 2 ? S k ? [( k ? 2 ) ? 1 ?
k ?5.

( k ? 2 )( k ? 1) 2

? 2] ? [k ? 1 ?

k ( k ? 1) 2

? 2] ? 4k ? 4 ? 24 , 解得

解法二: S k ? 2 ? S k ? a k ? 2 ? a k ? 1 ? [1 ? ( k ? 1) ? 2] ? (1 ? k ? 2) ? 4 k ? 4 ? 24 ,解得
k ?5.

5. 答案 C 命题意图 本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换. 2? ? ?k ? ( k ? Z ) ,解得 ? ? 6 k ,又 ? ? 0 ,令 k ? 1 ,得 ? m in ? 6 . 解析 由题意得 ? 3 6. 答案 C A ? 命题意图 本题主要考查空间点到平面距离的求法. 解析 如图,过 D 作 D E ? B C ,垂足为 E ,因为 ? ? l ? ? 是直
l

D B E

二面角, A C ? l ,∴ A C ? 平面 ? ,

C

?
BD ? CD BC

∴ A C ? D E , B C ? D E , A C I B C ? C ,∴ D E ? 平面 A B C ,故 D E 的长为点 D 到 平面 A B C 的距离.在 R t ? B C D 中,由等面积法得 D E ? 7. 答案 B
数学试卷第 5 页(共 4 页)

?

1? 3

2

?

6 3

.

命题意图 本题主要考查两个原理与排列组合知识,考察考生分析问题的能力. 解析 分两类:一是取出 1 本画册,3 本集邮册,此时赠送方法有 C 4 ? 4 种;
1

二是取出 2 本画册,2 本集邮册,此时赠送方法有 C 4 ? 6 种.故赠送方法共有 10种.
2

8. 答案 A 命题意图 本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式. 解析 y ? ? 2 e
' ?2 x

, ∴曲线 y ? e

?2 x

? 1 在点(0,2)处的切线的斜率 k ? ? 2, 故切线方程是

y ? ? 2 x ? 2 ,在直角坐标系中作出示意图得围 成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、

(1,0)、( 9. 答案 A

2 3

,

2 3

),∴三角形的面积是 S ?

1 2

?1?

2 3

?

1 3

.

命题意图 本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 解 析
f (? 5 2

由 f (x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 利 用 周 期 性 和 奇 偶 性 得 :
) ? f (? 5 2 ? 2) ? f (? 1 1 1 1 1 ) ? ? f ( ) ? ? 2 ? ? (1 ? ) ? ? . 2 2 2 2 2

10.答案 D 命题意图 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.
? y2 ? 4x 2 解析 联立 ? 消去 y 得 x ? 5 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 1, x ? 4 ,不妨设 A 点在 x 轴 ? y ? 2x ? 4

的 上 方 , 于 是 A , B 两 点 的 坐 标 分 别 为 (4,4),(1, ? 2 ), 又 F (1, 0) , 可 求 得
A B? 3 5 , A F?
2

5 ,B F ?
2

2.


4 5
2

V ABF



,











c

? AFs ? o B

AF ? BF ? AB 2 ? AF ? BF

? ?

.

11.答案 D 命题意图 本题主要考查二面角的概念与球的性质. 解析 如图所示,由圆 M 的面积为 4 ? 知球心 O 到圆 M 的距 离 O M ? 2 3 ,在 R t ? O M N 中, ? O M N ? 30 , ∴ O N ? 故圆 N 的半径 r ? 12.答案 A
R ? ON
2 2
?

1 2

OM ?
2

3,

?

13 ,

∴圆 N 的面积为 S ? ? r ? 13? .

数学试卷第 6 页(共 4 页)

命题意图 本题主要考查平面向量的数量积运算、 向量加减法、 四点共圆的条件及数形结合的思想.
AD ? b, AC ? c , 解析 如图,设 AB ? a ,

B

A 则 ? BAD ? 120 , ? BC D ? 60 ,
? B A D ? ? B C D ? 180 ,∴ A , B , C , D 四点共圆,
?

?

?

C

D 当 A C 为圆的直径时, c 最大,最大值为 2. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上(注意:在试 .. 卷上作答无效) ...... 13.答案 0 命题意图 本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.
r
9 2 18 解 析 由 T r ? 1 ? C 2 0 ( ? x ) ? ( ? 1) C 2 0 x 2 得 x 的 系 数 为 C 2 0 , x 的 系 数 为 C 2 0 , 而

r

r

r

r

C 2 0 = C 2 0 ,所以 x 的系数与 x 的系数之差为 0.

18

2

9

14.答案 ?

4 3

命题意图 本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角的正切公式. 解析 由 ? ? ( ∴ tan 2 ? ? 15.答案 6 命题意图 本题主要考查三角形的内角平分线定理,双曲线的第一定义和性质. 解析 Q A M 为 ? F1 A F 2 的平分线,∴
| A F2 | | A F1 | ? | M F2 | | M F1 | ? 4 8 ? 1 2

?
2

, ? ) , sin ? ?
4 3

5 5

得 cos ? ? ?

2 5 5

,故 tan ? ?

sin ? co s ?

? ?

1 2

,

2 tan ? 1 ? tan ?
2

? ?

.

∴ | A F1 |? 2 | A F2 |

又点 A ? C , 由双曲线的第一定义得 | A F1 | ? | A F2 |? 2 | A F2 | ? | A F2 | ? | A F2 | ? 2 a ? 6 .
2 3

16.答案

命题意图 本题主要考查正方体中二面角的求法. 解析 延长 F E 交 C B 的延长线于 G ,连结 A G ,则 A G 为面 A E F 与面 A B C 的交线,由
B1 E ? 2 E B , C F ? 2 F C 1 得 C F ? 2 B E , ∴ B 为 G C 中 点 . 设 正 方 体 的 棱 长 为 1, 则

数学试卷第 7 页(共 4 页)

AG ? AC ?

2 , 又 GC ? 2 , ∴ AC ? AG ? GC
2 2

2

∴ ? C AG ? 90 Q FC ? 平 面

?

ABC , ∴ FA ? AG ∴ ?CAF 是 面 AEF 与 面 ABC 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角 , 在

2
R t V A C F 中, tan ? C A F ?

CF

2 ? 3 ? ,故面 A E F 与面 A B C 所成的二面角的正 AC 3 2

切值等于

2 3

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 命题意图 本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公式, 考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 解析 由 a ? c ?
2 b 及正弦定理可得 2 sin B
?

sin A ? sin C ?

…………………………………3 分

又由 A ? C ? 9 0 , B ? 180 ? ( A ? C ) ,故
co s C ? sin C ? 2 sin ( A ? C )
?

= 2 sin (9 0 ? 2 C ) = 2 co s 2C
2 2
?

…………………………………7 分

co s C ?

2 2

sin C ? co s 2 C ,

co s(4 5 ? C ) ? co s 2 C

因为 所以

0 ? C ? 9 0, 2C ? 4 5 ? C ,
C ? 15
?

?

?

?

…………………………………10 分

点评 三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频 繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题 型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或 余弦定理,求边角或将边角互化. 18.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........
数学试卷第 8 页(共 4 页)

命题意图 本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二 项分布的数学期望,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解析 记 A 表示事件: 该地的 1 位车主购买甲种保险; B 表示事件: 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲 种保险; C 表示事件: 该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种; D 表示事件: 该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买. (I) P ( A ) ? 0.5 , P ( B ) ? 0.3 , C ? A ? B
P ( C ) ? P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? 0.8

……………………………3 分 ……………………………6 分

(Ⅱ) D ? C , P ( D ) ? 1 ? P ( C ) ? 1 ? 0.8 ? 0.2
X : B (100, 0.2) ,即 X 服从二项分布, ……………………………10 分

所以期望

EX ? 1 0 0 ?

0.2 ?

.2 0

……………………………12 分

点评 概率与统计是每年的必考题, 一般安排在解答题的前 3 题.本题属于已知概率 求概率类型. 考查保险背景下的概率问题,要求考生熟练掌握独立事件的概率、对立事 件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望. 19.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 命题意图 以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算,注重与平面几何的 综合. 解法一:(Ⅰ)取 A B 中点 E ,连结 D E ,则四边形 B C D E 为矩形, D E ? C B ? 2 ,连 结 SE ,则 SE ? A B , S E ?
2 2

3.
2

又 SD ? 1 , 故 E D ? SE ? SD , 所 以 ? D S E 为直角. ………………3 分 由 A B ? D E , A B ? SE , D E I SE ? E , 得
A B ? 平面 S D E ,所以 A B ? S D . S D 与两条相

交直线 A B 、 SE 都垂直. 所以 SD ? 平面 S A B . 另解:由已知易求得 S D ? 1, A D ?
2

………………6 分
5 , S A ? 2 ,于是 S A ? S D ? A D .可知 SD ? SA ,同
2
2

理可得 SD ? SB ,又 SA I SB ? S .所以 SD ? 平面 S A B . (Ⅱ)由 A B ? 平面 S D E 知,平面 A B C D ? 平面 S D E . 作 SF ? D E ,垂足为 F ,则 S F ? 平面 ABCD, S F ? 作 F G ? B C ,垂足为 G ,则 F G ? D C ? 1 . 连结 S G .则 SG ? B C .
SD ? SE DE

………………6 分

?

3 2

.

又 B C ? F G , SG I F G ? G ,故 B C ? 平面 SF G ,平面 S B C ? 平面 SF G .……9 分 作 F H ? SG , H 为垂足,则 F H ? 平面 SB C .
数学试卷第 9 页(共 4 页)

FH ?

SF ? FG SG

?

3 7

,即 F 到平面 SB C 的距离为

21 7

.

由于 E D / / B C ,所以 E D / / 平面 SB C , E 到平面 SB C 的距离 d 也为

21 7 21 7

.

设 A B 与平面 SB C 所成的角为 ? ,则 sin ? ?

d EB

?

21 7

, ? ? a rc sin

.……12 分

解 法 二: 以 C 为 原点 ,射 线 C D 为 x 轴 的正半 轴 ,建 立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz .设 D (1, 0, 0) ,则
A (2, 2, 0)

、 B (0, 2, 0) . 又 设 S ( x , y , , z )则

x ? 0, y ? 0, z ? 0 .

( , (Ⅰ), AS ? x ? 2 , y ? 2 , z ) BS ? ( x , y ? 2 , z ), DS ? ( x ? 1, y , z )

由 AS ? BS 得
( x ? 2) ? ( y ? 2) ? z
2 2 2

?

x ? ( y ? 2) ? z ,
2 2 2

故x ?1.
2 2 由 DS ? 1 得 y ? z ? 1 ,

2 2 2 又由 BS ? 2 得 x ? ( y ? 2 ) ? z ? 4 ,

2 2 即 y ? z ? 4 y ? 1 ? 0 ,故 y ?

1 2

,z ?

3 2

.

………………3 分

于是, S (1,

1 2

,

3 2

), AS ? ( ? 1, ?

3 2

,

3 2

), BS ? (1, ?

3 2

,

3 2

), DS ? ( 0 ,

1 2

,

3 2

)

. DS ? AS ? 0 , DS ? BS ? 0 故 D S ? A S , D S ? B S ,又 A S I B S ? S , 所以 SD ? 平面 S A B . (Ⅱ)设平面 SB C 的法向量 a ? ( m , n , p ) , 则. a ? BS , a ? CB , BS ? 0 , a ? CB ? 0
r

………………6 分

数学试卷第 10 页(共 4 页)

又, BS ? (1, ?

3 2

,

3 2

), ? (0,2,0) CB

? 3 3 p ? 0, ?m ? n ? 故? 2 2 ?2n ? 0 ?

………………9 分

取 p ? 2 得 a ? ( ? 3 , 0, 2) ,又 AB ? ( ? 2 , 0 , 0 )
COS ? AB , a ?? AB ? a AB ? a ? 21 7

r

故 A B 与平面 SB C 所成的角为 a rc sin

21 7

.

………………12 分

点评 立体几何一直以来都是让广大考生又喜又忧的题目.为之而喜是因为只要能 建立直角坐标系, 基本上可以处理立体几何绝大多数的问题; 为之而忧就是对于不规则 的图形来讲建系的难度较大,问题不能得到很好的解决.今年的立几问题建系就存在这 样的问题,很多考生由于建系问题导致立几的完成情况不是很好. 20.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 命题意图 本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的 证明,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解析 (Ⅰ)由题设
1 1? a
n ?1

?

1 1? a
n

? 1,

{ 即

1 1? a 1
n

}是公差为 1 的等差数列.



1? a1

=1 ,故

1 1? a n

=n .

所以 a n ? 1 ?
bn ? 1?

1 n

……………………………5 分#

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得

a n ?1 n

?

n ?1 ?

n

n ? 1g n
? 1 n ? 1 n ?1

,

数学试卷第 11 页(共 4 页)

Sn ?

?

n

bk ?

k ?1

?(
k ?1

n

1 k

?

1 k ?1

) ? 1?

1 n ?1

? 1 …………………………12 分

点评 2011 年高考数学全国卷将数列题由去年的第 18 题后移,一改往年的将数列结 合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式, 具有让考生和一线教师重视教材和基础知 识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求 变的良苦用心.估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、 递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续. 21.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 命题意图 本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线 交点坐标求法及四点共圆的条件。 解析 (I) F (0,1) , l 的方程为 y ? ? 2 x ? 1 ,代入 x ?
2

y

2

? 1 并化简得

2

4x ? 2 2x ?1 ? 0 .
2

…………………………2 分

设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), P ( x 3 , y 3 ) ,
2 ? 4 6 2 ? 4 6

则 x1 ?

, x2 ?

,

x1 ? x 2 ?

2 2

, y1 ? y 2 ? ?

2 ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? 1,

由题意得 x 3 ? ? ( x1 ? x 2 ) ? ?

2 2

, y 3 ? ? ( y1 ? y 2 ) ? ? 1,

所以点 P 的坐标为 ( ?

2 2 2 2

, ? 1) .

经验证点 P 的坐标 ( ?

, ? 1) 满足方程 x ?
2

y

2

2
2 2

? 1 ,故点 P 在椭圆 C 上 …6 分

(II)由 P ( ?

2 2 2 2

, ? 1) 和题设知, Q (

,1) , P Q 的垂直平分线 l1 的方程为

y ? ?

x.



设 A B 的中点为 M ,则 M (

2 1 , ) , A B 的垂直平分线 l 2 的方程为 4 2

数学试卷第 12 页(共 4 页)

y ?

2 2

x?

1 4

.



由①、②得 l1 、 l 2 的交点为 N ( ?

2 1 , ). 8 8

…………………………9 分

| N P |?

(?

2 2

?

2 8

) ? (?1 ?
2

1 8

) ?
2

3 11 8

,

| A B |?

1 ? (?

2 ) g| x 2 ? x1 |?
2

3 2 2

,

| A M |?

3 2 4

,

| M N |?

(

2 4

?

2 8

) ?(
2

1 2

?

1 8

) ?
2

3 3 8

,

| N A |?

| AM | ? | M N | ?
2 2

3 11 8

,

故 又 所以

| N P |? | N A | , | N P |? | N Q | , | N A |? | N B | , | N A |? | N P |? | N B |? | N Q | ,

由此知 A 、 P 、 B 、 Q 四点在以 N 为圆心, N A 为半径的圆上. ……………12 分 点评 本题涉及到平面微向量,有一定的综合性和计算量,完成有难度. 首先出题 位置和平时模拟几乎没有变化, 都保持全卷倒数第二道题的位置, 这点考生非常适应的。 相对来讲比较容易, 是因为这道题最好特点没有任何的未知参数, 我们看这道题椭圆完 全给出,直线过了椭圆焦点,并且斜率也给出,平时做题斜率不给出,需要通过一定条 件求出来,或者根本求不出来,这道题都给了,反而同学不知道怎么下手,让我求什么 不知道,给出马上给向量条件,出了两道证明题,这个跟平时做的不太一样,证明题结 论给大家,需要大家严谨推导出来,可能叙述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常 巧妙,非常涉及解析几何本质的内容,一个证明点在椭圆上的问题,还有一个疑问既然 出现四点共圆,这都是平时很少涉及内容。从侧面体现教育深层次的问题,让学生掌握 解析几何的本质,而不是把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题,最后方 法用代数方法研究几何的问题,什么是四点共圆?首先在同一个圆上,首先找到圆心, 四个点找圆形不好找, 最简单的两个点怎么找?这是平时的知识, 怎么找距离相等的点, 一定在中垂线,两个中垂线交点必然是圆心,找到圆心再距离四个点距离相等,这就是 简单的计算问题。方法确定以后计算量其实比往年少.

数学试卷第 13 页(共 4 页)

22.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 命题意图 本题为导数、 概率与不等式的综合,主要考查导数的应用和利用导数证明 不等式.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析 问题、解决问题的能力. 解析 (I) f ( x ) ?
'

x

2 2

( x ? 1)( x ? 2 )

…………………………2 分

' 当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 为增函数,又 f (0 ) ? 0 ,因此当 x ? 0 时,

f ( x) ? 0

.
20

…………………………5 分 .
2

(II) p ?

100 ? 99 ? 98 ? L ? 81 100
2

又 99 ? 81 ? 90 , 98 ? 82 ? 90 ,L 91 ? 89 ? 90 ,
2

所以 p ? (

9 10

)

19

.
2x x?2

由(I)知: 当 x ? 0 时, ln (1 ? x ) ? 因此
(1 ? 2 x ) ln (1 ? x ) ? 2 .
1 9

在上式中,令 x ? 所以 p ? (
9 10 )
19

,则 19 ln
1 e
2

10 9

? 2 ,即 (

10 9

)

19

?e .
2

?

…………………………12 分

点评 导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固 掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力 .估计以后对导 数的考查力度不会减弱.作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利 用导数证明不等式等,有时还伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.

数学试卷第 14 页(共 4 页)


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