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辽宁省师大附中2017届高三上学期期中考试数学文试卷(解析版).doc

2016-2017 学年辽宁省 师大附中高三(上)期中数学试卷(文科) 参考答案与试题解析
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. (2016?江西校级三模) 已知集合 A={x∈Z|x (x﹣3) ≤0}, B={x|lnx<1}, 则 A∩B= ( A.{0,1,2} 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出 A 中 x 的范围,确定出整数解得到 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,找 出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式解得:0≤x≤3,x∈Z,即 A={0,1,2,3}, 由 B 中不等式变形得:lnx<lne, 解得:0<x<e,即 B=(0,e) , 则 A∩B={1,2}. 故选:C. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. B.{1,2,3} C.{1,2} D.{2,3} )

2. (2015?甘肃校级模拟)复数 i(1﹣2i)=( A.﹣2+i B.2+i

) C.2﹣i D.﹣2﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】计算题. 【分析】利用两个复数代数形式的乘法法则,虚数单位 i 的幂运算性质,求得结果. 【解答】解:∵复数 i(1﹣2i)=i﹣2i2=2+i, 故选 B. 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础 题.

3. (2016?上海)设 a∈R,则“a>1”是“a2>1”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;定义法;简易逻辑. 【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:由 a2>1 得 a>1 或 a<﹣1, 即“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件, 故选:A. 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用不等式的关系结合充分条件和必要 条件的定义是解决本题的关键,比较基础.

4. (2016?江西校级三模)在△ABC 中,设 则| A.1 |=( ) B.

=a ,

?

= b ,且| a |=2,| b |=1, a ? b =﹣1,

?

?

?

? ?

C.

D.2

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】根据向量的数量积的运算,先求出 答案. 【解答】解:设 =a , 与 的夹角为 θ,再根据余弦定理即可求出

?

= b ,设

?



的夹角为 θ,

∵| a |=2,| b |=1, a ? b =﹣1, ∴ a ? b =| a |?| b |cosθ=2×1×cosθ=﹣1, ∴cosθ= , ∴θ=120°, ∴∠ACB=60° , 由余弦定理可得| ∴| |= , |2=| a |2+| b |2﹣2| a |?| b |cos60° =4+1﹣2×2×1×

?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

=3,

故选:C. 【点评】本题考查了向量的数量积的运算和余弦定理,考查运算能力,属于中档题

5. (2016 秋?沙河口区校级期中)已知实数 x,y 满足

2 2 ,则 z=(x﹣1) +y 的

最大值是( A.1

) B.9 C .2 D.11

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;不等式. 【分析】画出平面区域,利用 z=(x﹣1)2+y2 的几何意义表示为区域内的点与(1,0)的 距离的平方最大值求得. 【解答】解:x,y 满足的平面区域如图:z=(x﹣1)2+y2 的几何意义表示为区域内的点与(1,0)的距离的平方最大值,显然到 D 的距离最大,所 以 z=(x﹣1)2+y2 的最大值 z=(1﹣1)2+32=9; 故选 B.

【点评】本题考查了简单线性规划问题;一般的,正确画出平面区域,利用目标函数的几何 意义求最值是常用方法.

6. (2015?滨州二模)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且是周期为 4 的周期函数,f(1) =1,则 f(﹣1)+f(8)=( )

A.﹣2

B.﹣1

C .0

D.1

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的周期性得出 f(x+4)=f(x) .奇偶性得出 f(﹣x)=﹣f(x) ,化简得出 f(﹣1)+f(8)=﹣f(1)+f(0) ,即可求解. 【解答】解:∵f(x)为定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,f(﹣x)=﹣f(x) ∵f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x+4)=f(x) . ∵f(1)=1, ∴f(﹣1)+f(8)=﹣f(1)+f(0)=﹣1 故选:B 【点评】本题考查了函数的性质,运用求解函数值,难度不大,属于容易题,关键是掌握好 性质的定义式.

7. (2016 秋?沙河口区校级期中)已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 a2=b2+c2﹣bc,a=3,则△ABC 的周长的最大值为( A.2 B.6 C. ) D.9

【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形. 【分析】由已知利用余弦定理可求 A,利用 a=3 和 sinA 的值,根据正弦定理表示出 b 和 c, 代入三角形的周长 a+b+c 中, 利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一 个角的正弦函数,根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值. 【解答】解:∵a2=b2+c2﹣bc,可得:bc=b2+c2﹣a2, ∴cosA= ∵A∈(0,π) , ∴A= , = ,

∴由 a=3,结合正弦定理得: ∴b=2 sinB,c=2 sinC, sinC ﹣B )

=

=2



则 a+b+c=3+2 =3+2 =3+3 sinB+2

sinB+2 sin(

sinB+3cosB ) ,

=3+6sin(B+

可知周长的最大值为 9. 故选:D. 【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值,灵活运用两角和与差的正弦函数 公式化简求值,掌握正弦函数的值域,是一道中档题.

8. (2016?福安市校级模拟)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的全
2 面积是(单位:m ) . (



A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;图表型. 【分析】由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,垂直于底面的侧面 是一个高为 2,底连长也为 2 的等腰直角三角形,底面与垂直于底面的侧面全等,此两面的 面积易求, 另两个与底面不垂直的侧面是全等的, 可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底 边的高,将垂足与顶点连接,此线即为侧面三角形的高线,求出侧高与底面的连长,用三角 形面积公式求出此两侧面的面积,将四个面的面积加起来即可 【解答】解:由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧 面全等的三棱锥

由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为 2,底面连长为 2,故它们的面积皆为 =2, 由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高, 由等面积法可以算出, 此二高线的长度长度相 等,为 , ,同理

将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高,由勾股定理可以算出,此斜高为 2 可求出侧面底边长为 , = + = , ,

可求得此两侧面的面积皆为 故此三棱锥的全面积为 2+2+ 故选 A.

【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考 查对三视图与实物图之间的关系, 用三视图中的数据还原出实物图的数据, 再根据相关的公 式求表面积与体积,本题求的是三棱锥的全面积,做本题时要注意本题中的规律应用,即四 个侧面两两相等, 注意到这一点, 可以大大降低运算量. 三视图的投影规则是主视、 俯视 长 对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等.

9. (2016 秋?沙河口区校级期中) 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S3=9, S6=36, 则 a7+a8+a9= ( A.81 ) B.54 C.45 D.18

【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】计算题;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】由等比数列的性质可得 S3,S6﹣S3,S9﹣S6,…成等比数列,由已知数据易得答案. 【解答】解:由等比数列的性质可得 S3,S6﹣S3,S9﹣S6,…成等比数列,并设其公比为 q, 又由题意可得 S3=9,S6﹣S3=36﹣9=27, ∴q= =3,

∴a7+a8+a9=S9﹣S6=27×3=81. 故选:A. 【点评】本题考查等比数列的求和公式和性质,属基础题.

10. (2016 秋?沙河口区校级期中)已知三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角 三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是( A. 【考点】球内接多面体. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】据三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC,可得 S 在面 ABC 上的射影为 AB 中点 H,SH⊥平面 ABC,在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO 与 SH 交于 O,则 O 为 SABC 的外接球球心,OH 为 O 与平面 ABC 的距离,由此可得结论. 【解答】解:∵三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC, ∴S 在面 ABC 上的射影为 AB 中点 H,∴SH⊥平面 ABC. ∴SH 上任意一点到 A、B、C 的距离相等. ∵SH= ,CH=1,在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO 与 SH 交于 O,则 O 为 SABC 的 B.1 C. D. )

外接球球心. ∵SC=2, ∴SM=1,∠OSM=30° , ∴SO= 故选:A. ,∴OH= ,即为 O 与平面 ABC 的距离.

【点评】本题考查点到面的距离的计算,考查学生分析解决问题的能力,确定 OHO 与平面 ABC 的距离是关键.

11. (2014?北京校级模拟)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[﹣2,2]表示的曲线过原点, 且在 x=±1 处的切线斜率均为﹣1,给出以下结论: ①f(x)的解析式为 f(x)=x3﹣4x,x∈[﹣2,2]; ②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于 0. 其中正确的结论有( )

A.0 个

B.1 个

C .2 个

D.3 个

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】首先利用导数的几何意义及函数 f(x)过原点,列方程组求出 f(x)的解析式; 则命题①可得出判断;最后令 f′(x)=0,求出 f(x)的极值点,进而求得 f(x)的单调区 间与最值,则命题②③得出判断. 【解答】解:函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象过原点,可得 c=0; 又 f′(x)=3x2+2ax+b,且 f(x)在 x=±1 处的切线斜率均为﹣1, 则有 ,解得 a=0,b=﹣4.

所以 f(x)=x3﹣4x,f′(x)=3x2﹣4. ①可见 f(x)=x3﹣4x,因此①正确; ②令 f′(x)=0,得 x=± 所以 f(x)在[﹣ , .因此②不正确; ]内递减, )= ,极小值为 f( )=﹣ ,两端点处 f

且 f(x)的极大值为 f(﹣ (﹣2)=f(2)=0, 所以 f(x)的最大值为 M= 所以正确的结论为①③, 故选 C.

,最小值为 m=﹣

,则 M+m=0,因此③正确.

【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,应用导数求函数的极值点,最大值 与最小值等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.

12. (2016?日照二模)如图,已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O

为坐标原点,以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q,若∠PAQ=60° 且 =3 ,则双曲线 C 的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】确定△QAP 为等边三角形,设 AQ=2R,则 OP=R,利用勾股定理,结合余弦定理, 即可得出结论. 【解答】解:因为∠PAQ=60° 且 所以△QAP 为等边三角形, 设 AQ=2R,则 OP=R, 渐近线方程为 y= x,A(a,0) ,取 PQ 的中点 M,则 AM= =3 ,

2 2 由勾股定理可得(2R) ﹣R =(

),

2

所以(ab)2=3R2(a2+b2)① 在△OQA 中, ①②结合 c2=a2+b2,可得 故选:B. 【点评】本题考查双曲线的性质,考查余弦定理、勾股定理,考查学生的计算能力,属于中 档题. =
2 2 ,所以 7R =a ②

=



二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (2012 秋?增城市期末)函数 f(x)=lnx 的图象在点 x=1 处的切线方程是 y=x﹣1 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. .

【专题】导数的综合应用. 【分析】先 x=1 代入解析式求出切点的坐标,再求出函数的导数后代入求出 f′(1) ,即为所 求的切线斜率,再代入点斜式进行整理即可. 【解答】解:把 x=1 代入 f(x)=lnx 得,f(1)=ln1=0, ∴切点的坐标为: (1,0) , 由 f′(x)=(lnx)′= ,得在点 x=1 处的切线斜率 k=f′(1)=1, ∴在点 x=1 处的切线方程为:y=x﹣1, 故答案为:y=x﹣1. 【点评】 本题考查了导数的几何意义和直线点斜式方程, 关键求出某点处切线的斜率即该点 处的导数值,还有切点的坐标,利用切点在曲线上和切线上.

14. (2012 秋?广州期末)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a4+a5=12,则 S7 的值为 28 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题. 【分析】利用等差数列的性质可求得 a4,而 S7=7a4,从而可求得 S7 的值, . 【解答】解:∵{an}为等差数列,a3+a4+a5=12, ∴3a4=12, ∴a4=4, 又 S7=7a4=28. 故答案为:28. 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和,着重考查利用等差数列的性质,属于中档题.

15. (2013?新余二模)已知 x>0,y>0, + 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用.

+1=2,则 2x+y 的最小值为 8 .

【分析】利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵x>0,y>0, + +1=2,

∴2x+y=(2x+y) ∴2x+y 的最小值为 8. 故答案为:8.

=4+

=8,当且仅当 y=2x=4 时取等号.

【点评】本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题.

16. (2016?江西校级三模)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,A,B 是椭圆

的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 斜倾角分别为 α,β,则|tanα ﹣tanβ|的最小值为 1 . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;转化思想;不等式的解法及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆的标准方程及其性质可得:kPA?kPB=﹣ ,即 tanαtanβ=﹣ =﹣ ,由

|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|,再利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵离心率 e= = = ,



= .

设 P(x0,y0) ,椭圆顶点 A(﹣a,0) ,B(a,0) ,kPA=



kPA?kPB=





=1,∴



∴kPA?kPB=﹣



即 tanαtanβ=﹣

=﹣ , =1.当且仅当|tanα|=|tanβ|=1 时取等号.

∴|tanα﹣tanβ|=|tanα|+|tanβ|≥2

∴|tanα﹣tanβ|的最小值为 1, 故答案为:1. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、斜率计算公式,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (12 分) (2016?日照二模)已知函数 f(x)=cosx(2 是 . sinx﹣cosx)+asin2x 的一个零点

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)令 x∈[﹣ , ],求此时 f(x)的最大值和最小值.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】 (1)将 f(x)化简,将( 求周期, (2)x∈[﹣ 最小值. 【解答】解: (1)f(x)=cosx(2 = sinx﹣cosx)+asin2x=2 , sinxcosx﹣cos2x+asin2x, , ],2x﹣ ∈[ , ],由正弦函数图象求得 f(x)的最大值和 ,0)代入求得 a=1,将其化简为 f(x)=2sin(2x﹣ ) ,

sin2x﹣cos2x+asin2x,一个零点是

代入求得 a=1, ∴f(x)=2sin(2x﹣ ) ,

f(x)的最小正周期为 π, (2)x∈[﹣ , ],2x﹣ ∈[ , ],

∴f(x)的最大值为

,最小值﹣2.

【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式,二倍角公式,正弦函数的单调性的应用,属于 中档题.

18. (12 分) (2016 秋?沙河口区校级期中)如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所 在平面相交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AE=1,AB=2. (Ⅰ)求证:AB⊥平面 ADE; (Ⅱ)求凸多面体 ABCDE 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【专题】证明题;数形结合;等体积法;空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)推导出 AE⊥CD,CD⊥AD,从而 CD⊥平面 ADE,再由 AB∥CD,能证明 AB⊥平面 ADE. (Ⅱ)凸多面体 ABCDE 的体积 V=VB﹣CDE+VB﹣ADE,由此能求出结果. 【解答】证明: (Ⅰ)∵AE⊥平面 CDE,CD? 平面 CDE, ∴AE⊥CD, 又在正方形 ABCD 中,CD⊥AD,AE∩AD=A, ∴CD⊥平面 ADE, 又在正方形 ABCD 中,AB∥CD, ∴AB⊥平面 ADE.…(6 分) 解: (Ⅱ)连接 BD,设 B 到平面 CDE 的距离为 h, ∵AB∥CD,CD? 平面 CDE, ∴AB∥平面 CDE,又 AE⊥平面 CDE, ∴h=AE=1,又 ∴ 又 = , = = , = ,

∴凸多面体 ABCDE 的体积 V=VB﹣CDE+VB﹣ADE=

.…(12 分)

【点评】本题考查线面垂直的证明,考查多面体的体积的求法,是中档题,注意空间思维能 力的培养.

19. (12 分) (2014?锦州一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=p(Sn﹣an)+ (p 为大 于 0 的常数) ,且 a1 是 6a3 与 a2 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 an?bn=2n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列递推式;数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (I)当 n≥2 时,利用 an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出 an,n=1 时单独考虑,再利用等比数列 的通项公式即可得出; (II)由(I)得 ,利用“错位相减法”即可得出其前 n 项和.

【解答】解: (I)当 n=1 时, 当 n≥2 时, , ,

,得



两式相减得 an=pan﹣1,即



故{an}是首项为 ,公比为 p 的等比数列, ∴ . ,

由题意可得:2a1=6a3+a2, 化为 6p2+p﹣2=0.

解得 p= 或

(舍去) .



=



(II)由(I)得



则 +(2n﹣1)×2n+(2n+1)×2n+1, 两式相减得﹣Tn=3×2+2×(22+23+…+2n)﹣(2n+1)×2n+1 = =﹣2﹣(2n﹣1)×2n+1, ∴ .



【点评】熟练掌握:当 n≥2 时,利用 an=Sn﹣Sn﹣1,a1=S1;等比数列的通项公式,“错位相 减法”是解题的关键.

20. (12 分) (2016?江西校级三模)已知抛物线 C:x2=4y,过点 P(t,0) (其中 t>0)作互 相垂直的两直线 l1,l2,直线 l1 与抛物线 C 相切于点 Q(在第一象限内) ,直线 l2 与抛物线 C 相交于 A,B 两点. (Ⅰ)当 t=1 时,求直线 l1 的方程; (Ⅱ)求证:直线 l2 恒过定点.

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)当 t=1 时,设直线 l1 的斜率为 k,则直线 l1 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入抛物 线的方程,运用直线和抛物线相切的条件:判别式为 0,即可得到所求直线的方程;

(Ⅱ)设直线 l1 的斜率为 k,则 l1 直线的方程为 y=k(x﹣t) ,代入抛物线的方程,运用直线 和抛物线相切的条件:判别式为 0,可得 t=k,再由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求 得直线 l2 的斜率及方程,进而得到定点. 【解答】解: (Ⅰ)当 t=1 时,设直线 l1 的斜率为 k, 则直线 l1 的方程为 y=k(x﹣1) , 与抛物线方程联立
2 可得:x ﹣4kx+4k=0,

由于直线 l1 与抛物线 C 相切,所以△=16k2﹣16k=0, 求得:k=0 或 k=1,根据点 Q 在第一象限内,所以 k=1, 从而直线 l1 的方程为 x﹣y﹣1=0; 证明: (Ⅱ)设直线 l1 的斜率为 k,则 l1 直线的方程为 y=k(x﹣t) , 与抛物线方程联立
2 可得:x ﹣4kx+4kt=0,

由于直线 l1 与抛物线 C 相切,所以△=16k2﹣16kt=0,解得:t=k, 故 Q 点坐标为(2t,t ) ,所以直线 l1 的斜率为
2



又 l1⊥l2,故设 l2 的方程为: 则直线 l2 恒过定点(0,1) .

,即



【点评】本题考查抛物线和直线相切的条件,注意联立方程运用判别式为 0,考查两直线垂 直的条件:斜率之积为﹣1,以及直线方程运用,考查运算能力,属于中档题.

21. (12 分) (2015?山西三模)设函数,f(x)=lnx+ ,k∈R. (1)若曲线 y=f(x)在点(e,f(e) )处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,求 f(x)的单调递减 区间和极小值(其中 e 为自然对数的底数) ; (2)若对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2 恒成立,求 k 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 (1) 先利用导数的几何意义求出 k 的值, 然后利用导数求该函数单调区间及其极值;

(2)由题意可知,函数 f(x)﹣x 在(0,+∞)上递增,即该函数的导数大于等于零在(0, +∞)恒成立,然后转化为导函数的最值问题来解. 【解答】解: (1)由已知得 .

∵曲线 y=f(x)在点(e,f(e) )处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,∴此切线的斜率为 0. 即 f′(e)=0,有 ,解得 k=e.



,由 f′(x)<0 得 0<x<e,由 f′(x)>0 得 x>e.

∴f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,当 x=e 时 f(x)取得极小值 . 故 f(x)的单调递减区间为(0,e) ,极小值为 2. (2)条件等价于对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣x1<f(x2)﹣x2(*)恒成立. 设 h(x)=f(x)﹣x=lnx+ .

∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 由 在(0,+∞)上恒成立,

得 所以

恒成立. ( 对 k= ,h′(x)=0 仅在 x= 时成立) ,

故 k 的取值范围是[ ,+∞) . 【点评】本题考查了导数的几何意义(切线问题)以及利用导数如何研究函数单调性、极值 的基本思路,属于基础题型.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清 题号.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

22. (10 分) (2014?安阳一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:

+

=1,以 O

为极点,x 轴的正半轴极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,直线 l 的方程为:ρ(2cosθ ﹣sinθ)=6. (1)试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C1 的参数方程; (2)在曲线 C1 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】 (1)根据 x=ρcosθ,y=ρsinθ 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程,利用同角三 角函数的基本关系把曲线 C1 的直角坐标方程化为参数方程. (2)设点 P( cosθ,2sinθ) ,求得点 P 到直线 l 的距离为 d= ,

利用正弦函数的值域求得 d 的最大值. 【解答】解: (1)直线 l 的方程为:ρ(2cosθ﹣sinθ)=6,即 2x﹣y﹣6=0. 曲线 C1: + =1 的参数方程为 (θ 为参数) .

(2)设点 P(

cosθ,2sinθ) ,则点 P 到直线 l 的距离为 d=

=



故当 sin(

﹣θ)=﹣1 时,d 取得最大值为

=2



【点评】 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 点到直线的距离公式的应用, 两角和的正弦公式、正弦函数的值域,属于基础题.

[选修 4-5:不等式选讲] 23. (2015?大连二模)已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求 的最小值.

(2)若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|(|2+x|+|2﹣x|)恒成立,求实数 x 的取值范围. 【考点】绝对值三角不等式.

【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (1) 利用绝对值不等式的性质可得 =4. (2)由题意可得|2+x|+|2﹣x|≤ 值为 4,故有 x 的 范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4 的解集,解绝对值不等式求得实数 x 的取值范围. 【解答】解: (1)∵ 故 的最小值为 4. ≥ = =4, 恒成立,由于 的最小 ≥ =

(2)若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|(|2+x|+|2﹣x|)恒成立, 即|2+x|+|2﹣x|≤ 最小值. (4 分) 由(1)可知, ∴ 的最小值为 4,当且仅当(2a+b) (2a﹣b)≥0 时取等号, 的最小值等于 4. (8 分) 恒成立,故|2+x|+|2﹣x|不大于 的

∴x 的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4 的解集. 解不等式得﹣2≤x≤2,故实数 x 的取值范围为[﹣2,2]. (10 分) 【点评】本题考查查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想.


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