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四川省成都七中2010-2011学年度高一上学期期中考试(数学)


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四川省成都七中2010-2011学年度高一上学期期中考试 数学试题
考试时间:120 分钟;试卷满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,3,5},N={2,5}, 则 Venn 图中阴影部分表示的集合是 A.{5} B.{1,3} C.{2,4} D.{2,3,4}

2.函数 y=ax+2(a>0,且 a≠1)的图象经过的定点坐标是 A.(0,1) B.(2,1) C.(-2,0) D.(-2,1)

? x 2 ? 1, x ? 0 3.已知 f(x)= ? ,则 f[f(1)]的值为 ? f ( x ? 2), x ? 0

A.-1 4.设 a>0,将 A. a
1 2

B.0
a
2

C.1

D.2

表示成分数指数幂,其结果是
5 6

a ? 3 a2

B. a

C. a

7 6

D. a

3 2

5.函数 f(x)=x2+lnx-4 的零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

6.设 a=0.32,b=20.3,c=log20.3,则 A.a>b>c 7.函数 f(x)= A.3 B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b

2x ? 1 ,x∈[2,4]的最小值是 x ?1

B.4

C.5

D.6

8.若 0<loga2<1(a>0,且 a≠1),则 a 的取值范围是 A.(0,
1 ) 2

B.(

1 ,1) 2

C.(1,2)

D.(2,+∞)

9.已知 f(x)是函数 y=log2x 的反函数,则 y=f(1-x)的图象是 A. y
1

B.y
1 x 0 1 x

C.y
2 1

D.y
1

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0 1 x 0 1 x

0

1

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10.若函数 f(x)=x2-ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a 等于 A.-1 B.1 C.2 D.-2

11.已知 f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x)=ex-1(其中 e 为自然对数的底数), 则 f(ln
1 )= 2

A.-1

B.1

C.3

D.-3

12.已知 2a=3b=k(k≠1),且 2a+b=ab,则实数 k 的值为 A.6 B.9 C.12 D.18

座位号

成都七中 2010-2011 学年度上期 高 2013 级半期考试数学试题
命题人:邱 旭 审题人:肖国红、祁祖海

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.满足φ A ? {1,2,3}的集合 A 的个数是_______. 14.函数 y= 1 ? 2 x (x∈R)的值域是_______. 15.已知偶函数 f(x)满足 f(x+2)=xf(x)(x∈R),则 f(1)=______.
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16.若 y=loga(ax+2)(a>0,且 a≠1)在区间[-1,+∞)上是增函数, a 的取值范 则 围是_______. 三、解答题(本大题共 6 小题,74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知幂函数 f(x)=xα的图象经过点 A(
1 , 2 ). 2

(1)求实数α的值; (2)求证:f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=|x2-2x|. (1)在给出的坐标系中作出 y=f(x)的图象; (2)若集合{x|f(x)=a}恰有三个元素,求实数 a 的值; (3)在同一坐标系中作直线 y=x,观察图象写出不等式 f(x)<x 的解集.
y 3 2 1 -1 0 -1
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1

2

3

x

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19.(本小题满分 12 分) 目前,成都市 B 档出租车的计价标准是:路程 2 km 以内(含 2 km)按起步 价 8 元收取,超过 2 km 后的路程按 1.9 元/km 收取,但超过 10 km 后的路程 需加收 50%的返空费(即单价为 1.9×(1+50%)=2.85 元/km). (现实中要计等待时间且最终付费取整数,本题在计算时都不予考虑) (1)将乘客搭乘一次 B 档出租车的费用 f(x)(元)表示为行程 x(0<x≤60, 单位:km)的分段函数; (2)某乘客行程为 16 km,他准备先乘一辆 B 档出租车行驶 8 km,然后 再换乘另一辆 B 档出租车完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆 B 档 出租车完成全部行程更省钱?

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20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=2x 的定义域是[0,3],设 g(x)=f(2x)-f(x+2). (1)求 g(x)的解析式及定义域; (2)求函数 g(x)的最大值和最小值.

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21、(本小题满分 12 分) 已知集合 A={x|log2(x-1)<1},集合 B={x|x2-ax+b<0,a,b∈R}. (1)若 A=B,求 a,b 的值; (2)若 b=3,且 A∪B=A,求 a 的取值范围.

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22、(本小题满分 14 分) 1? x 已知函数 f(x)=log2 . 1? x (1)判断并证明 f(x)的奇偶性; (2)若关于 x 的方程 f(x)=log2(x-k)有实根,求实数 k 的取值范围; (3)问:方程 f(x)=x+1 是否有实根?如果有,设为 x0,请求出一个长度
1 为 的区间(a,b),使 x0∈(a,b);如果没有,请说明理由. 8 (注:区间(a,b)的长度为 b-a)

数学试题

参 考 答 案 及 评 分 意 见
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A C B C A D 选项 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、7; 14、{y|0≤y<1}; 15、0; 演算步骤) 17 、 1 ) 解 : ∵ f(x)=x α 的 图 象 经 过 点 A( ( (2') 即 2α

9 C

10 B

11 A

12 D

16、(1,2)。

三、解答题(本大题共 6 小题,74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或
1 , 2
2 ),∴(

1 α ) = 2 1 2

2 ,

=2

1 2







α

=-



(4') ( 2 ) 证 明 : 任 取 (6') f(x2)-f(x1)= x2 ? 2 ? x1? 2
1 1

x1,x2 ∈ (0,+ ∞ ) , 且
1 1 ? x2 x1
? x1 ? x2 x1 x2

x1<x2 , 则

?

?

x1 ? x2 。 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )

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(9') ∵ x2>x1>0 , ∴ x1-x2<0 , (11')

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x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 0 , 于 是 f(x2)-f(x1)<0 。
? 1 2

即 f(x2)<f(x1) , 所 以 f(x)= x (12') 18、解: (1)列表—描点—连线, 函数 y=f(x)的图象如右图。 (6')

在 区 间 (0,+ ∞ ) 内 是 减 函 数 。 y
3 2 1 -1 0 -1 1 2 3 x

x -1 0 1 2 3 y 3 0 1 0 3

(变换作图也可,未列表或没写变换过程,扣 2 分)

(2)由题意得,方程 f(x)=a 恰有三个不等实根, 结合直线 y=a 的图象可知,实数 a 的值为 1。 (3)作直线 y=x,如图所示。 结 合 图 象 可 得 , 不 等 式 (12') 19、解: (1)由题意得,车费 f(x)关于路程 x 的函数为: ( 0 ? x ? 2) ( 0 ? x ? 2) ?8, ? 8, ? ? f ( x) ? ? 8 ? 1.9( x ? 2), (2 ? x ? 10 ) ? ? 4 . 2 ? 1 .9 x , (2 ? x ? 10 ) ?8 ? 1.9 ? 8 ? 2.85( x ? 10 ), (10 ? x ? 60 ) ?2.85 x ? 5.3 , (10 ? x ? 60 ) ? ? (6') ( 2 ) 只 乘 一 辆 车 的 车 费 为 : f(16)=2.85 × 16-5.3=40.3( 元 ) ; (8') 换 乘 2 辆 车 的 车 费 为 : 2f(8)=2 × (4.2+1.9 × 8)=38.8( 元 ) 。 (10') ∵ 40.3>38.8 , ∴ 该 乘 客 换 乘 比 只 乘 一 辆 车 更 省 钱 。 (12') 20. 解 : ( 1 ) ∵ f(x)=2x , ∴ g(x)=f(2x)-f(x+2)=22x-2x+2 。 (3')
? 0 ? 2x ? 3 因为 f(x)的定义域是[0,3],所以 ? ,解之得 0≤x≤1。 ?0 ? x ? 2 ? 3 于 是 g(x) 的 定 义 域 为 {x|0 ≤ x ≤ 1} 。 ( 或 写 成 [0,1] , 否 则 扣 1 分 ) (6')

(9') (10')

f(x)<x

的 解 集 为 {x|1<x<3} 。



( (8')

2





g(x)=(2x)2-4

×

2x=(2x-2)2-4



∵x∈[0,1],即 2x ∈[1,2],∴当 2x=2 即 x=1 时,g(x)取得最小值-4; (10') 当 2x=1 即 x=0 时,g(x)取得最大值-3。 (12')
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21 、 解 : 1 ) 由 log2(x-1)<1 得 0<x-1<2 , 所 以 集 合 A={x|1<x<3} 。 ( (2') 由 A=B 知,x2-ax+b<0 的解集为{x|1<x<3},所以方程 x2-ax+b=0 的两根分别 为 1 和 3。
?a ? 1 ? 3 由韦达定理可知, ? , 解 得 a=4 , b=3 , 即 为 所 求 。 ?b ? 1? 3 (4') ? A 。 ( 2 ) 由 A ∪ B=A 知 , B (5') ① 当 B= φ 时 , 有 Δ =a2-12 ≤ 0 , 解 得 ? 2 3 ? a ? 2 3 ; (7') a ②当 B≠φ时,设函数 f(x)=x2-ax+3,其图象的对称轴为 x= ,则 2
? ? ? a 2 ? 12 ? 0 ? ? f (1) ? 4 ? a ? 0 ? f (3) ? 12 ? 3a ? 0 ? a ? 1? ? 3 2 ?









2 3?a?4



(11') 综 上 ① ② 可 知 , 实 数 a 的 取 值 范 围 是 [ ? 2 3 ,4] 。 (12') 1? x 22 、 解 : 1 ) 由 ( ? 0 得 -1<x<1 , 所 以 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 (-1,1) ; 1? x (2') 1? x 1? x 1? x 1? x 因为 f(-x)+f(x)=log2 +log2 =log2 =log21=0, ? 1? x 1? x 1? x 1? x 所 以 f(-x)=-f(x) , 即 f(x) 是 奇 函 数 。 (4') 1? x 1? x (2)方程 f(x)=log2(x-k)有实根,也就是方程 =x-k 即 k=x在 1? x 1? x 1? x 2 (-1,1)内有解,所以实数 k 属于函数 y=x=x+1在(-1,1)内的值域。 1? x 1? x (6') 2 2 令 x+1=t,则 t∈(0,2),因为 y=t- 在(0,2)内单调递增,所以 t- ∈(t t ∞,1)。 故 实 数 k 的 取 值 范 围 是 (- ∞ ,1) 。 (8') 1? x (3)设 g(x)=f(x)-x-1=log2 -x-1(-1<x<1)。 1? x 5 625 因 为 ( )4 ? ? 8 ? 23 , 且 y=log2x 在区间 (0,+ ∞)内单 调递增 ,所以 3 81
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5 5 5 3 1 5 3 3 log2 ( ) 4 <log22 ,即 4log2 <3,亦即 log2 < 。于是 g(- )=log2 - <0。 3 3 3 4 4 3 4 ① (10') 3 11 5 5 又 ∵ g()=log2 >1>0 。 8 5 8 8 ② (12') 1 3 3 1 由①②可知,g(- )〃g(- )<0,所以函数 g(x)在区间(- ,- )内有零点 4 8 8 4 x0 。 3 1 即 方 程 f(x)=x+1 在 (,) 内 有 实 根 x0 。 8 4 (13') 1 3 1 又该区间长度为 ,因此,所求的一个区间可以是(- ,- )。(答案不唯一) 8 8 4 (14')
思路提示:用“二分法”逐步探求,先算区间(-1,1)的中点 g(0)=-1<0(1'),由于 g(x)

1 1 )=log23- >0(2'),然后算区间 2 2 1 1 1 1 3 (- ,0)的中点 g(- )<0(3'),最后算区间(- ,- )的中点 g(- )>0(4')。 2 4 2 4 8
在(-1,1)内单调递减,于是再算区间(-1,0)的中点 g(-

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