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2.1.2数列的递推公式


知识回顾
1、数列:按一定顺序排列的一列数叫数列。

2、数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第一项(首项)第 二项,· · · · · · ,第n项, · · · · · · 。 如果数列{an}第n项an与n之间的函数关系 可以用一个公式来表示,这个公式就叫做通 向公式。

一个数列,它的项数可以是有限 的也可以是无限的,根据数列的项数 是有限的还是无限的,数列又分为有 穷数列和无穷数列。 项数有限的数列叫做有穷数列 项数无限的数列叫做无穷数列

导入新课
下面是列举的几个简单数列 1, 2, 3, 4, 5, · · ·n, · · · .(1)

1,1.4,1.41,1.414, · · ·. (2)
4,5,6,7,8,9,10. ( 3)

-1,1,-1,1, · · ·.

( 4)

2.1.2 数列的递推 公式

教学目标
知识与能力
了解递推公式是描述数列的一种 方式之一,理解递推公式的概念以及 它与数列的通项公式的区别。

过程与方法
培养学生的观察能力,归纳能力, 发现规律,掌握由数列的递推公式写 出数列的前几项。

情感态度与价值观
让学生在发现中获得成就 感,在合作中体验友情和集体 的智慧。

教学重难点
重点
数列的递推公式概念的理解及其应用。

难点
数列递推公式的发现与归纳。

观察数列{an},a1=2,a2=4,a3=8, a4=16,即a1=2,从第2项开始,每一项是它 前一项的2倍,因此该数列可以用如下方式 给出:

a1=2, an=2an-1,(n=2,3,4,…)
再如数列,由操作计算器给出: 1 cos

cos

cos

……

a1=1, an=cos(an-1),(n=2,3,4,…)

1、数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项), 且从第2项(或某一项)开始的任一项an 与它的前一项an-1(或前几项)间的关系 可以用一个公式表示,那么这个公式就 叫做这个数列的递推公式,递推公式也 是给出数列的一种方法。

a1=a, an=f(an-1),(n=2,3,4,…)

例1.已知数列{an}的第1项是2, an-1 以后各项由公式 an = 给出,写 1 - an-1 出这个数列的前5项.
2 a2 = = -2 解:a1=2, 1- 2
2 a4 = =2 5 1 - (- ) 3 2 3

-2 2 a3 = =1 - (-2) 3
2 5

2 a5 = =2 7 1 - (- ) 5

1 x 例2. 已知直线l:y=x与曲线c: y=( ) 2 (如图所示),过曲线c上横坐标为1的一点P
1

作x轴的平行线交l于Q2,过Q2作x轴的垂线交曲 线c于P2,再过P2作x轴的平行线交l于Q3,过Q3 作x轴的垂线交曲线c于P3,……,设点P1,P2, …,Pn,…的纵坐标分别为a1,a2,…,an, …,试求数列{an}的递推公式。

解:由题意,点P1的横坐标为1,纵坐标为

1 ,点Qn+1与Pn的纵坐标相同,都 2 是an,同时点 Pn+1与Qn+1的横坐标相等,
a 1=

1 x 点Pn+1在曲线c:y = ( ) 上, 2 1 an ( ) 由横坐标得它的纵坐标为 2 1 an 即 an+1 = ( 2 )
这就是数列{an}的递推公式。

例3.已知数列{an}中,a1=1,对任意自然数n都有
2 a =a + n n - 1 n(n + 1)

求 a n。

2 a -a = 分析:由已知, n n - 1 n(n + 1)
2 2 a -a = …… , a -a = n - 1 n - 2 (n - 1)n 3 2 3? 4
2 a -a = 2 1 2? 3
累加,得

? 1 1 1 1 ? + + + ... + an-a1= 2 ? ? 2?3? ? n(n +1) (n -1)n (n - 2)(n -1)

?1 1 ? = 2? ? 2 n + 1 ? ?

思考与讨论
本章图中的左图说明,一对小兔子(一雄一 雌)一个月后长成一对成年兔,有一个月后生出 一对小兔子(一雄一雌);在过一个月小兔子长 成成年兔。同时,成年兔生出一对兔子,在过一 个月小兔子长成成年兔,一次规律,每过一个月 小兔子长成成年兔,成年兔生出一对小兔子。假 定每次生出的小兔子都是一雄一雌,并且排除兔 子发生死亡的情况,这样每个兔子的对数,依次 可以排成一个数列,请写出此数列的前六项,你 能通过递推公式表示这个数列吗?

解析可得: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 发现规律
? a ?1 1 ? 得到一个公式: a ?1 ? 2 ?a ? a ?a (n ? 3) n ?1 n ? 2 ? n

结论
递推公式和通项公式区别
通项公式只有一个an 递推式可能复合有

a(n-1)之类的 一个通项公式可能有很多
递推式, 但一个递推式一般能推导出一个 通项公式

2、根据数列递推公式求取其通项通法总结
(1) a = a + f(n) 型数列。 n +1 n
此类数列解决的办法是累加法,具 体做法是将通项变形为

a - a = f(n) n +1 n

从而就有

a - a = f(1),a - a = f(2), ...,a - a = f(n - 1). 2 1 3 2 n n -1 将上述n-1个式子累加,变成

a - a = f(1) + f(2) + ... + f(n -1) n 1

例. 在数列(an)中 a = 2,a
1

= a + 2n -1, 求a . n +1 n n

解:依题意有

a2 ? a1 ? 1, a3 ? a2 ? 3 , ? a n ? a n ? 1 ? 2n ? 3

逐项累加有

a - a = 1 + 3 + ... + 2n - 3 n 1 (1 + 2n - 3)(n - 1) = 2 2 2 = (n - 1) = n - 2n + 1
从而

2 a = n - 2n + 3 n

( 2) an?1 ? an ? f(n) 型数列
此类数解决的办法是累积法,具体 做法是将通项变形为

a

a 2 = f(1), 3 = f(2), ......., n = f(n -1) a a a 1 2 n -1
将上述n-1个式子累乘,变成

a n + 1 = f(n) a na

从而就有

an = f(1) ? f(2) ? ... 进而求解。 a1

例 已知数列(an)中,求数列(an)的通项公式。

1 2n - 3 a1 = ,an = ? an-1 (n32) 3 2n + 1
解:当n≧2时,

a 2 1 a 3 3 a4 5 an 2n - 3 = , = , = ,..., = , a1 5 a2 7 a3 9 an-1 2n +1
将这n-1个式子累乘,得到 an 1? 3 = a1 (2n -1)(2n + 1)

1? 3 1 1 an = ? = 2 (2n -1)(2n + 1) 3 4n -1
当n=1时

1 1 = = a1 2 4n - 1 3

1 an = 2 4n - 1

课堂小结
1、数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项), 且从第2项(或某一项)开始的任一项an 与它的前一项an-1(或前几项)间的关系 可以用一个公式表示,那么这个公式就 叫做这个数列的递推公式,递推公式也 是给出数列的一种方法。

2、递推公式和通项公式区别 通项公式只有一个an 递推式可能复合有 a(n-1)之类的 一个通项公式可能有很多 递推式, 但一个递推式一般能推导出一个

通项公式

3、根据数列递推公式求取其通项通 法总结(具体方法略)

课堂练习
1. 根据下列各个数列{an}的首项及其递推公式,写 出数列的前5项,并归纳出通项公式:

(1)a1=0,an+1=an+(2n-1),n∈N+;
(2)a1=1,

an+1

2an = an + 2

, n ∈ N +;

解:(1)因为a1=0,an+1=an+(2n-1),

n∈N+;所以, a2=1 , a3=4, a4=9,
a5=16 ,
归纳出它的通项公式是an=(n-1)2 。

(2)a1=1, an+1

2an = an + 2

, n ∈ N +;

解: a2 = 2a1 = 2
a1 + 2 3
2a 3 2 a4 = = a3 + 2 5

2a 2 1 a3 = = a2 + 2 2
2a4 1 a5 = = a4 + 2 3

2 归纳出它的通项公式是 an = n +1

3. 数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2且n∈N+, 都有 (1)求a3+a5;

a1 ? a2 ??? an ? n

2

( 2) 256
解法1:(1)因为

是此数列中的项吗?
2

a1 ? a2 ??? an ? n 2 a1 ? a2 ??? an?1 ? (n ?1)

225

所以,两式相除得 n≥2,n∈N+,

a1 ? a2 ??? an n2 an ? ? a1 ? a2 ?? an?1 (n ? 1)2

25 9 所以 a3 ? , a5 ? 16 4
9 25 61 a3 ? a5 ? ? ? 4 16 16

解法2:(1)因为 a1 ? a2 ??? an ? n 所以 a1a2 ? 4 解得a2=4,

2

9 又 a1a2 a3 ? 9 解得 a3 ? 4 9 25 61 16 25 a3 ? a5 ? ? ? 同理可得 a4 ? , a5 ? 4 16 16 9 16

(2) 256

是此数列中的项吗?

225
解:(2)令 解得n=16.
256 n2 ? 225 (n ? 1) 2



16 n ? 15 n ? 1

256 所以 225

是此数列中的一项。

高考链接
已知数列{an}中,a1=0,a2=2,且an+1+an1=2(an+1)(n≥2),求通项公式。 解:由已知,an+1- an = an -an-1+2(n≥2),构 造新数列bn=an+1-an,则bn=bn-1+2,即数列{bn} 为公差d=2,首项b1=2的等差数列。即bn=2n, 从而an+1-an =2n。再用例3的累加法求出结果得 an=n(n-1)。

2.设数列{an}:a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9。 求通项an. 解:把已知式子变形为

an+1
an+1
从而

2an - 9 = an - 4

,令an= bn+t

2(bn + t) - 9 = bn+1 + t = bn + t - 4
2

(2 - t)bn - (t - 6t + 9) bn+1 = bn + t - 4

令t2-6t+9=0 解得 t1=t2=3

bn+1

bn =bn -1

1 bn+1
求得

1 = -1 bn

?1? ? ? 为、等差数列 b ? n?

2 6n - 5 bn = ,an = b n + 3 = 1 - 2n 2n - 1

习题答案
练习A答案(30页) 1、2,1/2,1/4,1/8. 2、3,5,7,9. 3、1,2,5/2,29/10, 941/290

练习B答案(31页)

1.不一定.若a1>0,则数列(an)是递增
数列; 若a1<0则为递减函数列;若a1=0, 则为常数数列。 2.这个数列的前十项是:1,1,2,3,5, 8,13,21,34,55. 3.a1=1/2 a2=1/4, a3=1/6, an=1/2n


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