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高一数学_1.5函数y=Asin(wx+q)的图象_图文

函数 y ? Asin(ωx ? ? ) 的图象

《北京青年报》
2002年2月24日 报道:中国第一座 高108 m的摩天轮 在锦江乐园起吊了 第一根钢质主支架. 上海这座摩天轮的 诞生将以此高度跻 身世界三大摩天轮 之列.

在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与 时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是 形y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都是常 数).
下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y 6
6 4 2 4 2

o
-2
-4 -6

2

4

6

8

x

o
-2
-4

0.01

0.0 2

0.03 0.0 4

x

-6

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

1 . 函数 y=sin(x+φ) 与y=sinx的图 象的联系

? 探究一:对y ? sin( x ? ?) 的图象的影响
画出该函数在一个周期内的图象?
y

? y 思考1: ? sin( x ? 3 ) 函数周期是多少?

? o ? ?
3 6

? 2? π
2 3

7? 6

5? 3
2π x

? y ? sin( x ? ) 3

? 思考2:比较函数 y ? sin( x ? 3 ) 与 y
y
? y ? sin( x ? ) 3

? sin x

的图象的形状和位置有什么关系?
y = sin x

? o ? ? 3 6

? 2? π
2 3

7? 6

5? 3
2π x

? 函数 y ? sin( x ? 3 ) 的图象,可以看作是 ?

把曲线 y ? sin x 上所有的点向左平移 3 个单位长度而得到的.

例、 画出函数 y ? sin( x ?
y ? sin( x ?

?
3

) ,x ∈R ,及

?
4

) ,x∈R ,的简图。

y
1
?? O 3

y ? sin( x ? ? ) 3

?
4

y=sinx ? y ? sin( x ? ) 4 2?

?

x

?1

y
1
?? O 3

y ? sin( x ? ? ) 3

?
4

?

y=sinx ? y ? sin( x ? ) 4 2?

x

?1

结论:函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把
y=sinx 的图象上所有的点向左(当 φ >0时)或
向右(当φ <0时)平移| φ |个单位而得到的。
所有的点向左( φ>0) 或向右( φ<0)平行移动

y=sinx, x∈R

y=sin(x+ φ),x∈R

| φ | 个单位长度

Φ的变化引起图象位置发生变化(左加右减)

一般地,y ? sin(x ? ?) 可看作由 y ? sinx 的图象上的所有点的横坐标向 左 (? ? 0) 或向右(? ? 0)平移 ? 个单 位,纵坐标不变,而得到的.这种 变换称为相位变换(或平移变换), ? x 它是由 的变换引起的,当? 0 ? y ? sin( 时,相位 叫做函数 x ? ?) 的 初相

(二)探索 ?对y ? sin( x ? ?)的图象的影 ? 响 .

??0

例2画出函数y=sin2x, x∈R ,y= sin 1 x,x∈R的简图
1) 列表:
2

2x

0 0

? ?
2

?

x
y

?
2

4

3? 2? 2 3? ? 4

1 x 2

0 0
x

?
2

?

3? 2? 2

x
sin 1 2

? 1

2? 3? 4? 0 ?1 0

sin 2 x 0

1

0 ?1 0
y=sin2x

0

2) 描点、连线: 1

y ? sin x

o
?1

? ? 3? 4 2 4

?

3? 2

2?

y ? sin1 x 2

4?

3?

x

y
1

y=sin2x

y ? sin x

o
?1

? ? 3? 4 2 4

?

3? 2

2?

y ? sin1 x 2

4?

3?

x

结论:函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看作是把
y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1时)或伸长 (当0<?<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的。
横坐标伸长(0 ? ? ? 1) 1 或缩短 (? ? 1) ? 倍
纵坐标不变

?

y=sinx, x∈R

y=sinω x, x∈R
2?

?决定函数的周期 T ? .

?

?函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图 象可以看作是把 y=sin x 的图象上 所有点的横坐标缩短(当?>1时)或伸 1 长(当0<?<1时) 到原来的 倍 ω (纵坐标不变) 而得到的.

3 . 函数 y=Asinx 与y=sinx的图象 的联系

A?0

1 例1 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2



列表:

x
sinx
2sinx 1 sin x 2

0 0 0 0

? 2
1

?
0 0 0

3? 2

2? 0 0 0

?1

2

?2

1 2

?1 2

2. 描点、作图:
y
2 1
O
?1 ?2
y ? 2 sin x( x ? [0,2? ])

x
sinx
2sinx 1 sin x 2

0 0 0 0

? 2
1

?
0 0 0

3? 2

2?

?1

0
0 0

2

?2

1 2

?1 2

y ? sin x( x ? [0,2? ])

? 2

?

3? 2

2?

x

1 y ? sin x( x ? [0,2? ]) 2

上述三条曲线之间的关系
想一想?

1 例1 作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的图象。 2

y
2 1
O
?1 ?2

y ? 2 sin x( x ? [0,2? ]) y ? sin x( x ? [0,2? ])

? 2

?

3? 2

2?

x

观察分析思考:

1 y ? sin x( x ? [0,2? ]) 2

同一横坐标 x 0所对应的纵坐标 y 0 有何关系??

探索:y=2sinx与 y=sinx 的图象之间的关系
y
2 1
O
?1 ?2

? 2

?

3? 2

2? x

y=2sinx 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点
的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)。

1 探索:y= 2 sinx与 y=sinx 的图象之间的关系
y
2 1
O
?1 ?2

? 2

?

3? 2

2? x

1 y ? sin x 的图象可以看作是把 y ? sin x 的图象上 2 1 所有点的纵坐标缩短到原来的 2 倍

一、函数y=Asinx(A>0)的图象
函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图象可以 看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标

伸长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时) 到原来
的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx , x∈R的值域为[-A,A],最大值 为A,最小值 为-A.

探索:y= sin2x与 y=sinx 的图象之间的关系
y
1
O
?1

?
x0 x 0 2

2? x

观察分析:

x0 在函数 y ? sin2 x( x ? [0, ? ]) 的图象上,横坐标为 2

的纵坐标同 y ? sin x上横坐标为 x 0 的点的纵坐标有什么 关系 相等

例1.画出函数 y = 3sin(2x+π/3)的简图
解:y = sinx

?? ? ? ? ? ? ?
1 2

? 各点向左平移 个单位 3

? y ? sin( x ? ) 3
? y ? si n ( x ? ) 2 3

?????????? ? ? y
3

各点( 纵坐标不变 ) 横坐标缩短到原来的

????????????
各点( 横坐标不变 )纵坐标伸长到原来的 3倍
1
?
3

?

?

?0 ?
6 12

? 2

5 ? 6

?

5? 3

? y ? 3 sin ( x ? ) 2 3
x

2?

或:y = sinx ?????????? ? ?
y
3

各点( 纵坐标不变 ) 横坐标缩短到原来的

1 2

y ? sin2x
? y ? si n ( x ? ) 2 3 ? y ? 3 sin ( x ? ) 2 3

?? ? ? ? ? ? ?

? 各点向左平移 个单位 6

????????????
各点( 横坐标不变 )纵坐标伸长到原来的 3倍
1
?0 ?
6 12

?

? 7? 2 12

?
5 ? 6

2?

x

A:图象纵向伸缩 ω:图象横向伸缩 Φ:图象左右平移 K:图象上下平移

函数y = Asin(ωx+φ),x∈R的图象可由y=sinx经 过如下变换得到: y =sinx
各点沿x轴平移( φ>0 左移, φ<0 右移)

? 个单位

y =sin(x+φ )
1

各点横坐标伸长(0< ω<1)或缩短(ω>1)到 各点纵坐标

原来的 ? 倍(纵标坐标不变)

y =sin(ωx +φ )

伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)

y=Asin(ωx+φ)

或:

y =sinx 各点横坐标伸长(0< ω<1)或缩短(ω>1)到原来的
(纵标坐标不变)
? 右移) ? 个单位

倍 ?

1

y =sinωx

各点沿x轴平移( φ>0 左移, φ<0

y =sin(ωx +φ )

各点纵坐标伸长(A>1

或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)

y=Asin(ωx+φ)

练习:
1. 要得到y=3sin(x/2 +π/6),的图象 只要将y=sinx 作怎样的平移?
解:y=sinx ?????? y=sin(x- π/6) ?横坐标伸长为原来的 ?? ?????2倍 y=sin(1/2x- π/6) ?纵坐标伸长为原来的 ?? y=3sin(1/2x- π/6) ?????3倍
向右平移 ? 个单位 6

2. 将y=2sin2x的图象作怎样的变换可 得到y=2sin(2x-π/4),的图象?
? 解:向右平移 个单位 8

右 3. 将y=3sin(3x +π/4)的图象向___ 平移 ? ______个单位便可得到y=2sin3x的图象. 12 4.已知函数y=2sin(2x +π/3)的图象每点的纵 伸长到原来的2倍 坐标_________________后,再将每点向__ ? 左 平移___ 6个单位,然后再将所得图象上每一 伸长到原来的3倍 点的横坐标__________________,求所得图 象的解析式.
解:y=sin(2x +π/3)

y=6sin(2x +π/3)

y=6sin[2(x +π/6)+ π/3]= 6sin(2x +2π/3 ) y=6sin[2(x/3) +2π/3 ]=6sin(2x/3 +2π/3 )

思考题:
要得到y=cos2x的图象,只需把 函数y=sin(2x --π/3 ) 的图象向 5? ______平移______个单位得到. 右 12
解:y=cos2x=sin(2x+π/2) =sin[2(x+5π/12)-π/3]

作y=sinx(长度为2?的某闭区间)的图象


沿x轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 得y=sinω x的图象

?倍

1

堂 小 结 :

得y=sin(x+φ) 的图象
横坐标长 或缩短

1

?



沿x轴平

移| ? |个单位

?

得y=sin(ω x+φ) 的图象

得y=sin(ω x+φ) 的图象

纵坐标伸长 或缩短A倍

纵坐标伸长 或缩短A倍

得y=Asin(ω x+φ)的图象,先在一个周期闭区 间上再扩充到R上

四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系 π π 2 2 例4 .作函数 y ? si n ( x ? )及 y ? si n ( x ? )的图象. 3 4 x
π 2x ? 3
π 6
5π 12

2π 3

11π 12

7π 6

0
0

π sin( 2 x ? ) 3
y 1 O ?1

? 2
1

?
0

3? 2
-1
π y ? sin( 2 x ? ) 3

2?
0

π 6

π 2

? x

y=sin2x

探索:y= sin2x与 y=sinx 的图象之间的关系
y
1
O
?1

?

2? x

y=sin 2x 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上
1 所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)。 2

1 探索:y=sin 2 x与 y=sinx 的图象之间的关系
y
1
O
?1

?

2?

x

1 y=sin x 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所 2

有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)。

课时小结
y 1、用“五点法”作 ? A sin x 或 y ? sin?x 的简图时,先要将周期

T T 3T 四等分,找出五个关键点: 0 、 、 、 、 然后列表描点连线 T 4 2 4

2、y ? A sin x 的图象可以看做是把正弦曲线 y ? sin x 图象经过 振幅变换而得到. 3、y ? sin?x 的图象可以看做是把正弦曲线 y ? sin x 的图象实 施周期变换而得到

课时作业:

教材 P67 B组习 题1. 2. 3

π π x 例3 作函数 y ? sin( ? ) 及 y ? sin( x ? ) 的图象. 4 3

x
π x? 3
π sin( x ? ) 3

π 3

5π 6
? 2
1 y ?
?
4 )

4π 3
?
0
π y ? sin( x ? ) 3

0
0

11π 6 3? 2
-1

7π 3

2?
0

π ? 4

1

2?

O ?1

y ? sin( x ?

π 3

x


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