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高中数学必修知识点集合与函数概念

高中数学必修知识点集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法
N 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集,Q 表示

有理数集, R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集 合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合 叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集( ? ). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图

(1)A ? A
A? B

(2) ? ? A A 中的任一元 (3) 若 A ? B 且 B ? C , 则 素都属于 B
A?C
B

A(B)

子集

(或
B ? A)



A

(4)若 A ? B 且 B ? A , 则 A? B A?B 真子 集
?

A? B

(A 为非空子集) A , 且 B (1)?? ?
B A

(或

B 且 B ? C ,则 A ? C 中至少有一元 (2)若 A ? ? ? ?

B ? A) 素不属于 A ? A 中的任一元

集合
A? B

素都属于 B, (1)A ? B
A(B)

相等

B 中的任一元 (2)B ? A 素都属于 A

(7)已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2 n 个子集,它有 2 n ? 1 个真子 集,它有 2 n ? 1 个非空子集,它有 2 n ? 2 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名 称 记 意义 号 (1 ) A ? A ? A 交 集
A? B
{x | x ? A, 且
x ? B}

性质

示意图

(2 ) A ? ? ? ?
A B

(3 ) A ? B ? A
A? B ? B

(1 ) A ? A ? A 并 集
A? B
{x | x ? A, 或
x ? B}

(2 ) A ? ? ? A
A B

(3 ) A ? B ? A
A? B ? B


?U A

{x | x ?U , 且x ? A}

痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B) 痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B)

1

A ? (? U A) ? ?



2 A ? (?U A) ? U

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式
| x |? a(a ? 0) | x |? a(a ? 0)

解集
{x | ?a ? x ? a} x | x ? ?a 或 x ? a}

把 ax ? b 看 成 一 个 整 体 , 化 成
| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0)
| x |? a , | x |? a(a ? 0) 型不等式来求

解 (2)一元二次不等式的解法 判别式
??0
? ? b ? 4ac
2

??0

??0

二次函数
y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
O

的图象

一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac 2a

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

的根
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

(其中 x1 ? x2 )
b } 2a

的解集
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

R

{x | x1 ? x ? x2}

?

?

的解集 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集 合 A 中任何一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应, 那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做 集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A ? B . ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函 数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数,且 a ? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭 区间,记做 [a, b] ;满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做
b (a, b) ; 满足 a ? x ? b , 或 a ?x ?

的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,

分别记做 [a, b) , (a, b] ;满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分

别记做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) . 注意: 对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 (a, b) , 前者 a 可以大于或等于 b , 而后者必须
a?b, (前者可以不成立,为空集;而后者必须成立) .

(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的 集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时, 底数须大于零且不等于 1. ⑤ y ? tan x 中, x ? k? ? (k ? Z ) .
2

?

⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时, 则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x) 的定义 域为 [a, b] , 其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对 字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符 合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事 实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是 函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同 的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值 域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和, 然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法: 若函数 y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二 次方程 a( y) x2 ? b( y) x ? c( y) ? 0 ,则在 a( y) ? 0 时,由于 x, y 为实数,故 必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值. ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代 换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系 确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法: 利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. 【1.2.2】函数的表示法 (5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表

法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就 是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念 ①设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中 任何一个元素, 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应, 那么这样的 对应 (包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的对应法则 f ) 叫做集合 A 到 B 的 映射,记作 f : A ? B . ②给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元 素 b 对应,那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的 原象. 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 定义 性 质 图象 判定方法

如果对于属于定义 域 I 内某个区间上 的任意两个自变量 的值 x1、 x2,当 x < x 1 2 . . . . .
y y=f(X)

(1) 利用定义 (2) 利用已知 函数的单调性 (3) 利用函数
f(x2)








f(x1 )

图象(在某个 区间图
x

f(x )<f(x ) ,那么 1 2 . . . . . . . . . . . 就 说 f(x) 在 这 个 区间上是增函数 . ... 函数的

o

x1

x2

象 上 升 为 增) (4) 利用复合 函数

单调性 (1) 利用定义 如果对于属于定义 (2) 利用已知 域 I 内某个区间上 函数的单调性 的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x < 1 . . . x 时 , 都 有 2 . . f(x )>f(x ) ,那么 1 2 . . . . . . . . . . . 就 说 f(x) 在 这 个 区间上是减函数 . ... (4) 利用复合 函数 ②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和 是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增 函数为减函数.
y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

(3) 利用函数 图象(在某个
x2

o

x1

x

区间图 象下降为减)

③对于复合函数 y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增,u ? g ( x) 为 增,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为减,u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为增,u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为减;若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减. (2)打“√”函数 f ( x) ? x ? (a ? 0) 的图象与性质
f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,

a x

y

分别在 [? a ,0) 、 (0, a ] 上为减函数. (3)最大(小)值定义
o
x

①一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如 果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M .那么,我们称 M 是函数 f ( x) 的 最大值,记作 f max ( x) ? M . ②一般地, 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I , 如果存在实数 m 满足: (1) 对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? m ; (2) 存在 x0 ? I , 使得 f ( x0 ) ? m . 那 么,我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值,记作 fmax ( x) ? m . 【1.3.2】奇偶性 (4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 定义 性 质 图象 判定方法

如 果 对 于 函 数 f(x)定义域内任意 一个 x,都有 . f( - . . x)= - f(x) , 那么函 . . . . . . . . 数 f(x) 叫 做 奇 .函 . 数 . . 函数的 奇偶性 如 果 对 于 函 数 f(x)定义域内任意 一个 x,都有 . f( - . . x)= f(x) ,那么函数 . . . . . . . f(x)叫做偶函数 . ...

(1) 利用定义 (要先判断定 义域是否关于 原点对称) (2) 利用图象 (图象关于原 点对称) (1) 利用定义 (要先判断定 义域是否关于 原点对称) (2) 利用图象 (图象关于 y 轴对称)

②若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同, 偶函数在 y 轴两侧 相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是 偶函数(或奇函数) ,两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶 函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数. 〖补充知识〗函数的图象 (1)作图

利用描点法作图: ①确定函数的定义域; 式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; 象. 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函 数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) h?0,右移|h|个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k k ?0,下移|k|个单位

②化解函数解析

④画出函数的图

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换
x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x) 原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)
y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f ( ? x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋 势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注

意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了 “形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工 具.要重视数形结合解题的思想方法.


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