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湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试数学(文)试卷


湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三五月第二次模拟考试

数学(文)试卷
1.如果复数 (2 ? bi)i (其中 b ? R )的实部与虚部互为相反数,则 b =( A.2 2.已知命题 p : ?x0 ?R , 2 A. ?x ? R , 2 ? 1
x x0

) D. 1

B. ?2

C. ?1 ) B. ?x ? R , 2 ? 1
x

? 1 .则 ?p 是(

C. ?x0 ?R , 2

x0

?1

D. ?x0 ?R , 2

x0

?1

3. a ? 2 ”是“直线 y ? ? ax ? 2与y ? “

a x ? 1 垂直”的( 4

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 样本中共有 5 个个体,其中四个值分别为 0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本的平均 值为 1,则样本方差为( ) A.

30 5

B.

6 5

C. 2

D.2

5.若函数 f ( x) ? loga ( x ? b) 的图象如右图 1,其中 a, b 为常数.则函数

y

1

g ( x) ? a x ? b 的大致图象是(
y y



?1 o
y y

1 ?1

x

1
?1 o

1 ?1

x

?1

1

1

?1

1

1

1

图1

?1

o
B.

x

?1

o
C.

x

?1 ?1

o
1
D. )

x

A. 6.已知 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

6 ? ? ), 若 f ( x0 ) ? , x0 ? [ , ] ,则 cos 2x0 ? ( 6 5 4 2
B.

A.

3? 4 3 10

?3 ? 4 3 10

C.

3? 4 3 10

D.

?3 3 ? 4 10
1 AB, 4

7. 在平行四边形 ABCD 中,AB ? 2, AD ? 3, ?A ? 30? , 点 M 在 AB 边上,AM ? 则 DM ? DB ? ( A. ?1

???? ??? ? ?

)新-

课-标- 第-一 -网

B. 1

C.

1 4

D. ?

1 4

8.设 x, y ? R , a ? 1, b ? 1 ,若 a ? b ? 2 , a ? b ? 4 ,则
x y 2

2 1 ? 的最大值为( x y

)

A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知函数 f ( x) ( x ? R) 是偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? 1 ? x , 则方程 f ( x) ? A.8

1 在区间 [?10 , 10] 上的解的个数是( ?| x|
B.9 C.10

) D.11

x2 y 2 10.已知 F1 , F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右焦点, A 是椭圆上一动点,圆 C 与 F1 A 的 4 3
延长线、 F1F2 的延长线以及线段 AF2 相切,若 M (t ,0) 为一个切点,则( )

A. t ? 2 B. t ? 2 C. t ? 2 D. t 与 2 的大小关系不确定. 11.一个学校高三年级共有学生 600 人,其中男生有 360 人,女生有 240 人,为了调查高三 学生的复习状况,用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为 50 的样本,应 抽取女生 人. 12.在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则 ?PAB 的面积大于 _________. 13 . 已 知 集 合 M ? x | x ? 4 | ? | x ? 1|? 5 , N ? x a ? x ? 6

1 的概率是 4

?

?

?

?

, 且 M ? N ? ? 2, b? , 则

a ? b ? _________.
14.执行如右下图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为 15.已知某几何体的三视图如下,则该几何体体积为
2 2 2 2




开始 输入 x

3

1

1

x=y


y=2x+1 |x-y|>8

正视图
2 2

侧视图

是 输出 y 结束

俯视图 (第 15 题图)

(第 14 题图)

? x ? 2 y ? ?2 ? 16.设 z ? x ? 2 y ,其中 x, y 满足约束条件 ?3 x ? 2 y ? 3 ,若 z 的最小值 1 ,则 ? kx ? y ? 1 ?
(Ⅰ 的值为 )k ; ) z 的最大值为 (Ⅱ . 17.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是 由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的

正六边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 ,按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 ,使 它 构 成 更 大 的 正 六 边形 ,依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有 __________颗珠宝;则第 n 件 首 饰 所 用 珠 宝 总 数 为 ________________颗.(结果用 n 表示) 18. (本题满分 12 分)X|k |B | 1 . c |O |m 在等差数列 ?an ? 中, 1 ? 3 , 其前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, 1 ? 1 , a b 公比为 q ,且 b2 ? S2 ? 12, q ? (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)数列 ?cn ? 满足 c n ?

S2 . b2

1 ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . Sn

19. (本题满分 12 分) 在如图所示的组合体中, 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 ABB1 A1 是圆柱的轴截 面, C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合的一个点. (Ⅰ)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1 BC ? 平面 A1 AC ; (Ⅱ)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1 ? BCC1B1 与圆柱的体积比.

20. (本题满分 13 分) 如图,某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线段 FBC.该曲线段是函数 y ? A sin(? x ?

2π ) ? A ? 0, ? ? 0? , x ?[?4,0] 时的图象,且图象的最 3

高点为 B(?1, 2) ,赛道的中间部分为长 3 千米的直线跑道 CD, CD // EF ; 且 赛道的后
? 一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE .

(Ⅰ)求 ? 的值和 ?DOE 的大小; (Ⅱ)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个 “矩形草坪”,矩形的一边在道路 EF 上,一个顶点在
? 半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上,求“矩形

草坪”面积的最大值,并求此时 P 点的位置.

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x 1 的图象为曲线 C , 函数 g ( x) ? ax ? b 的图象为直线 l . x 2

(Ⅰ) 当 a ? 2, b ? ?3 时, 求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值; (Ⅱ) 设直线 l 与曲线 C 的交点的横坐标分别为 x1 , x2 , 且 x1 ? x2 , 求证:

( x1 ? x2 ) g ( x1 ? x2 ) ? 2 .

22. (本题满分 14 分) 抛物线 P : x 2 ? 2 py 上一点 Q(m, 2) 到抛物线 P 的焦点的距离为 3, A, B, C , D 为抛物 线的四个不同的点,其中 A 、 D 关于 y 轴对称, D( x0 , y0 ) , B( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ,

? x0 ? x1 ? x0 ? x2 ,直线 BC 平行于抛物线 P 的以 D 为切点的切线.
(Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)证明: ?CAD ? ?BAD ; (Ⅲ) D 到直线 AB 、 AC 的距离分别为 m 、 n ,且 m ? n ? 为 48,求直线 BC 的方程. 选择填空:BAADD CCBCB 11.20 12.

2 AD , ?ABC 的面积

1 2

13.7

14.23

15. 4 ?

5? 2

16.1 ,7

17.66,

2n2 ? n

1. 【解析】 (2 ? bi)i ? b ? 2i ,故选 B. 2. 【解析】特称命题的否定是全称命题,故选 A.

a a x ? 1 垂直,则 ?a ? = ? 1 ,即 a ? ?2 ,选 A. 4 4 1 2 2 2 2 2 4. 【解析】有题意可得第五个值为 ?1 ,方差为 [(?2) ? (?1) ? 0 ? 1 ? 2 ] ? 2 .选 D. 5
3. 【解析】若直线 y ? ? ax ? 2与y ? 5. 【解析】由图 1 知 0 ? a ? b ? 1, 故选 D. 6. 【解析】? f ( x0 ) ?

6 ? 3 ? ? ? 4 , ? sin(2 x0 ? ) ? , ? x0 ? [ , ],? cos(2 x0 ? ) ? ? , 5 6 5 4 2 6 5

? cos 2 x0 ? sin(2 x0 ?

?

? ) ? sin(2 x0 ? ) cos ? cos(2 x0 ? )sin ? 6 3 6 3 6 3

?

?

?

?

?

3? 4 3 . 选 C. 10

7. 【解析】法一: DM ? DB ? ( DA ?

???? ??? ? ?

??? ?

? ? ? ? ? 1 ??? ??? 1 ???? ??? ??? 1 ??? 2 1 AB) ? DB ? ( AD ? DB) ? DB ? DB ? . 4 4 4 4.

法 二: 以 D 为原 点, DA, DB 所 在的 边分 别为 x轴, y轴, 立平面 直角 坐标 系,则 建

A( 3, 0), B(0, M ( 1),

? ? 3 1 ???? ??? 1 , ), DM ? DB ? . 故选 C. 4 4 4
1 1 ? log 2 a , ? log 2 b , x y

8. 【解析】由题意得:

2 1 a2 ? b 2 ? ? 2log 2 a ? log 2 b? log 2 a 2b ? log 2 ( ) ? 2, 故选 B. x y 2 9. 【解析】由题意可得 f (4 ? x ) ? f (? x ) ? f ( x ),? 函数的周期是 4, 可将问题转化为
y ? f ( x) 与 y ?

1 在区间 [?10 , 10] 有几个交点. 画图知,有 10 个交点,选 C. ?| x|

10. 【解析】设圆 C 与直线 F1 A 的延长线、 AF2 分别相切于点 P, Q, 则由切线的性质可知:

AP ? AQ, F2Q ? F2 M , F1P ? F1M ,? F2 M ? F2Q ? AF2 ? AQ ? 2a ? AF1 ? AP ? 2a ? F1M , ? MF1 ? MF2 ? 2a,?t ? a ? 2. 故选 B.
11. 【解析】 50 ?

240 ? 20 .新课 标第 一 网 600

12. 【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率,以 AB 为底边,要使 ?PAB 的面积大 于

1 ,则为 P 点到 AB 的距离 h ? 1 ,∴概率为 1 . 2 2 4

13. 【解析】 M ? {x 0 ? x ? 5},?a ? 2, b ? 5 ,? a ? b ? 7. 14. 【解析】 x ? 2, y ? 5,| 2 ? 5 |? 8否 ,∴ x ? 5 , y ? 11 , | 5 ? 11|? 8否 ,∴ x ? 11 , y ? 23 ,

|11 ? 23 |? 8 ,∴输出 y,∴ y ? 23 .
15. 【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分 体的体积为 2 ? 2 ?1 ? 3? ?

?
2

? 4?

5? . 2

? ,所以该几何 2

16. 【解析】作出不等式组表示的平面区域,由题意可知直线 kx ? y ? 1 过点 (1,0),? k ? 1.
当直线 x ? 2 y

5 9 ? t 过点 ( , ) 时, z 有最大值 7. 2 4

17. 【解析】设珠宝数构成了一个数列{an},则有 a1=1,a2=a1+5=6,a3=a2+5+4=15, a4=a3+5+2× 4=28,a5=a4+5+3× 4=45,a6=a5+5+4× 4=66,…, an=an-1+5+4(n-2),所以 an=a1+5(n-1)+4[1+2+3+…+(n-2)]=2n2-n.

18. 【解答】 (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6 ? d 解得 q ? ?4 (舍)或 q ? 3 , d ? 3 . 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ?
故 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n (Ⅱ)? Sn ? , bn ? 3n?1 .

n(3 ? 3n) 2 2 1 1 ,? Cn ? ? ( ? ), 2 n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

?Tn ?

2? 1 1 1 1 1 ? 2 1 2n ?(1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ? n ? 1) ? ? 3 (1 ? n ? 1) ? 3(n ? 1) . 3? ?

19. 【解答】 (Ⅰ)∵侧面 ABB1 A 是圆柱的的轴截面, C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重 1 合的一个点,∴ AC ? BC , 又圆柱母线 AA1 ?平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,∴ AA1 ? BC , 又 AA1 ? AC ? A ,∴ BC ?平面 A AC , 1 ∵ BC ? 平面 A BC ,∴平面 A BC ? 平面 A AC ; 1 1 1 (Ⅱ)设圆柱的底面半径为 r ,母线长度为 h , 当点 C 是弧 AB 的中点时, AC ? BC ? 2r,

1 2 VA1 ? BCC1B1 ? ? ( 2r ) ? ( 2r ) ? h ? r 2 h , 3 3

V圆柱 =? r 2h ,

∴ VA1 ?BCC1B1:V圆柱 =2:3? .

20. 【解答】 (Ⅰ)由条件,得 A ? 2 ,

T 2π π ,∴ ? ? . ? 3. ∵T ? 4 ? 6

π 2π ∴ 曲线段 FBC 的解析式为 y ? 2sin( x ? ) . 6 3 π π 当 x=0 时, ? OC ? 3 . CD= 3 , ?COD ? ,即?DOE ? . 又 ∴ y 4 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 OD ? 6 .当“矩形草坪”的面积最大时, 点 P 在弧 DE 上,故 OP ? 6 .

π 设 ?POE ? ? , 0 ? ? ≤ ,“矩形草坪”的面积为 4
S ? 6 sin ?

?

6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ?

?

1 1 1 π = 6( sin 2? ? cos 2? ? ) ? 3 2 sin(2? ? ) ? 3 . 2 2 2 4
π π π π ∵ 0 ? ? ≤ ,故 当2? ? ? 时,? = 时,S 取得最大值 3 2 ? 3 . 4 4 2 8
21. 【解答】(Ⅰ)? a ? 2, b ? ?3 ? F ( x) ?

ln x ? x?3 x

F ?( x) ?

1 ? ln x 1 ? ln x ? x 2 ?1 ? ? 0 ? x ? 1 xK b1. Co m x2 x2

x ? (0,1), F ?( x) ? 0, F ?( x) 单调递增, x ? (1,??), F ?( x) ? 0, F ?( x) 单调递减,

F ( x) max ? F (1) ? 2
(Ⅱ)不妨设 x1 ? x 2 ,要证 ( x1 ? x 2 ) g ( x1 ? x 2 ) ? 2 , 只需证 ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? b ? ? 2

?1 ?2

? ?

(﹡)

?

ln x1 1 ln x2 1 ? ax1 ? bx1 , ? ax2 ? bx2 , x2 2 x1 2
1 a( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? b( x2 ? x1 ) , 2

? ln x2 ? ln x1 ?

将(﹡)两边同乘以 x2 ? x1 得,

?1 ? ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? b( x2 ? x1 ) ? ? 2( x2 ? x1 ) , ?2 ?
只需证 ( x2 ? x1 )(ln x2 ? ln x1 ) ? 2( x2 ? x1 ) ,即证 ( x2 ? x1 ) ln

x2 ? 2( x2 ? x1 ) , x1

令 H ( x) ? ( x ? x1 ) ln

x ? 2( x ? x1 ) , x ? ( x1 ,??) , x1 x x x ? 2( x ? x1 ) ? 0 ? H ( x1 ) , H ?( x) ? ln ? 1 ? 1 , x1 x1 x


只需证 H ( x) ? ( x ? x1 ) ln

令 G ( x) ? ln

x x1 x ? x1 ? ? 1 ,? G ?( x) ? ?0 x1 x x2

? G (x) 在 x ? ( x1 ,??) 单调递增. ? G ( x) ? G ( x1 ) ? 0 ,即 H ?( x) ? 0 ,? H (x) 在 x ? ( x1 ,??) 单调递增.

? H ( x) ? H ( x1 ) ? 0 ,即 H ( x) ? ( x ? x1 ) ln ? ( x1 ? x 2 ) g ( x1 ? x 2 ) ? 2 .
22. 【解答】 (Ⅰ)? |QF|=3=2+

x ? 2( x ? x1 ) ? 0 , x1

p , ? p =2. 2
1. c om

(Ⅱ)? 抛物线方程为 x 2 ? 4 y ,X k B

2 2 2 x0 x0 x12 x2 A( ? x 0 , ), D( x 0 , ), B( x1 , ) ,C( x 2 , ), 4 4 4 4
2 x12 x2 ? x x ?x ? 4 4 ? 1 2 ? 0 ,? x1 ? x2 ? 2x0 , x1 ? x2 4 2

? y? ?

x ? kBC 2

? k AC

2 2 2 x2 x0 x12 x0 ? ? x ?x x ?x ? 4 4 ? 2 0 , , k AB ? 4 4 ? 1 0 , , x2 ? x0 4 x1 ? x0 4

x2 ? x0 x1 ? x 0 x 1 ? x2 ? 2 x0 ? ? ?0, 4 4 4 所以直线 AC 和直线 AB 的倾斜角互补, ??BAD ? ?CAD . (Ⅲ)设 ?BAD ? ?CAD ? ? , ? k AC ? k AB ?
则 m=n=|AD|sin ? , ? sin ? ?

2 ? ? ,?? ? (0. ) ?? ? , 2 2 4

? l AC

2 2 x0 x0 :y? ? x ? x0 即 y ? x ? ? x0 , 4 4 2 x0 2 ? x0 与抛物线方程 x 2 ? 4 y 联立得: x 2 ? 4x ? 4x0 ? x0 ? 0 , 4

把 l AC : y ? x ?

2 ? ? x0 x2 ? ?4 x0 ? x0 ,? x2 ? x0 ? 4 ,同理可得 x1 ? x0 ? 4 ,

? ? x0 ? x0 ? 4 ? x0 , ? x0 ? 2,
? S ?ABC ? 1 1 2 | AB || AC |? 2 (4 ? 2 x0 ) 2 (2 x0 ? 4) ? 4( x0 ? 4) ? 48 , 2 2

? x0 ? 4 ,? B(0,0) ? l BC : y ? 2 x .
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