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对数函数的图像和性质教学设计[1]


《对数函数图像及其性质》教学设计
一、教学目标
(1) 理解对数函数的概念、掌握对数函数的图象和性质. (2) (3) (4) (5) 培养学生自主学习、综合归纳、数形结合的能力. 培养学生用类比方法探索研究数学问题的素养; 培养学生对待知识的科学态度、勇于探索和创新的精神. 在民主、和谐的教学气氛中,促进师生的情感交。

二、教学重点、难点和关键
重点:对数函数的概念、图象和性质;在教学中只有突出这个重点,才 能使教材脉络分明,才能有利于学生联系旧知识,学习新知识. 难点:底数 a 对对数函数的图象和性质的影响; 关键:对数函数与指数函数的类比教学 [关键] 由指数函数的图象过渡到对数函数的图象,通过类比分析达到深刻地 了解对数函数的图象及其性质是掌握重点和突破难点的关键, 在教学中一定要使 学生的思考紧紧围绕图象,数形结合,加强直观教学,使学生能形成以图象为根 本,以性质为主体的知识网络,同时在例题的讲解中,重视加强题组的设计和变 形,使教学真正体现出由浅入深,由易到难,由具体到抽象的特点,从而突出重 点、突破难点.

三、教学手段:TI 图形计算器与计算机相结合辅助教学 四、教学方法:
(1)启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳. (2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法. (3)体现“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法. (4)多媒体课件演示法.

五、学法:
(1)对照比较学习法:学习对数函数,处处与指数函数相对照. (2)探究式学习法:学生通过分析、探索,得出对数函数的定义. (3)自主性学习法:通过实验画出函数图象、观察图象自得其性质. (4)反馈练习法:检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其差距

六、教学过程设计
教学流程: 背景材料→ 引出课题 → 函数图象→ 小结 函数性质 →问题解决→归纳

(一)熟悉背景、引入课题
如图 4—2 材料:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个 ??,

如果要求这种细胞经过多少次分裂, 大约可以得到细胞 1 万个, 10 万个 ??, 不难发现:分裂次数 y 就是要得到的细胞个数 x 的函数,即 y ? log2 x ;

图 4—2 1.引导学生观察这些函数的特征:含有对数符号,底数是常数,真数是变量, 从而得出对数函数的定义:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其 中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如: 注意:○

y ? 2 log2 x , y ? log 5
且 a ? 1) .

x 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 , 都不是对数函数.○ 5

3.根据对数函数定义填空; 例 1 (1)函数 y=logax 的定义域是___________ (其中 a>0,a≠1) (2) 函数 y=loga(4-x) 的定义域是___________ (其中 a>0,a≠1) (3)y=loga(9-x2) 的定义域是___________ (其中 a>0,a≠1) 说明:本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制,加深对概念的理 解,所以把教材中的解答题改为填空题,节省时间,点到为止,以避 免挖深、拓展、引入复合函数的概念。
2

(二)尝试画图、形成感知
1.确定探究问题 教师:当我们知道对数函数的定义之后,紧接着需要探讨什么问题? 学生 1:对数函数的图象和性质 教师:你能类比前面研究指数函数的思路,提出研究对数函数图象和性质的方 法吗? 学生 2:先画图象,再根据图象得出性质 教师:画对数函数的图象是否象指数函数那样也需要分类? 学生 3:按 a ? 1 和 0 ? a ? 1 分类讨论

教师:观察图象主要看哪几个特征? 学生 4:从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图 教师:在明确了探究方向后,下面,按以下步骤共同探究对数函数的图象: 步骤一: (1)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 y ? log2 x y ? log 1 x
2

(2)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 y ? log3 x y ? log1 x
3

步骤二:观察对数函数 y ? log2 x 、 y ? log3 x 与 y ? log 1 x 、 y ? log1 x 的图象特
2 3

征 ,看看它们有那些异同点。 步骤三:利用计算机,选取底数 a (a ? 0 ,且 a ? 1) 的若干个不同的值,在同一 平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象,它们有哪些共 同特征? 步骤四:规纳出能体现对数函数的代表性图象 步骤五:作指数函数与对数函数图象的比较 2.学生探究成果 (1)如图 4—3、4—4 较为熟练地用描点法画出下列对数函数 y ? log2 x 、

y ? log 1 x 、
2

y ? log3 x 、 y ? log1 x 的图象
3

图 4—3

图 4—4 (2)如图 4—5 学生选取底数 a =1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10,并推 荐几位代表上台演示‘几何画板’ ,得到相应对数函数的图象。由于学生 自己动手,加上‘几何画板’的强大作图功能,学生非常清楚地看到了 底数 a 是如何影响函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 图象的变化。

图 4—5 (3)有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验,学生很明确 y = loga x (a>1) 、y = loga x (0<a<1) 的图象代表对数函数的两种情形。 (图 4—6)

y = loga x

(a>1) 图 4—6

y = loga

x

(0<a<1)

(4)学生相互补充,自主发现了图象的下列特征:①图象都在 y 轴右侧,向 y 轴正负方向无限延伸;②都过(1、0)点;③当 a>1 时,图象沿 x 轴正向逐 步上升;当 0<a<1 时,图象沿 x 轴正向逐步下降;④图象关于原点和 y 轴不 对称,并且能从图象的形状、位置、升降、定点等角度指出指数函数与对数 函数的图象区别;如图 4—7

图 4—7

3. 拓展探究: (1) 对数函数 y ? log2 x 与

y ? log3 x 与 y ? log 1 x 、
2

y ? log1 x
3

的图象有怎样的对称关系? (2)对数函数 y = loga x (a>1) ,当 a 值增大,图象的上升“程 度”怎样? 说明: 这是学生探究中容易忽略的地方, 通过补充学生对对数函数图象感 性认识就比较全面。

(三)理性认识、发现性质
1.确定探究问题 教师:当我们对对数函数的图象有了直观认识后,就可以进一步研究对数函 数的性质,提高我们对对数函数的理性认识。同学们,通常研究函数 的性质有哪些途径? 学生:主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。 教师:现在,请同学们依照研究函数性质的途径,再次联手合作,根据图象 特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性 质 2.学生探究成果

在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格: 函 y = loga x (a>1) y = loga x 数

(0<a<1)





定义域 值 域

R+ R 在(0,+ ?)上是增函数 (1,0)即 x=1,y=0 0<x<1 时,y<0 x>1 时,y>0

R+ R 在(0,+ ?)上是减函数 (1,0)即 x=1,y=0 0<x<1 时,y>0 x>1 时,y<0

单调性 过定点 取值范围

(四)探究问题、变式训练
例 2:比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 23.4 , log 28.5 (2)log
0.3

1.8 , log

0.3

2.7

独立思考:1。构造怎样的对数函数模型?2。运用怎样的函数性质? 小组交流: (1) y ? log2 x 是增函数 (2)y=log0.3x 是减函数 变式训练:1. 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log106 ⑶ log0.10.5 log108 log0.10.6 ⑵ log0.56 ⑷ log1.50.6 log0.54 log1.50.4

2.已知下列不等式,比较正数 m,n 的大小: (1) log
3

m < log

3

n

(2) log (0<a<1)

0.3

m > log 0.3 n (a>1)

(3) log a m < loga n

(4) log a m > log a n

(五)归纳小结、巩固新知
1.议一议: (1)怎样的函数称为对数函数? (2)对数函数的图象形状与底数有什么样的关系? (3)对数函数有怎样的性质?

2.看一看:对数函数的图象特征和相关性质

对数函数的图象特征
a ?1 0 ? a ?1 函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,0) 自左向右看, 自左向右看, 图象逐渐上升 图象逐渐下降 第一象限的图 第一象限的图 象纵坐标都大 象纵坐标都大 于0 于0 第二象限的图 第二象限的图 象纵坐标都小 象纵坐标都小 于0 于0

对数函数的相关性质
a ?1 0 ? a ?1 函数的定义域为(0,+∞) 非奇非偶函数 函数的值域为 R

log1 a ?0
增函数 减函数

x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0

x ? 1, loga x ? 0

(六) 、 布置作业教学反思函数内容是学生学习上的一个难点,本节课的教学设计能通
过实例,渗透数学方法和思想,与指数函数的类比学习,注重学生探究学习的过程。能够根 据教学内容、学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计,突出教师的指导 和学生自主探究、合作交流的学习理念,使学生对概念的产生、图象的形成过程有了较深入 的理解。通过对对数函数的图象和性质的研究,对底数 a 的分类讨论,以达到突破难点的目 的。通过例题的分析和讲解、学生的练习,使函数的图象和性质得到初步应用。活动八补充 的思考题是让层度较好的同学去完成, 如果课堂时间不允许, 可将此部份内容留给学生课后 去完成。


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