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空间向量法解决立体几何问题1


河北蒙中高三理科数学

NO:0 76

使用时间:2014 年





主备人:

课题 学习目标

空间向量法解决立体几何问题 1

1、理解平面的法向量的概念,并会求平面的法向量;
2、了解平面法向量的应用,并能用法向量解决相关的立体几何问题。 1、理解平面的法向量的概念,并会求平面的法向量;2、了解平面法向量的应用,并能用法向量解决 相关的立体几何问题。 导 学 过 程 备 于平面α ,记作 n⊥α, n 注

重点难点

基础自测:如果表示向量 n 的有向线段所在的直线垂直于平面α ,称这个向量 这时 叫做平面α 的法向量. 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图,设 a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α 内的两个不共 a 线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a b 且 n⊥b,则 n⊥α .换句话说,若 n·a = 0 且 n·b = 0,则 n⊥α .可按如下步骤求出平面的法向量的坐标. 第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z). 第二步(列):根据 n·a = 0 且 n·b = 0 可列出方程组 ?

? x1 x ? y1 y ? z1 z ? 0 ? x2 x ? y2 y ? z2 z ? 0
). :

第三步(解):把 z 看作常数,用 z 表示 x、y. 第四步(取):取 z 为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量 n 的坐标, 则 λ=(
1.判定直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线 a,b 的方向向量分别为 a ,b. ①若 a∥b,即 ,则 a∥b.②若 a⊥b,即 = 0,则 a⊥b

a

a b
(2)直线与平面的位置关系 直线 L 的方向向量为 a,平面α 的法向量为 n,且 L 不在α .内 ①若 a∥n,即 , 则 L⊥ α ②若 a⊥n,即 ,则 a ∥ α .

b

n

a L

L

n

a

(3)平面与平面的位置关系 平面α 的法向量为 n1 ,平面β 的法向量为 n2 ①若 n1∥n2,即 ②若 n1⊥n2,即 ,则α ∥β ,则α ⊥β

长风破浪会有时,直挂云帆济沧海

1

审核人: (I)A1E ⊥平面 DBC1;

班级:

姓名:

小组:

组内编号:

教师评价:

例 1 棱长都等于 2 的正三棱柱 ABC-A1B1C1,,D,E 分别是 AC,CC1 的中点,求证: (II)AB1 ∥ 平面 DBC1

练习:1、在正方体

ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别是 BB1 , CD 的中点,求证 D1F ? 平面 ADE .

2、两个边长为 1 的正方形 ABCD 与正方形 ABEF 相交与 AB, ?EBC ? 90 .M,N 分别为 BD,AE 上的点,且 AN=DM,(1)求
0

证:MN//平面 EBC; (2)求 MN 长度的最小值

例 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点,求证:面 AED⊥面 A1FD

2 不积跬步无以至千里,不积小流无以至江海。


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