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第一章:集合、常用逻辑用语


学考知识要点
一、集合: 1、元素与集合的关系,集合的表示方法; 2、集合与集合的关系;子集与真子集真子集的概念;子集的有关结论,会求集合子集的个数; 3、集合的运算:交集、并集、补集; 二、常用逻辑用语: 1、复合命题的真假判断: p 或 q ( p ? q ) , p 且q ( p ? q ) ; 2、复合命题的否定: p 或 q 的否定________________; p 且 q 的否定________________; 3、充分条件与表要条件: (1) 充分条件与表要条件的定义: ____________________________________________________; (2)若“ A ? B ”,则: A 是 B 的_______________条件。 4、全称命题与特称命题的否定: (1) ?x ? M , p( x) 的否定:______________________; (2) ?x ? M , p( x) 的否定:_______________________; 三、函数 1、函数的定义域、值域、解析式的求法; 2、分段函数求函数值; 3、函数的单调性:常见基本初等函数的单调性: 4、函数的奇偶性; 5、指数的有关运算性质; (1)根式的性质: (1) n a n ? ________ ; (2) ( n a )n = (2)有理数指数幂的运算性质. ;

a ?a =
m n



(a ) ?
m n



(ab) ?
n



an ? _______; am
a
? m n

an ? _______; bn

m

; a ?n ? ________

a n ? _______;

?



6、对数的有关运算性质; (1)对数定义:如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做 (2)指数式与对数式的互化: a ? N ?
x

,记作
loga N

.

.

(3)对数的基本性质: loga a ? _____; loga 1 ? _____; loga a n ? _____; a (4) loga MN ? __________ ; log a

? _____。

M ? __________ _ ; logan b m ? ___________ 。 N (5)换底公式: loga b ? __________ _____;
7、指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质; (1)指数函数的图像和性质: 函数

y ? ax,a ?1

y ? a x ,0 ? a ? 1

图像

定义域 值域 过定点 单调区间 a 对图像的影响
1

(2)对数函数的图像和性质: 函数

y ? loga x, a ? 1

y ? loga x,0 ? a ? 1

图像

定义域 值域 过定点 单调区间

a 对图像的影响
(3)幂函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 的图像和性质:
2 3 ?1 1 2

含数

y?x

y ? x2

y ? x3

y ? x ?1

y?x

1 2

图像

性质 7、函数的零点与方程的根; 四、三角函数: 1、角的概念、正角、负角;与 ? 终边相同的角的集合_________________________________; 2、弧度与角度互换公式: ? =_________;1rad=______≈______;1°=______≈______(rad) 3、扇形的弧长公式: l ? ______;扇形面积公式: S ? ________? __________ ; 4、三角函数:如右图:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取一点
y a的 终边
P( x,y) r

P( x, y) , P 与原点的距离为 r ,则:

sin ? ? ______; cos ? ? ______ ; tan ? ? ______ ;

o

x

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) :

sin ?
6、特殊角的三角函数值:

cos?

tan ?

2

角度 弧度

0?

30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

270?

360?

sin x

cos x
tan x
7、同角三角函数的关系: (1)平方关系:__________________; (2)商数关系:____________________; 8、诱导公式:口诀:奇变偶不变,符号看象限; (1)sin(-α)=________,cos(-α)=__________,tan(-α)=________. (2)sin(α+2kπ)=________,cos(α+2kπ)=_________,tan(α+2kπ)=_________,k∈Z. (3)sin(π+α)=________,cos(π+α)=________,tan(π+α)=________. (4)sin(π-α)=________,cos(π-α)=__________,tan(π-α)=________. π ? ?π ? (5)sin? ?2-α?=________,cos?2-α?=________. π π +α?=________,cos? +α?=_________. (6)sin? ?2 ? ?2 ? 9、三角函数 y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x 的图像和性质: (1) y ? sin x (2) y ? cos x (3) y ? tan x

10、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像和性质: (1)五点法作图: (2)图像变换法作图: 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式:

(3)性质:

(1) sin(? ? ? ) ? _____________________; sin(? ? ? ) ? _____________________; (2) cos(? ? ? ) ? _____________________; cos(? ? ? ) ? _____________________;

? ? ? ) ? _____________________; tan( ? ? ? ) ? _____________________; (3) tan(
12、二倍角公式

sin 2? ? _________ ? _______ ; cos2? ? ______? ________ ;
13、降次公式:

t an 2? ? _ _ _ _ _ _ 。

sin 2 ? ? __________ ___;

; co2 s? ? _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _

__________ 14、合一公式: a sin ? ? b cos? ? __________ ;
3

a sin ? ? b cos? ? __________ ______。
15、正弦定理:____________=____________=____________=____________。 16、余弦定理: a 2 ? __________ _____; b 2 ? __________ _____; c 2 ? __________ _____;

cos A ? __________ ____; cos B ? __________ ____; cos c ? __________ ____ ;
17、三角形面积公式: S ? __________ _ ? __________ ? __________ _。 五、不等式: 1、不等式的性质; 2、不等式的解法:一元一次不等式、一元二次不等式的解法; 3、基本不等式: (1)若 a ? 0, b ? 0 ,则___________________; (2) a, b ? R ,则_____________________; (3)基本不等式变形公式:若 a ? 0, b ? 0 ,则 ab ? ____________; 4、简单的线性规划: 二元一次不等式(组)表示的平面区域;二元一次不等式组表示的平面区域的面积;简单线性规划问题。 六、数列: 1、等差数列的概念、通项公式、前 n 项和公式; (1)等差数列的定义:__________________________; (2)等差数列的通项公式:__________________________; (3)等差数列的前 n 项和公式:__________________________; 2、等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式; (1)等比数列的定义:__________________________; (2)等比数列的通项公式:__________________________; (3)等比数列的前 n 项和公式:__________________________; 七、立体几何: 1、空间几何体的三视图; 2、空间几何体的体积与表面积; (1)表面积公式: S圆柱 ? __________ ; S圆台 ? __________ ; _ ; S圆锥 ? _________ (2)体积公式: V圆柱 ? __________ ; V圆台 ? __________ ; _ ; V圆锥 ? _________ (3)球的表面积公式与体积公式: S 球 ? __________ _ ; V球 ? __________ _; 3、空间点、线、面的位置关系; (1)空间直线与直线的位置关系有______________________; (2)空间直线与平面的位置关系有______________________; (3)空间平面与平面的位置关系有______________________; 4、空间垂直与平行的证明: (1) 直线与平面平行的判定定理: _________________________________________________________; (2) 直线与平面平行的性质定理: _________________________________________________________; (3) 平面与平面平行的判定定理: _________________________________________________________; (4) 平面与平面平行的性质定理: _________________________________________________________; (5)直线与平面垂直的定义:____________________________________________________________; (6) 平面与平面平行的判定定理: _________________________________________________________;
4

(7) 平面与平面平行的性质定理: _________________________________________________________; (6) 平面与平面垂直的判定定理: _________________________________________________________; (7) 平面与平面垂直的性质定理: _________________________________________________________; 4、异面直线所成的角,直线与平面所成的角;

八、直线与圆的方程: 1、直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角的概念 (2)直线的倾斜角的范围:_________________; (3)斜率公式:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 k AB ? ____________________; 2、直线的方程:已知直线过点 P( x0 , y0 ) ,斜率为 k ,则直线方程为____________________; 3、直线垂直与平行的条件: (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 ,则: ① l1 // l 2 ? __________ __ ; ② l1 ? l 2 ? __________ __ 。

(2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l1 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 则: ① l1 // l 2 ? __________ __ ; 4、距离公式: ② l1 ? l 2 ? __________ __ 。

| AB |? __________ ___ 。 (1) 已知两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则线段 AB 中点坐标为______________,
(2)已知三角形的三个顶点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) ,则 ?ABC 的重心为_______________。 (3)点到直线的距离公式:点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为_______________。 (4)两平行直线间的距离公式: 若 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l1 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 , l 2 间的距离为_______________。 5、圆的方程: (1)圆的标准方程:圆心在原点,半径为 r 的圆的方程___________________________; 圆心在 ( a, b) ,半径为 r 的圆的方程___________________________; (2)圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

①方程表示圆的条件_______________; ②圆心:____________;半径 r ? ____________。 6、点与圆的位置关系: (1)点与圆的位置关系有_________________________; (2)怎样判断点与圆的位置关系? 7、直线与圆的位置关系: (1)直线与圆的位置关系有_________________________; (2)怎样判断直线与圆的位置关系? (3)怎样过圆上一点求圆的切线方程? (4)怎样过圆外一点求圆的切线方程? (5)怎样处理直线与圆相交所得弦长问题?
5

8、直线与圆的位置关系: (1)圆与圆的位置关系有_________________________________; (2)怎样判断圆与圆的位置关系? (3)两圆的公共弦方程: 若两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ,C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交,则 两圆的公共弦所在直线方程为__________________________; 九、圆锥曲线: 1、轨迹问题: (1)求点的轨迹的步骤:____________________________________________; (2)求点的轨迹的方法:____________________________________________; 2、椭圆 椭圆的定义 椭圆的标准方程

图形

范围 对称性 顶点、焦点, 长轴、短轴

椭圆 的几 何性 质

a, b, c 关系
离心率 通径

3、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质: 定义 方程 y =2px
2

到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹 y2=-2px x2=2py x2=-2py

图形

焦点 顶点 准线 对称轴
焦半径 焦点弦 6

4、抛物线焦点弦的性质:设抛物线 y 2 ? 2 px, ( p ? 0) 的焦点弦为 AB ,其中 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则有 如下结论: (1) (2)x1 x2 ? __________ (3)y1 y 2 ? __________ | AB |? __________ ______; _____; _____; (4) S ?AOB ? __________ (5) _____;

1 1 ? ? __________ __ ; | AF | | BF |

(6)以焦点弦为直径的圆与________ 相切;以焦半径为直径的圆与________ 相切。 5、双曲线的定义、标准方程、简单几何性质: 双曲线的定义 标准方程

图形

范围 对称性 双 曲 线 的 几 何 性 质 顶点、 焦点, 长轴、短轴

a, b, c 关系
离心率 渐近线 通经

7


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