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2013.11江苏泰州姜堰张甸中学2014届高三期中调研二数学试题


江苏姜堰张甸中学 2013~2014 高三数学期中调研二
一、填空题: (本题 满分 70 分)

1、 函数 y ? 2sin( x ? ) 的最小正周期 T=

1 2

π 3



2、 已知:A= ?x, y ? x ? y ? 0 ,B= ?x, y ? x ? y ? 2 ,则 A∩B=_________. 3、已知等差数列 {an } 满足: a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13 ,则 a4 ? a5 ? a6 = 4、已知集合 A ? ?? 1,3,2m ? 1?,集合 B ? 3, m 2 ,若 A ? B ? B ,则实数 m ? 5、函数 y=ln(x-1)的定义域为 6、已知角 ? 的终边经过点 P ? x, ?6? ,且 tan ? ? ?

?

?

?

?

?

?

3 ,则 x 的值为 5



?x ? 0 ? 7、已知实数 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 0 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ?
8、已知 cos x ? sin x



?

3 2 ,则 5

5 sin 2 x ? ?? ? cos? x ? ? 4? ?
?



9、已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? (?1,3) ,则 a 与 b 夹角的余弦值为 10、 若曲线 f ( x) ? x ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0, 则点 P 的坐标为
4



11、已知不等式 x -2x-3<0 的解集为 A,不等式 x +x-6<0 的解集是 B,不等

2

2

式 x +ax+b<0 的解集是 A∩B,那么 a+b 等于

2



12、定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x∈R 都有 f ( x ? 3) ? f ( x) ,当 x ? (?3,0) 时,

f ( x) ? 3 x ,则 f (2014) ?

. .

13、若函数 f ( x) ? log2 x ? x ? k (k∈Z*)在区间(2,3)上有零点,则 k = 14、已知角 A、B、C 是三角形 ABC 的内角, a, b, c 分别是其对边长,向量

m ? (2 3 sin

3 A A A 则b ? , cos 2 ), ,n ? (cos , ?2) ,m ? n ,且 a ? 2, cos B ? 3 2 2 2



二、解答题: 15、 (本题 14 分)已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π ),x∈R 的图象有一个最高点 π ? ,1?. ?3 ? (1) 求 f(x)的解析式; 1 (2) 若 α 为钝角,且 f(α)= ,求 f(-α)的值. 3 16、 (本题 14 分)已知定义域为R的函数 f ( x) ? (1)求 a , b 的值; (2)判断函数 f ( x) 的单调性,并证明;
17、 (本题 14 分)已知在等边三角形 ABC 中,点 P 为线段 AB 上一点,且 AP ? ? AB(0 ? ? ? 1) . (1)若等边三角形边长为 6,且 ? ?

?2 x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

1 ,求 CP ; 3

(2)若 CP ? AB ? PA ? PB ,求实数 ? 的取值范围.

18、 (本题 16 分)某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已 知 AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的 P D 区域上(含边界) ,且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂, 并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的总长为 ykm。 (1)按下列要求写出函数关系式: O ①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式; A (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使 三条排污管道总长度最短

C

B

1 2 19、 (本题 16 分)已知函数 f(x)= x -mlnx. 2 1 (1)若函数 f(x)在(2,+∞)上是递增的,求实数 m 的取值范围;
(2)当 m=2 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值.
2 20、 (本题 16 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a(a ? R) 同时满足:①不等式 f ( x) ? 0 的解

集有且只有一个元素;②在定义域内存在 0 ? x1 ? x2 ,使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.设 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? f (n) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设各项均不为零的数列 {cn } 中,所有满足 ci ? ci ?1 ? 0 的正整数 i 的个数 称为这个数 .. 列 {cn } 的变号数,令 cn ? 1 ?

a ( n 为正整数) ,求数列 {cn } 的变号数 an

参考答案 一、填空题
1,4 ? ;2,{(1,-1)};3,42;4,1; 5,(1,+∞);6,10 ;7,8 ;8,

7 3

1 2 (1,0) ;11,-3 ;12, ; ;10, 9 2 4 2 13,4;15, 3 。
9,. 二.解答题 π π 15、解:(1) 由题意,A=1,sin? +φ?=1,又 0<φ<π ,所以 φ= 6 , 3 ? ? π π 2 2 所以 f(x)=sin?x+ ?.(6 分)(2) 由题意,cos?α+ ?=- ,(10 分) 3 6? 6? ? ? π π π π π π π 所以 f(-α)=sin?-α+ ?=sin? -?α+ ??=sin cos?α+ ?-cos sin?α+ ? 3 3 ? 6? 6? 6? 6 ?? ? ? ?3 ? =-

2 6 ?1 3 2 2 1 1 × - × =? .(14 分) 2 3 2 3 6

16、解(1)因为 f ( x) 是奇函数,且定义域为 R,所以 f (0) ? 0 ,
x ? b ? 1 ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? 1 ? 2x?1

a?2

a?2

1 1? 1 ? 2 又 f (?1) ? ? f (1) ,知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1

当 a ? 2, b ? 1 时, f ( x ) 是奇函数 (2)函数 f ( x) 在 R 上为减函数 证明:法一:由(Ⅰ)知 f ( x) ? 令 x1 ? x 2 ,则 0 ? 2
x1

1 ? 2x 1 1 , ?? ? x 2 ? 2 x ?1 2 2 ?1

? 2 x2 , 2 x2 ? 2 x1 ? 0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 1 2 x2 ? 2 x1 >0, ? ? 2 x1 2 x2 2 x1 ? x2

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,? 函数 f ( x) 在 R 上为减函数 法二:由(1)知 f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 , ?? ? x 2 ? 2 x ?1 2 2 ?1

? f ?( x) ?

? 2 x ? ln 2 , (2 x ? 1) 2 ? 2 x ? ln 2 ? 0, (2 x ? 1) 2

? x ? R,? 2 x ? 0, ln 2 ? 0,?

即? f ?( x) ? 0 ? 函数 f ( x) 在 R 上为减函数.

17、解(1)当 ? ? 时, AP ? AB ,
2 2 2 1 CP ? (CA ? AP) 2 ? CA ? 2CA ? AP ? AP ? 62 ? 2 ? 6 ? 2 ? ? 22 ? 28 . 2

1 3

1 3

∴ | CP |? 2

7

(2)设等边三角形的边长为 a ,则

1 CP ? AB ? (CA ? AP) ? AB ? (CA ? ? AB) ? AB ? ? a 2 ? ?a 2 , 2

PA ? PB ? PA ? ( AB ? AP) ? ? AB ? ( AB ? ? AB) ? ??a2 ? ?2a2
即?

1 1 2 2? 2 2? 2 a ? ?a 2 ? ??a 2 ? ? 2 a 2 ,∴ ? 2 ? 2? ? ? 0 ,∴ . ??? 2 2 2 2

又 0 ? ? ? 0 ,∴

2? 2 ? ? ? 1. 2
AQ 10 ? , 故 cos ? cos ?

18、 解: (Ⅰ) ①由条件知 PQ 垂直平分 AB, 若∠BAO= ? (rad) , 则 OA ?

10 ,又 OP= 10 ? 10 tan ? , cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? 20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? 所求函数关系式为 y ? cos ? 4? ? OB ?

?10 ? x ? ? 102 ? x2 ? 20 x ? 200 2 所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? ?10cos ? cos ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? ' ? (Ⅱ)选择函数模型①, y ?
②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=
2

cos 2 ? cos 2 ? ? 1 ? ' 令 y ? 0 得 sin ? ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 6 2 4 ? ?? ?? ? ? ' ' 当 ? ? ? 0, ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ? ? , ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的增函 6 6 4 ? ? ? ? ? 数,所以当 ? = 时, ymin ? 10 ? 10 3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,在矩形区域 6

内且距离 AB 边

10 3 km 处。 3

1 19、解:若函数 f(x)在(2,+∞)上是增函数, 1 则 f′(x)≥0 在(2,+∞)上恒成立. m 1 1 而 f′(x)=x- x ,即 m≤x2 在(2,+∞)上恒成立,即 m≤4. 2 x -2 (2)当 m=2 时,f′(x)=x- x= x , 令 f′(x)=0 得 x=± 2, 当 x∈[1, 2)时,f′(x)<0,当 x∈( 2,e)时,f′(x)>0,故 x= 2是函数 f(x) 1 1 在[1,e]上唯一的极小值点,故 f(x)min=f( 2)=1-ln2,又 f(1)=2,f(e)=2e2-2 e2-4 1 e2-4 = 2 >2,故 f(x)max= 2 . 20、解: (1)由○ 1 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素知
? ? a2 ? 4a ? 0 ? a ? 0 或 a ? 4
当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? x2 在 (0, ??) 上递增,此时不满足条件○ 2 综上可知 a ? 4, f ( x) ? x2 ? 4x ? 4
2

n ?1 ? 1, ? Sn ? n2 ? 4n ? 4,? an ? ? ?2n ? 5, n ? 2
? ?3, n ?1 ? (2)由条件可知 cn ? ? 4 ,n ? 2 ?1 ? ? 2n ? 5
当 n ? 2 时,令 cn ? cn ?1 ? 0 ? 所以 n ? 2 或 n ? 4 又

2n ? 9 2n ? 7 3 5 7 9 ? ?0? ?n? 或 ?n? 2n ? 5 2n ? 3 2 2 2 2

c1 ? ?3, c2 ? 5,? n ? 1时,也有 c1 ? c2 ? 0

综上可得数列 {cn } 的变号数为 3


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