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浙江专版2018高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和课时分层训练

课时分层训练(二十七)

等差数列及其前 n 项和

A 组 基础达标
(建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.在等差数列{an}中,a1=0,公差 d≠0,若 am=a1+a2+?+a9,则 m 的值为( A.37 C.20 A B.36 D.19 )

9×8 [am=a1+a2+?+a9=9a1+ d=36d=a37.] 2

2.(2017·台州二次调研)在等差数列{an}中,若前 10 项的和 S10=60,且 a7=7,则 a4 =( ) A.4 C.5
? ?10a1+45d=60, [法一:由题意得? ?a1+6d=7, ?

B.-4 D.-5

C

a1=3, ? ? 解得? 2 d= , ? ? 3

∴a4=a1+3d=5,故选 C.

10?a1+a10? 法二:由等差数列的性质有 a1+a10=a7+a4,∵S10= =60,∴a1+a10=12. 2 又∵a7=7,∴a4=5,故选 C.] 3. (2017·温州质检)已知数列{an}是等差数列, 且 a7-2a4=6, a3=2, 则公差 d=( A.2 2 C.8 B B.4 D.16 )

[法一:由题意得 a3=2,a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=6,解得 d=4,故选 B.
?a7-2a4=a1+6d-2?a1+3d?=6, ? ? ?a3=a1+2d=2,

法二:由题意得?

解得?

?a1=-6, ? ? ?d=4,

故选 B.] )

4.等差数列{an}中,已知 a5>0,a4+a7<0,则{an}的前 n 项和 Sn 的最大值为( A.S7 C.S5 C [∵?
?a4+a7=a5+a6<0, ? ? ?a5>0,

B.S6 D.S4 ∴?
?a5>0, ? ? ?a6<0,

∴Sn 的最大值为 S5.] 5.(2017·湖北七市 4 月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述: 今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十 三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相
1

逢?(

) 【导学号:51062165】 B.8 日 D.12 日

A.9 日 C.16 日 A

[根据题意,显然良马每日行程构成一个首项 a1=103,公差 d1=13 的等差数列,前 2 2

n?n-1? 13 n 天共跑的里程为 S=na1+ d1=103n+ n(n-1)=6.5n2+96.5n;驽马每日行程
也构成一个首项 b1=97, 公差 d2=-0.5 的等差数列, 前 n 天共跑的里程为 S=nb1+

n?n-1?
2

d2=97n-

0.5 n(n-1)=-0.25n2+97.25n.两马相逢时, 共跑了一个来回. 设其第 n 天相逢, 2
2 2

则有 6.5n +96.5n-0.25n +97.25n=1 125×2,解得 n=9,即它们第 9 天相遇,故选 A.] 二、填空题 6.(2017·浙江名校(绍兴一中)交流卷五)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则 an =________,a1+a3+?+a99=________.
?2a1+4d=10, ? 2n-1 4 950 [由题意得? ?a1+3d=7, ?

解得?

?a1=1, ? ?d=2, ?

∴an=2n-1,

a1+a3+?+a99=50×1+

50?50-1? ×4=4 950.] 2

7.已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1=6,a3+a5=0,则 S6=________. 6 [∵a3+a5=2a4,∴a4=0.

∵a1=6,a4=a1+3d,∴d=-2. 6×?6-1? ∴S6=6a1+ d=6.] 2 8. 已知{an}是等差数列, Sn 是其前 n 项和. 若 a1+a2=-3, S5=10, 则 a9 的值是________. 【导学号:51062166】 20 5×4 [法一:设等差数列{an}的公差为 d,由 S5=10,知 S5=5a1+ d=10,得 a1+2d 2
2 2 2

=2,即 a1=2-2d,所以 a2=a1+d=2-d,代入 a1+a2=-3,化简得 d -6d+9=0,所以

d=3,a1=-4.故 a9=a1+8d=-4+24=20.
5?a1+a5? 法二:设等差数列{an}的公差为 d,由 S5=10,知 =5a3=10,所以 a3=2. 2 由 a1+a3=2a2,得 a1=2a2-2,代入 a1+a2=-3,化简得 a2+2a2+1=0,所以 a2=- 1. 公差 d=a3-a2=2+1=3,故 a9=a3+6d=2+18=20.] 三、解答题 9.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,且 Sk=110.
2
2 2

(1)求 a 及 k 的值; (2)设数列{bn}的通项 bn= ,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前 n 项和 Tn. [解] (1)设该等差数列为{an},则 a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知有 a+3a=8,得 a1=a=2,公差 d=4-2=2, 所以 Sk=ka1+

Sn n

k?k-1?
2
2

·d=2k+

k?k-1?
2

×2=k +k.3 分

2

由 Sk=110,得 k +k-110=0, 解得 k=10 或 k=-11(舍去),故 a=2,k=10.6 分 (2)证明:由(1)得 Sn= 则 bn= =n+1, 故 bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,12 分 即数列{bn}是首项为 2,公差为 1 的等差数列, 所以 Tn=

n?2+2n?
2

=n(n+1),

Sn n

n?2+n+1? n?n+3?
2 = 2

.14 分

10.(2017·温州市三次质检)等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d≠0,且 a3·a4=a12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an·2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【导学号:51062167】 [解] (1)由 a3·a4=a12 得(1+2d)·(1+3d)=1+11d? d=1 或 d=0(不合题意舍去), ∴数列{an}的通项公式为 an=n.6 分 (2)依题意 bn=an·2 =n·2 ,
n n n

Tn=1×21+2×22+3×23+?+n×2n,
2Tn=1×2 +2×2 +?+(n-1)×2 +n×2
1 2 3 2 3

n

n+1

,10 分

两式相减得-Tn=2 +2 +2 +?+2 -n×2 2?1-2 ? n+1 = -n×2 1-2 =(1-n)2 ∴Tn=(n-1)2
n+1 n+1 n

n

n+1

-2,

+2.15 分 B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟)

1.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

Sn 为常数,则称数列{an}为“吉祥数列”.已知等 S2n

差数列{bn}的首项为 1,公差不为 0,若数列{bn}为“吉祥数列”,则数列{bn}的通项公式为 ( )
3

A.bn=n-1 C.bn=n+1 B 1 2

B.bn=2n-1 D.bn=2n+1

[ 设等差数列 {bn} 的公差为 d(d≠0),

Sn 1 = k ,因为 b1 = 1 ,则 n + n(n - 1)d = S2 n 2

? ? k?2n+ ×2n?2n-1?d?, ? ?
即 2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d, 整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0. 因为对任意的正整数 n 上式均成立, 所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0, 1 解得 d=2,k= , 4 所以数列{bn}的通项公式为 bn=2n-1.] 2.(2017·浙江镇海中学测试卷二)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn(其中 n∈N ),且满 足:a6+a7+a8-a9=2,则 a6=________;S4·S18 的最大值是________. 【导学号:51062168】 1 72 [ 设公差为 d. 由题意得 a6 + a6 + d + a6 + 2d - (a6 + 3d) = 2a6 = 2 ,所以 a6 =
*

1.S4·S18=2(a1+a4)·9(a1+a18)=18(2a6-7d)(2a6+7d)≤18? =0 时,取到等号.]

?4a6?2=72a2=72,当且仅当 d ? 6 ?2?

3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λ Sn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ ; (2)是否存在 λ ,使得{an}为等差数列?并说明理由. [解] (1)证明:由题设知 anan+1=λ Sn-1,an+1an+2=λ Sn+1-1,2 分 两式相减得 an+1(an+2-an)=λ an+1, 由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ .6 分 (2)由题设知 a1=1,a1a2=λ S1-1, 可得 a2=λ -1. 由(1)知,a3=λ +1.9 分 令 2a2=a1+a3,解得 λ =4. 故 an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3;12 分 {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2, 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列.15 分

4


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