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ch2-6复习


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典型例题

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一般 理论

Newton 等距节点 差分 插值
点斜式 均差

Newton前插 后插公式

插 值 法

插值多项式

两点式

Lagrange 插值

? ? 算法 ? 比较 ? ?
理论 基础

请 重 点 掌 握

推广方法

误差估计
样条插值

Hermite插值

分段插值

内容复习 拉格朗日插值,误差估计有表达式,收敛性不能
保证(振荡现象)。用于理论分析,实际意义不大。
插值基函数: ( x ? x0 )?( x ? xi ?1 )( x ? xi ?1 )?( x ? xn ) li ( x ) ? , i ? 0,1? n ( xi ? x0 )?( xi ? xi ?1 )( xi ? xi ?1 )?( xi ? xn )

拉格朗日(Lagrange) 插值多项式

? n?1 ( x ) Ln ( x ) ? ? yk . ' ( x ? xk )? n?1 ( xk ) k ?0
n

内容复习

则对任何x ? ?a, b? ,插值余项
f ( n?1) (? ) Rn ( x ) ? f ( x ) ? Ln ( x ) ? ? n?1 ( x ) ( n ? 1)!

? ? (a , b),

f ( x ) ? f ( x0 ) ? f [ x0 , x1 ]( x ? x0 ) ? f [ x0 , x1 , x2 ]( x ? x0 )( x ? x1 ) ? ? f [ x0 , x1 ,? xn ]( x ? x0 )( x ? x1 )?( x ? xn?1 ) ? f [ x , x0 ,? , xn ]( x ? x0 )( x ? x1 )?( x ? xn ) ? N n ( x ) ? f [ x , x0 ,? , xn ]( x ? x0 )( x ? x1 )?( x ? xn )

牛顿插值多项式比拉格朗日插值多项式计算量 小,便于程序设计,误差估计有表达式

f [ x1 ,... xk ] ? f [ x0 , x1 ,... xk ?1 ] ak ? f [ x0 , x1 ,..., xk ] ? x k ? x0

内容复习
均差计算表
xk
f ( xk )
一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差

x0
x1 x2

f ( x0 )
f ( x1 ) f [ x 0 , x1 ] f ( x2 )
f [ x1 , x 2 ]

f [ x 0 , x1 , x 2 ]

x3
x4

f ( x 3 ) f [ x 2 , x 3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 0 , x1 , x 2 , x 3 ]
f ( x 4 ) f [ x 3 , x4 ] f [ x 2 , x 3 , x4 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1 , x 2 , x 3 , x4 ]

x5

f ( x 5 ) f [ x4 , x5 ] f [ x3 , x4 , x5 ] f [ x2 , x3 , x4 , x5 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ]

内容复习

余项Rn ( x ) ? f ?x , x0 , x1 ,..., xn ?? n?1 ( x ) ?
等距节点插值公式 (1)牛顿向前插值

f

( n?1)

(? )

( n ? 1)!

? n?1 ( x )

t ( t ? 1) 2 N n ( x 0 ? th) ? f 0 ? t?f 0 ? ? f0 ? ? 2! t ( t ? 1)?( t ? n ? 1) n ? ? f0 n!
t ( t ? 1)?( t ? n) n?1 ( n?1) Rn ( x ) ? h f (? ), ( n ? 1)!

? ? ( x0 , xn )

内容复习
差分表

xk x0 x1 x2 x3 x4 ?

fk f0 f1 f2 f3 f4 ?

?f k ?f 0 ?f 1 ?f 2 ?f 3 ?

? fk
2

? fk
3

? fk
4

?

?2 f 0 ?2 f 1 ?2 f 2 ? ?3 f 0 ?3 f1 ? ?4 f 0 ?

内容复习 (2)牛顿向后差分

t ( t ? 1) 2 N n ( x0 ? th) ? f n ? t?f n ? ? fn ? ? 2! t ( t ? 1)?( t ? n ? 1) n ? ? fn n! Rn ( x ) ? f ( x ) ? N n ( x n ? th)
t ( t ? 1)?( t ? n)hn?1 f ( n?1) (? ) ? ( n ? 1)! 其中? ? ( x0 , x n ) .

内容复习
差分表:
xk x0 x1 x2 x3 x4 ? fk f0 f1 f2 f3 f4 ? ?f k ?f 1 ?f 2 ?f 3 ?f 4 ? ? 2 fk ? 3 fk ?4 fk ?

? 2 f2 ? 2 f3 ? 2 f4 ? ? 3 f3 ? 3 f4 ? ? 4 f4 ?

当插值点x接近数据表头时,一般用向前插值公式,
而当插值点x接近数据表尾时,则采用向后插值公式。

内容复习 分段线性插值(低次多项式插值),误差小,收
敛性有保证,曲线不光滑。

分段表达式

Lagrange插值多项式

x ? x i ?1 x ? xi ? ( x) ? yi ? y i ?1 ( x i ? x ? x i ?1 ) x i ? x i ?1 x i ?1 ? x i
h2 R( x ) ? f ( x ) ? ? ( x ) ? M, 8 其中 h ? max ( xi ?1 ? xi ), M ? max f ??( x )
0? i ? n ?1 a? x?b

内容复习
Hermite保持插值曲线在节点处有切线(光滑),

使插值函数和被插函数的密和程度较好 。 (1) ? ( x i ) ? y i ( i ? 0,1,2,...n) 插值要求:
构造:
( 2)

? ' ( x i ) ? y i' ( i ? 0,1,2,...n)

(1) hi ( x ), H i ( x ) 都是至多 2n ? 1次多项式 ?0, j ? i ( 2) H 'i ( x j ) ? ? ij ? ? H i ( x j ) ? 0 ( i , j ? 0,1,? , n) ?1, j ? i
?0, j ? i hi ( x j ) ? ? ij ? ? h'i ( x j ) ? 0 ( i , j ? 0,1, ? , n) ?1, j ? i

则Hermite插值多项式为

内容复习
H ( x ) ? ? ?hi ( x ) yi ? H i ( x ) y'i ?
n

其中: hi ( x ) ? [1 ? 2( x ? xi )l i ' ( x )] [l i ( x )]2 (i ? 0,1,?, n) H i ( x ) ? ( x ? x i ) [l i ( x )]2 应用较多的是三次Hermite插值多项式
H 3 ( x ) ? h0 ( x ) y0 ? h1 ( x ) y1 ? H 0 ( x ) y'0 ? H1 ( x ) y'1 f ( 4 ) (? ) R3 ( x ) ? f ( x ) ? H 3 ( x ) ? ( x ? x 0 ) 2 ( x ? x1 ) 2 ? ? (a , b) 4! 2
? x ? x 0 ?? x ? x1 ? ? ? ? ? h0 ( x ) ? ? 1 ? 2 ? ? x1 ? x 0 ?? x 0 ? x1 ? ? ?
2

i ?0

? x ? x1 ?? x ? x 0 ? h1 ( x ) ? ? ?1 ? 2 x ? x ? ?? ?x ?x ? ? 0 1 ?? 1 0 ? ?

? x ? x1 ? H 0 ( x ) ? ( x ? x 0 )? ?x ?x ? ? 1 ? ? 0

2

? x ? x0 ? H 1 ( x ) ? ( x ? x1 )? ?x ?x ? ? 0 ? ? 1

2

内容复习

三次样条插值有良好的收敛性和稳定性,简单实用, 应用广泛。

S j ( x ) ? M j ?1 ?(yj ? M j hj 6

( x ? x j )3 6h j
2

? Mj

( x ? x j ?1 ) 3 6h j M j ?1 h j 6

?
2

)

x ? x j ?1 hj

? ( y j ?1 ?

)

x ? xj hj

第j个区间上的三次样条插值函数

内容复习

三次样条的M关系式

特点:n+1个未知数,n-1个方程
称为三弯矩方程
? j M j ?1 ? 2 M j ? ? j M j ? 1 ? c j
( j ? 1,2,?, n ? 1)
? h j ?1 , ? j ? ?? ? j ?? j ? h j ?1 ? h j ? ? y j ?1 ? y j y j ? y j ?1 ? 其中?c j ? 6( ? )( h j ?1 ? h j ) ?1 hj h j ?1 ? ? f [ x j , x j ? 1 ] ? f [ x j ?1 , x j ] ? ?6 ? 6 f [ x j ?1 , x j , x j ? 1 ] ( x j ? x j ?1 ) ? ( x j ? 1 ? x j ) ? ?

内容复习

再根据不同的边界条件,最终可确定M I,从而 求出分段样条插值函数

典型例题
已知f(x)在若干点处的值为f(0)=0, f(2)=16, f(4)=36, f(6)=54, f(10)=82,以及f′(0)=8,f′(10)=7.试求f(x)的三 次样条插值函数s(x)以及f(3),f(8)的近似值。 解:构造一阶均差表 i x i f ( x i ) f [ x i , x i ?1 ] 1 0 0 8 2 2 16 10 3 4 36 9 4 6 54 7 5 10 82
例1

由于h1 ? h2 ? h3 ? 2, h4 ? 4, 所以c1 ? f [ x1 , x2 ] ? f ?(0) ? 0, c2 ? f [ x2 , x3 ] ? f [ x1 , x2 ] ? 2

典型例题

c3 ? f [ x3 , x4 ] ? f [ x2 , x3 ] ? ?1, c4 ? f [ x4 , x5 ] ? f [ x3 , x4 ] ? ?2, c5 ? f ?(10) ? f [ x4 , x5 ] ? 0
方程组应为
?4 ? ?2 ?0 ? ?0 ? ?0 0 ?? M 1 ? ? 0 ? ? ? ? ?? 0 ?? M 2 ? ? 2 ? 0 ?? M 3 ? ? ? 6 ? ? ? ? ?? 0 2 12 4 ?? M 4 ? ? ? 2 ? ?? M ? ? ? 0 0 4 8 ?? 5 ? ? 0 ? 2 0 8 2 2 8 0 0 2

解得M 1 ? ?1, M 2 ? 2, M 3 ? ?1, M 4 ? ?1, M 5 ? 0.5 因此

典型例题
1 2 1 3 ? x ? [0,2] ?8 x ? 2 x ? 4 x , ? ?16 ? 9( x ? 2) ? ( x ? 2) 2 ? 1 ( x ? 2) 3 , x ? [2,4] ? 4 S( x) ? ? ? 36 ? 10( x ? 4) ? 1 ( x ? 4) 2 , x ? [4,6] ? 2 ? 1 1 ?54 ? 8( x ? 6) ? ( x ? 6) 2 ? ( x ? 6) 3 , x ? [6,10] 2 16 ?

? S (3) ? S2 (3) ? 25.75, S (8) ? S4 (8) ? 68.5

典型例题
例2

设f ( x )为定义在 [27.7, 30] 上的函数,在节点
xi (i ? 0,1,2,3)上的值如下:

f ( x0 ) ? f (27.7) ? 4.1,

f ( x1 ) ? f (28) ? 4.3,
f ( x3 ) ? f (30) ? 3.0.

f ( x2 ) ? f (29) ? 4.1,

试求三次样条函数 S ( x ), 使它满足边界条件
S ' ( 27.7) ? 3.0, S ' (30) ? ?4.0.

典型例题
解:

? 2 ? 3 ? ? 13 ? ? ? ?

3 h0 ? 0.30, h1 ? h2 ? 1, ?1 ? , 13 1 10 ?2 ? , ?3 ? 1, ?0 ? 1, ?1 ? , 2 13
1 2 1 2 10 13 2 1

? ? ? M 0 ? ? ? 46.6666? ? ? M 1 ? ? ? 4.00002? ??? ?. ?? 1 ? ? M 2 ? ? ? 2.7000 ? ? ? ? 2?? ? 17.4000 ? M3 ? ? ? ? ? 2? ?

求解此方程组得到 M 0 ? ?23.531, M1 ? 0.395,

M 2 ? 0.830, M 3 ? ?9.115.

典型例题

将M 0 , M1 , M 2 , M 3代入表达式得到
?13.07278( x ? 28) 3 ? 14.84322( x ? 28) ? 3 ? 0 . 2199 .( x ? 27 . 7 ) ? 14.31358( x ? 27.7), x ? [27.7,28], ? ?0.06583( 29 ? x ) 3 ? 4.23417( 29 ? x ) ? 0.13833 S( x) ? ? ? 3 .( x ? 28 ) ? 3.96167( x ? 28), x ? [28,29], ? ?0.13833( 30 ? x ) 3 ? 3.96167( 30 ? x ) ? 1.51917 ? 3 ? .( x ? 29 ) ? 4.51917( x ? 29), x ? [29,30]. ?

内容小结

内容小结
1.一般插值函数的不足;

2.三次样条函数的概念;
3.三次样条插值函数的构造.


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