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青海师范大学附属第二中学高中选修2-2导学案:1.7.2 定积分在物理中的应用

[学习要求] 1.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题. 2.通过定积分在物理中的应用,学会用数学工具解决物理问题,进一步体会定积分的价值. [学法指导] 利用定积分解决变速直线运动的路程,变力做功等问题,要特别注意问题的物理意义同时借 助定积分的几何意义,用“数形结合”思想解决问题. 变 速 直 动 变力 做功 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F(x)相同的 方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力 F(x)所做的功为__________ 做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0) 线 运 在时间区间[a,b]上的定积分,即_________ 探究点一 变速直线运动的路程 问题 变速直线运动的路程和位移相同吗? 例1 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示.求汽车在这 1 min 行驶的路程. 跟踪训练 1 一质点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v(t)=t2-4t+3(m/s)运动.求: (1)在时刻 t=4 时,该点的位置; (2)在时刻 t=4 时,该点运动的路程. 探究点二 变力做功问题 问题 恒力 F 沿与 F 相同的方向移动了 s,力 F 做的功为 W=Fs,那么变力做功问题怎样解 决呢? 例2 如图所示,一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B、C 运 动到 D,其中 AB=50 m,BC=40 m, CD=30 m,变力 F= 1 ? ? x+5 ?4 ? ? x x (单位:N),在 AB 段运动时 F 与运动 方向成 30°角,在 BC 段运动时 F 与运动方向成 45°角,在 CD 段运动时 F 与运动方向相 同,求物体由 A 运动到 D 所做的功.( 3≈1.732, 2≈1.414,精确到 1 J) 跟踪训练 2 设有一长 25 cm 的弹簧,若加以 100 N 的力,则弹簧伸长到 30 cm,求使弹 簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功. [达标检测] 1.从空中自由下落的物体,在第一秒时刻恰经过电视塔顶,在第二秒时刻物体落地,已知 自由落体的运动速度为 v=gt(g 为常数),则电视塔高为 ( 5 A. g 2 7 B. g 2 3 C. g 2 D.2g ) 2.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度 v(t)=27-0.9t,则列车刹车后前进多少米才能 停车( ) A.405 C.810 B.540 D.945 3.一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力,把它从自然长度压缩到比自然长度短 5 cm,求 弹簧克服弹力所做的功. 2 .利用定积分求变力做功问题,关键是求出变力与位移之间的函数关系,确定好积分区 间.求变力做功时,要注意单位,F(x)单位:N,x 单位:m.

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