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五、空间中的平行关系_图文

第46讲 │ 空间中的平行关系



空间中的平行关系

第46讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.空间中直线和平面的位置关系

第46讲 │ 知识梳理
2.空间中两个平面的位置关系

第46讲 │ 知识梳理

没有公共点

一条直线与此平 面外的一条直线

第46讲 │ 知识梳理

交线 平行

第46讲 │ 知识梳理
4.平面与平面平行的判定与性质

相交直线

相交直线 两条 直线

同一条直线

第46讲 │ 知识梳理

平行

交线

第46讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 线面平行的证明
例 1[2010· 福州质检] 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 中, M、N 分别是 A1B1 和 BC 的中点,连接 MN,AM,AN. 求证:MN∥平面 ACC1A1.

图46-1

第46讲 │ 要点探究
[解答] 如图,设 AC 的中点为 D,连接 DN,A1D, ∵D,N 分别是 AC,BC 的中点, 1 ∴DN 平行且等于 AB, 2 1 又∵A1M= A1B1,A1B1 平行且等于 AB, 2 ∴A1M 平行且等于 DN, 即四边形 A1DNM 是平行四边形, ∴A1D∥MN, 又∵A1D?平面 ACC1A1,MN?平面 ACC1A1, ∴MN∥平面 ACC1A1.

第46讲 │ 要点探究
[2010· 陕西卷] 如图 46-2 所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, AP=AB, BP=BC=2, F 分别是 PB, 的中点. E, PC (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求三棱锥 E-ABC 的体积 V.

第46讲 │ 要点探究

[解答] (1)证明:在△ PBC 中,E,F 分 别是 PB,PC 的中点, ∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.

第46讲 │ 要点探究
(2)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G, 1 则 EG⊥平面 ABCD,且 EG= PA. 2 在△ PAB 中,AP=AB,∠PAB=90° ,BP=2, 2 ∴AP=AB= 2,∴EG= . 2 1 1 ∵S△ ABC= AB· BC= × 2× 2= 2, 2 2 1 1 2 1 ∴VE-ABC= S△ ABC· EG= × 2× = . 3 3 2 3

第46讲 │ 要点探究
? 探究点2 面面平行的证明

例 2 如图 46-3 所示, 正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, E、 F、G、H 分别是 AB、AC、A1C1、A1B1 的中点. 求证:平面 A1EF∥平面 BCGH.

图 46-3

第46讲 │ 要点探究

[解答] △ ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点, ∴EF∥BC. 又∵EF?平面 BCGH,BC?平面 BCGH, ∴EF∥平面 BCGH. 又∵G、F 分别为 A1C1,AC 的中点, ∴A1G 平行且等于 FC, ∴四边形 A1FCG 为平行四边形.∴A1F∥GC. 又∵A1F?平面 BCGH,CG?平面 BCGH, ∴A1F∥平面 BCGH.又∵A1F∩EF=F, ∴平面 A1EF∥平面 BCGH.

第46讲 │ 要点探究
? 探究点4 面面平行的性质的应用
例 4 如图 46-5 所示,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D、D1 分别是 AC、A1C1 上的点. A1D1 (1)当 为何值时,BC1∥平面 AB1D1? D1C1 AD (2)当 为何值时,平面 BC1D∥平面 AB1D1? DC

图 46-5

第46讲 │ 要点探究

A1D1 [解答] (1)如图所示,取线段 A1C1 的中点 D1,则 =1, D1C1 连接 A1B 交 AB1 于点 O,连接 OD1. 由棱柱的性质知四边形 A1ABB1 为 平行四边形,所以点 O 为 A1B 的中点. 在△ A1BC1 中,点 O、D1 分别为 A1B、A1C1 的中点,∴OD1∥BC1. 又∵OD1?平面 AB1D1,BC1?平面 AB1D1, A1D1 ∴BC1∥平面 AB1D1,∴当 =1 时,BC1∥平面 AB1D1. D1C1

第46讲 │ 要点探究
(2)∵平面 BC1D∥平面 AB1D1,且平面 A1BC1∩平面 BDC1=BC1,平面 A1BC1∩平面 AB1D1=OD1, ∴BC1∥OD1,同理 AD1∥DC1, A1D1 A1O 由 BC1∥OD1,得 = , D1C1 OB 由 AD1∥DC1, AD∥D1C1, ADC1D1 是平行四边形, 得 ∴AD=D1C1,A1D1=DC, 又∵A1O=OB, DC A1D1 A1O ∴ = = =1, AD D1C1 OB AD 即当 的值为 1 时,平面 BC1D∥平面 AB1D1. DC

第46讲 │ 规律总结 规律总结
1. 运用直线与平面平行的判定定理的关键 是证明两直线平行,证两直线平行是平面几何 的问题,体现了空间问题平面化的思想;判定 直线与平面平行有以下方法:一是判定定理, 二是线面平行定义, 三是面面平行的性质定理. 2.运用判定定理证明平面与平面平行时, 两直线是相交直线这一条件是关键,缺少这一 条件则定理不一定成立;证明面与面平行常转 化为证明线面平行,而证线面平行又转化为证 线线平行,逐步由空间转化到平面.

第46讲 │ 规律总结

3.平面与平面的平行也具有传递性. 4.平行关系的相互转化


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