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2016成才之路·人教B版数学·选修2-2练习:第2章知能基础测试 Word版含解析


第二章知能基础测试
时间 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.k 棱柱有 f(k)个对角面,则 k+1 棱柱的对角面个数 f(k+1)为 导学号 05300577 ( A.f(k)+k-1 B.f(k)+k+1 C.f(k)+k 答案] A 解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的 k-2 条侧棱形成 k-2 个对角面,而过与其相邻的 两条侧棱的截面原来为侧面,现在也成了一个对角面,故共增加了 k-1 个对角面,∴f(k+1) =f(k)+k-1.故选 A. 1 1 1 2.已知 a>0,b>0,a、b 的等差中项为 ,且 α=a+ ,β=b+ ,则 α+β 的最小值为 2 a b D.f(k)+k-2 )

导学号 05300578 (
A.3 C .5 答案] C 解析] 由已知得 a+b=1, a+b a+b 1 1 b a ∴α+β=a+ +b+ =1+ + =3+ + ≥3+2=5.故选 C. a b a b a b B .4 D.6

)

3.已知 f(x)=x3+x(x∈R),a、b、c∈R,且 a+b>0,b+c>0,c+a>0,则 f(a)+f(b)+f(c) 的符号为 导学号 05300579 ( A.正 C.等于 0 答案] A 解析] ∵f′(x)=3x2+1>0, ∴f(x)在 R 上是增函数. 又 a+b>0,∴a>-b.∴f(a)>f(-b). 又 f(x)=x3+x 是奇函数, ∴f(a)>-f(b),即 f(a)+f(b)>0. 同理:f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0, ∴f(a)+f(b)+f(c)>0,故选 A. 4.下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是 导学号 05300580 ( A.6+6· 7k B.2+7k
-1

) B.负 D.无法确定

)

C.2(2+7k 1)


D.3(2+7k)

答案] D 解析] 特值法:当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除,故选 D. 证明如下: 当 k=1 时,已验证结论成立, 假设当 k=n(n∈N*)时,命题成立,即 3(2+7n)能被 9 整除,那么 3(2+7n 1)=21(2+7n)


-36. ∵3(2+7n)能被 9 整除,36 能被 9 整除, ∴21(2+7n)-36 能被 9 整除, 这就是说,k=n+1 时命题也成立. 故命题对任何 k∈N*都成立. 5.已知 1+2×3+3×32+4×33+?+n×3n 1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立,那么


a,b,c 的值为 导学号 05300581 ( 1 1 A.a= ,b=c= 2 4 1 C.a=0,b=c= 4 答案] A

) 1 B.a=b=c= 4 D.不存在这样的 a、b、c

解析] 令 n=1,得 1=3(a-b)+c, 令 n=2,得 1+2×3=9(2a-b)+c, 令 n=3,得 1+2×3+3×32=27(3a-b)+c. 3a-3b+c=1 ? ? 即?18a-9b+c=7 ? ?81a-27b+c=34



1 1 ∴a= ,b=c= .故选 A. 2 4 6.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则 a10 +b10= 导学号 05300582 ( A.28 C.123 答案] C 解析] 法一:由 a+b=1,a2+b2=3 得 ab=-1,代入后三个等式中符合,则 a10+b10 =(a5+b5)2-2a5b5=123,故选 C. 法二:令 an=an+bn,则 a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,?得 an+2=an+an+1,从而 a6=18, a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故选 C. ) B.76 D.199

7.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,?,则 52015 的末四位数字为

导学号 05300583 (
A.3125 C.0625 答案] D 解析] ∵55=3125,56=15625,57=78125, 58 末四位数字为 0625,59 末四位数字为 3125, 510 末四位数字为 5625,511 末四位数字为 8125, 512 末四位数字为 0625,?, 由上可得末四位数字周期为 4,呈规律性交替出现, ∴52015=54
×502+7

)

B.5625 D.8125

末四位数字为 8125.

8.已知函数 f(x)满足 f(0)=0,导函数 f ′(x)的图象如图所示,则 f(x)的图象与 x 轴围成的 封闭图形的面积为 导学号 05300584 ( )

1 A. 3 C .2 答案] B

4 B. 3 8 D. 3

解析] 由 f ′(x)的图象知,f ′(x)=2x+2, 设 f(x)=x2+2x+c,由 f(0)=0 知,c=0,∴f(x)=x2+2x, 由 x2+2x=0 得 x=0 或-2. 1 3 2 0 4 ? 故所求面积 S=-? (x2+2x)dx= -?3x +x ?? ?-2=3. -2 9.平面上有 n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成 f(n) 块区域,有 f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,则 f(n)的表达式为 导学号 05300585 ( A.2n B.n2-n+2 C.2n-(n-1)(n-2)(n-3) D.n3-5n2+10n-4 答案] B )
0

解析] 四个选项的前三项是相同的, 但第四项 f(4)=14(如图)就只有 B 符合, 从而否定 A, C,D,选 B,一般地,可用数学归纳法证明 f(n)=n2-n+2.故选 B.
n 1 10.已知等比数列 an= n-1,其前 n 项和为 Sn= ?ak,则 Sk+1 与 Sk 的递推关系不满足 3 k=1

导学号 05300586 (
1 A.Sk+1=Sk+ k+1 3 C.Sk+1=Sk+ak+1 答案] A 解析] Sk+1=a1+a2+?+ak+ak+1 =Sk+ak+1.C 真. 1 1 Sk+1=1+ +?+ k 3 3 1 1 1 1 =1+ ×?1+3+?+3k-1?=1+ Sk.B 真. 3 ? 3 ? 1 1 3Sk=3×?1+3+?+3k-1? 1 B.Sk+1=1+ Sk 3 D.Sk+1=3Sk-3+ak+ak+1

)

?

?

1 1 =3+1+ +?+ k-2 3 3 1 1 1 1 =3+?1+3+?+3k-2+3k-1+3k?-ak-ak+1

?

?

=3+Sk+1-ak-ak+1.D 真. 1 事实上,Sk+1=Sk+ak+1=Sk+ k.A 不真.故选 A. 3 11.下列结论正确的是 导学号 05300587 ( A.当 x>0 且 x≠1 时,lgx+ B.当 x>0 时, x+ 1 ≥2 x 1 ≥2 lgx )

1 C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2 x 1 D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值 x 答案] B

1 解析] A 错在 lgx 的正负不清;C 错在等号成立的条件不存在;根据函数 f(x)=x- 的单 x 3 调性,当 x=2 时,f(2)max= ,故 D 错.故选 B. 2 12.如图(1),在△ABC 中,AB⊥AC 于点 A,AD⊥BC 于点 D,则有 AB2=BD· BC,类似 地有命题:如图(2),在三棱锥 A-BCD 中,AD⊥面 ABC,若 A 在△BCD 内的射影为 O,则 S2 S△BCD,那么上述命题 导学号 05300588 ( △ABC=S△BCO· )

A.是真命题 B.增加条件“AB⊥AC”后才是真命题 C.是假命题 D.增加条件“三棱锥 A-BCD 是正三棱锥”后才是真命题 答案] A 解析] 由已知垂直关系,不妨进行如下类比:将题图(2)中的△ABC,△BCO,△BDC 分 别与题图(1)中的 AB,BD,BC 进行类比即可.严格推理如下:连结 DO 并延长交 BC 于点 E, 连结 AE,则 DE⊥BC,AE⊥BC.因为 AD⊥面 ABC,所以 AD⊥AE.又因为 AO⊥DE,所以 AE2 1 1 1 =EO· ED,所以 S2 EA)2=( BC· EO)· ( BC· ED)=S△BCO· S△BCD.故选 A. △ABC=( BC· 2 2 2 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上) 13.(2016· 全国卷Ⅱ理,15)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲,乙,丙三人 各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的 卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”, 则甲的卡片上的数字是________. 导学号 05300589 答案] 1 和 3 解析] 为方便说明,不妨将分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3 的卡片记为 A,B,C.从丙出发, 由于丙的卡片上的数字之和不是 5,则丙只可能是卡片 A 或 B,无论是哪一张,均含有数字 1, 再由乙与丙的卡片上相同的数字不是 1 可知, 乙所拿的卡片必然是 C, 最后由甲与乙的卡片上 相同的数字不是 2,知甲所拿的卡片为 B,此时丙所拿的卡片为 A. 14.在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按如 图所标边长,由勾股定理有 c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图截面,这时从 正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用 S1、S2、S3 表示三个侧面面积,S 表示截面面积,那么类比得到的结论是________. 导学号 05300590

2 2 答案] S2=S2 1+S2+S3

解析] 类比如下: 正方形?正方体;截下直角三角形?截下三侧面两两垂直的三棱锥;直角三角形斜边平 方?三棱锥底面面积的平方;直角三角形两直角边平方和?三棱锥三个侧面面积的平方和,
2 2 结论 S2=S2 1+S2+S3.

证明如下:如图,作 OE⊥平面 LMN,垂足为 E,连接 LE 并延长交 MN 于 F, ∵LO⊥OM,LO⊥ON, ∴LO⊥平面 MON, ∵MN?平面 MON, ∴LO⊥MN, 1 1 1 ∵OE⊥MN,∴MN⊥平面 OFL,∴S△OMN= MN· OF,S△MNE= MN· FE,S△MNL= MN· LF, 2 2 2 1 1 1 OF2=FE· FL, ∴S2 OF)2=( MN· FE)· ( MN· FL)=S△MNE· S△MNL, 同理 S2 S △OMN=( MN· △OML=S△MLE· 2 2 2
△MNL

2 2 ,S2 S△MNL,∴S2 S△MNL=S2 △ONL=S△NLE· △OMN+S△OML+S△ONL=(S△MNE+S△MLE+S△NLE)· △MNL ,

2 2 2 即 S2 1+S2+S3=S .

15.对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”,仿此,记 53 的 “分裂”中的最小数为 a,而 52 的“分裂”中最大的数是 b,则 a+b=________.

导学号 05300591

答案] 30

解析] 类比规律 ∴a=21,b=9 故 a+b=30. 16. (2016· 四川文, 15)在平面直角坐标系中, 当 P(x, y)不是原点时, 定义 P 的“伴随点” -x y 为 P′( 2 2, 2 2);当 P 是原点时,定义 P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题: x +y x +y 导学号 05300592 ①若点 A 的“伴随点”是点 A′,则点 A′的“伴随点”是点 A; ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上; ③若两点关于 x 轴对称,则它们的“伴随点”关于 y 轴对称; ④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号). 答案] ②③ 1 1 解析] 对于①,设 A(0,3),则 A 的“伴随点”为 A′( ,0),但是 A′( ,0)的“伴随点” 3 3 为(0,-3),与 A 不同,所以①错误;对于②,设单位圆 C:x2+y2=1 上的点 P(x,y),点 P

? ?x′=x +y 的“伴随点”为 P′(x′,y′),则有? -x ? ?y′=x +y
2 2

y

2

?-x?2 y2 ,所以 x′2+y′2= 2 2 2+ 2 2 2 ?x +y ? ?x +y ?

2



-x 1 y ),P1(x,- 2=1,所以②正确;对于③,设 P(x,y)的“伴随点”为 P′( 2 2, 2 x +y x +y x +y2
2

-y -x -x -y -x y y)的“伴随点”为 P′1( 2 2, 2 2),易知 P′( 2 2, 2 2)与 P′1( 2 2, 2 2)关于 x +y x +y x +y x +y x +y x +y y 轴对称,所以③正确;对于④,设原直线的解析式为 Ax+By+C=0,其中 A,B 不同时为 0, 且 P(x0,y0)为该直线上一点,P(x0,y0)的“伴随点”为 P′(x′,y′),其中 P,P′都不是原

? ?x′=x +y 点,且? -x y′= ? ? x +y
2 0 2 0 0

y0

2 0

2 2 2 ,则 x0=-(x2 0+y0)y′,y0=(x0+y0)x′,将 P(x0,y0)代入原直线方程,

2 0

C 2 2 2 2 得-A(x0 +y2 则-Ay′+Bx′+ 2 2=0, 由于 x2 0)y′+B(x0+y0)x′+C=0, 0+y0的值不确定, x0+y0 所以“伴随点”不一定共线,所以④错误. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)已知 a、b、c 是互不相等的非零实数.用反证法证明三个方程 ax2+

2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实根.

导学号 05300593
证明] 假设三个方程中都没有两个相异实根, 则 Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0, Δ3=4a2-4bc≤0. 相加有 a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0, 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0. 由题意 a、b、c 互不相等,∴①式不能成立. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 18. (本题满分 12 分)在圆 x2+y2=r2(r>0)中, AB 为直径, C 为圆上异于 A、 B 的任意一点, x2 y2 则有 kAC· kBC=-1.你能用类比的方法得出椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中有什么样的结论?并加以证 a b 明. 导学号 05300594 x2 y2 解析] 类比得到的结论是:在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,A、B 分别是椭圆长轴的左右端 a b b2 点,点 C(x,y)是椭圆上不同于 A、B 的任意一点,则 kAC· kBC=- 2 a 证明如下:设 A(x0,y0)为椭圆上的任意一点,则 A 关于中心的对称点 B 的坐标为 B(-x0, y-y0 y+y0 y2-y2 0 -y0),点 P(x,y)为椭圆上异于 A,B 两点的任意一点,则 kAP· kBP= · = 2. x-x0 x+x0 x2-x0

?a +b =1, 由于 A、B、P 三点在椭圆上,∴? x y ?a +b =1.
2 2 2 0 2 2 0 2

x2

y2

x2-x2 y2-y2 0 0 两式相减得, 2 + 2 =0, a b ∴ y2-y2 b2 b2 0 =- ,即 k · k =- . AP BP a2 a2 x2-x2 0

x2 y2 故在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,长轴两个端点为 A、B、P 为异于 A、B 的椭圆上的任意一 a b b2 点,则有 kAB· kBP=- 2. a |a|+|b| |a+b| 19.(本题满分 12 分)已知 a、b∈R,求证: ≥ . 导学号 05300595 1+|a|+|b| 1+|a+b| x 证明] 设 f(x)= ,x∈0,+∞).设 x1、x2 是 0,+∞)上的任意两个实数,且 0≤x1<x2, 1+x 则 f(x2)-f(x1)= x2-x1 x2 x1 - = . 1+x2 1+x1 ?1+x1??1+x2?

因为 x2>x1≥0,所以 f(x2)>f(x1). x 所以 f(x)= 在 0,+∞)上是增函数.(大前提) 1+x 由|a|+|b|≥|a+b|≥0(小前提) 知 f(|a|+|b|)≥f(|a+b|) 即 |a|+|b| |a+b| ≥ 成立. 1+|a|+|b| 1+|a+b|

20.(本题满分 12 分)设 a,b∈R+,且 a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. 导学号 05300596 证明] 证法 1:用分析法. 要证 a3+b3>a2b+ab2 成立, 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.又因 a+b>0, 只需证 a2-ab+b2>ab 成立. 只需证 a2-2ab+b2>0 成立. 即需证(a-b)2>0 成立. 而依题设 a≠b,则(a-b)2>0 显然成立. 由此命题得证. 证法 2:用综合法. a≠b?a-b≠0?(a-b)2>0 ?a2-2ab+b2>0?a2-ab+b2>ab. 注意到 a,b∈R+,a+b>0,由上式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b). ∴a3+b3>a2b+ab2. 21.(本题满分 12 分)(2015· 甘肃省会宁一中高二期中)用数学归纳法证明等式:12-22+32 -42+?+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*). 导学号 05300597 证明] (1)当 n=1 时,左边=12-22=-3,右边=-1×(2+1)=-3, 故左边=右边, ∴当 n=1 时,等式成立; (2)假设 n=k 时,等式成立, 即 12-22+32-?+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立, 那么 n=k+1 时,左边=12-22+32-?+(2k+1)2-(2k+2)2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-4(k+1)2 =(2k+1)(2k+1)-k]-4(k+1)2 =(k+1)(-2k-3) =-(k+1)2(k+1)+1], 综合(1)、(2)可知等式 12-22+32-42+?+(2k-1)2-(2n)2=-n(2n+1)对于任意正整数

都成立. 1?n 22.(本题满分 14 分)(2015· 湖北理,22)已知数列{an}的各项均为正数,bn=n? ?1+n? an(n ∈N+),e 为自然对数的底数. 导学号 05300598 1?n (1)求函数 f(x)=1+x-ex 的单调区间,并比较? ?1+n? 与 e 的大小; b1b2?bn b1 b1b2 b1b2b3 (2)计算 , , ,由此推测计算 的公式,并给出证明; a1 a1a2 a1a2a3 a1a2?an 1 (3)令 cn=(a1a2?an) ,数列{an},{cn}的前 n 项和分别记为 Sn,Tn,证明:Tn<eSn. n 解析] (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1-ex. 当 f′(x)>0,即 x<0 时,f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>0 时,f(x)单调递减. 故 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞). 当 x>0 时,f(x)<f(0)=0,即 1+x<ex. 1 1 1 1 令 x= ,得 1+ <e ,即(1+ )n<e.① n n n n b1 1 (2) =1· (1+ )1=1+1=2; a1 1 b1b2 b1 b2 1 = · =2· 2(1+ )2 a1a2 a1 a2 2 =(2+1)2=32; b1b2b3 b1b2 b3 = · a1a2a3 a1a2 a3 1 =32· 3(1+ )3=(3+1)3=43. 3 b1b2?bn 由此推测: =(n+1)n.② a1a2?an 下面用数学归纳法证明②. (1)当 n=1 时,左边=右边=2,②成立. (2)假设当 n=k 时,②成立,即 b1b2?bk =(k+1)k. a1a2?ak 1 k +1 当 n=k+1 时,bk+1=(k+1)(1+ ) ak+1,由归纳假设可得 k+1 b1b2?bkbk+1 b1b2?bk bk+1 = · a1a2?akak+1 a1a2?ak ak+1

=(k+1)k(k+1)(1+

1 k+1 + ) =(k+2)k 1. k+1

所以当 n=k+1 时,②也成立. 根据(1)(2),可知②对一切正整数 n 都成立. (3)由 cn 的定义,②,算术-几何平均不等式, bn 的定义及①得 Tn=c1+c2+c3+?+cn 1 1 1 1 =(a1) +(a1a2) +(a1a2a3) +?+(a1a2?an) 1 2 3 n 1 1 1 1 ?b1? ?b1b2? ?b1b2b3? ?b1b2?bn? 1 2 3 n = + + +? 2 3 4 n+1 ≤ b1+b2 b1+b2+b3 b1+b2+?+bn b1 + + +?+ 1×2 2×3 3×4 n?n+1?

1 1 1 1 1 1 1 =b1 + +?+ ]+b2 + +?+ ]+?+bn· 1×2 2×3 n?n+1? 2×3 3×4 n?n+1? n?n+1? 1 1 1 1 1 =b1(1- )+b2( - )+?+bn( - ) 2 n+1 n n+1 n+1 b1 b2 bn < + +?+ 1 2 n 1 1 1 =(1+ )1a1+(1+ )2a2+?+(1+ )nan 1 2 n <ea1+ea2+?+ean=eSn. 即 Tn<eSn.


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